02 一元二次函数（原卷版）苏教版（2019）高中数学初升高练习
展开第二讲 一元二次方程
【学习目标】
1．能用十字相乘法、配方法、公式法解一元二次方程
2．掌握韦达定理并利用韦达定理解题
3．理解“设而不求”的数学思想
【知识要点】
1．一元二次方程
（1）定义：含有一个未知数且未知数的最高次数是二次的方程叫一元二次方程
（2）一般形式：
2．解一元二次方程的常用方法[来源:Z_xx_k.Com]
①韦达定理；②直接开平方法；③配方法；④因式分解法；
⑤公式法（求根公式）；⑥换元法等。
3．根的判别式
一元二次方程的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
对于一元二次方程，有
（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，x1，2＝；
（2） 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，；
（3） 当Δ＜0时，方程没有实数根．
4．韦达定理（根与系数的关系）
若一元二次方程的两根分别是，那么，x1·x2 这一关系也被称为韦达定理．
5．以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．
6．一元二次方程的两根之差的绝对值（求根公式或韦达定理）
若x1和x2分别是一元二次方程两根，则（其中
）．[来源:学科网]
【精讲精练】
一．一元二次方程的解法
例1判定关于x的方程：x2－ax＋(a－1)＝0 的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．
变式 判定关于x的方程：x2－2x＋a＝0 的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．
二．韦达定理
例2 以－3和1为根的一元二次方程是 ．
变式 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
三．“设而不求”思想（韦达定理的应用）
例3 若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于 ．
变式1 已知是一元二次方程的两根，试用a表示代数式
例4 已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x+k(k+1)=0的两实根的平方和为9，求实数k的值.
变式 已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．
四．一元二次方程解的情况的判断
例5 若关于x的方程mx2＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （ ）
A. B
C. 且 D 且
变式1 关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1) x＋1＝0
（1）试判定当m取何值时，该方程有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？
（2）试判定当m取何值时，该方程有两个相等的正根？
[来源:Zxxk.Com]
【思维拓展】
- 已知两不等实数a，b满足，，求的值.
【课外作业】
1．已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（ ）
A. B. 3 C. 6 D. 9
- 如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是 ．
3．已知，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个
不相等的实数根？
4．关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足|x1－x2|＝2，求实数m的值．
[来源:学科网ZXXK]
5．已知关于x的方程x2－kx－2＝0．[来源:Z.xx.k.Com]
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为x1和x2，如果，求实数k的取值范围
