【数学】安徽卓越县中联盟（舒城中学、无为中学等）2019-2020学年高二12月素质检测（文）

安徽卓越县中联盟（舒城中学、无为中学等）

2019-2020学年高二12月素质检测（文）

考试时间：120分钟 满分：150分

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝{x|x﹣1＞0}，则＝（　　）

A．（1，3） B．（1，3] C．[3，+∞） D．（3，+∞）

2．“﹣3＜m＜4”是“方程表示椭圆”的（　　）条件

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充要 D．既不充分也不必要

3．函数f（x）＝2x﹣3+log3x的零点所在区间是（　　）

A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）

4．已知平面向量，，若，则（　　）

A． B．20 C． D．2

5．如图的框图是一古代数学家的一个算法的程序框图，它输出的结果S表示（　　）

A．的值

B．的值

C．的值   

D．以上都不对

6．设，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列命题中正确的为　　

A．若，，则 

B．若，，则 

C．若，，则 

D．若，，则

7.若直线与平行，则与间的距离为（　　）

A. B. C. D.

8．将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（　　）

A． B． C． D．

9．在△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（　　）

A．36π B．28π C．20π D．12π

10．动直线与圆交于点，，则弦的最短为　　

A．2 B． C．6 D．

11．将棱长为2的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为（　　）

A． B． C． D．

12．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方．若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是（　　）

A． B． C． D．2

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)

13．已知点A（﹣2，﹣1），B（2，2），C（0，4），则点C到直线AB的距离为          ．

14．已知圆C的圆心在直线x﹣y＝0上，过点（2，2）且与直线x+y＝0相切，则圆C的方程是          ．

15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且垂直轴，若直线的斜率为，则该椭圆的离心率为          ．

16．如图所示，在三棱柱中，底面，底面为直角三角形，，，，，是上一动点，则的最小值是         ．

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．在△ABC中，a2+c2＝b2+ac．

（Ⅰ）求cosB的值；

（Ⅱ）若，a＝8，求b以及S△ABC的值．

18．有关部门要了解甲型流感预防知识在学校的普及情况，命制了一份有10道题的问卷到各学校做问卷调查．某中学、两个班各被随机抽取5名学生接受问卷调查，班5名学生得分为：5、8、9、9、9，班5名学生得分为：6、7、8、9、10．

（Ⅰ）请你判断、两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些，并说明你的理由；

（Ⅱ）求如果把班5名学生的得分看成一个总体，并用简单随机抽样方法从中抽取样本容量为2的样本，求样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1的概率．

19．已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式恒成立；命题q：存在x∈[﹣1，1]，使得成立．

（Ⅰ）若p为真命题，求m的取值范围；

（Ⅱ）若p∧q为假，p∨q为真，求m的取值范围．

20．在正项等比数列中，且成等差数列.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Sn．

21．如图，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）若，，求三棱锥的体积．

22．如图，椭圆经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若，是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为且直线与交于点，为坐标原点，求证：，，三点共线．

参考答案

一、选择题

二、填空题

13.；14.；15.；16..

16解析：连，沿将展开与△在同一个平面内，如图所示，连，则的长度就是所求的最小值．

在三棱柱中，底面，底面为直角三角形，，，，，，，，，，

即，，，

由余弦定理可求得，

的最小值是，故答案为：．

三、解答题

17.解：

（1）由余弦定理及已知得：cosB＝＝;.….….….…5分

（2）因为A，B为三角形内角，所以sinA＝＝，

sinB＝＝，由正弦定理得：b＝＝＝7，

又∵cosA＝＝．∴c2﹣2c﹣15＝0，解得  c＝5 （c＝﹣3舍）．

∴S△ABC＝bc•sinA＝．.….….….…10分

18.解：

（1）班的问卷得分要稳定一些，理由如下：

，，

，

，

，，班的问卷得分要稳定．.….….….…6分

（2）记“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1”为事件

所有的基本事件分别为：、、、、、、、、、，共10个．

事件包含的基本事件分别为：、、、，共4个

由于事件符合古典概型，则．.….….….…12分

19.解：

（1）对任意x∈[0，1]，不等式恒成立，

当x∈[0，1]，由对数函数的性质可知当x＝0时，y＝log2（x+1）﹣2的最小值为﹣2，

∴﹣2≥m2﹣3m，解得1≤m≤2．

因此，若p为真命题时，m的取值范围是[1，2]．.….….….…6分

（2）存在x∈[﹣1，1]，使得成立，∴．

命题q为真时，m≤1．

∵p且q为假，p或q为真，∴p，q中一个是真命题，一个是假命题．

当p真q假时，则解得1＜m≤2；

当p假q真时，，即m＜1．

综上所述，m的取值范围为（﹣∞，1）∪（1，2]．.….….….…12分

20.解：

（1）∵∴

∴q＝2，∵an＞0，∴q＝2；.….….….…5分

（2）∵，

∴，①

，②

①﹣②得＝，

∴．.….….….…12分

21.证明：

（1）是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点．

连结，，交于点，连结，则，平面，平面，

平面．.….….….…4分

（2）是正方形，，

底面，，

，平面．.….….….…8分

（3），，，

，

点到平面的距离，

三棱锥的体积：

．.….….….…12分

22.

（1）解：点到椭圆的两焦点的距离之和为，

，解得，又椭圆经过点，，

解得．椭圆的标准方程为；.….….….…5分

（2）证明：线段的中垂线的斜率为，直线的斜率为，

可设直线的方程为．

联立，得．

设点，，，，，，

，

则．，，点在直线上，

又点也在直线上，，，三点共线．.….….….…12分