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    2020年高考数学一轮复习教案:高考大题增分课4 立体几何中的高考热点问题(含解析)
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    2020年高考数学一轮复习教案:高考大题增分课4 立体几何中的高考热点问题(含解析)

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    (四)立体几何中的高考热点问题

    [命题解读] 1.立体几何是高考的必考内容,几乎每年都考查一个解答题,两个选择或填空题,客观题主要考查空间概念,三视图及简单计算;解答题主要采用论证与计算相结合的模式,即利用定义、公理、定理证明空间线线、线面、面面平行或垂直,并与几何体的性质相结合考查几何体的计算.

    2重在考查学生的空间想象能力、逻辑推理论证能力及数学运算能力.考查的热点是以几何体为载体的垂直、平行的证明、平面图形的折叠、探索开放性问题等;同时考查转化化归思想与数形结合的思想方法.

    线面位置关系与体积计算

    以空间几何体为载体,考查空间平行与垂直关系是高考的热点内容,并常与几何体的体积计算交汇命题,考查学生的空间想象能力、计算与数学推理论证能力,同时突出转化与化归思想方法的考查,试题难度中等.

    【例1】 (本小题满分12)(2019·哈尔滨模拟)如图,四边形ABCD为菱形,GACBD的交点,BE平面ABCD.

    (1)证明:平面AEC平面BED

    (2)ABC120°AEEC,三棱锥E­ACD的体积为,求该三棱锥的侧面积.

    [信息提取] 看到四边形ABCD为菱形,想到对角线垂直;

    看到三棱锥的体积,想到利用体积列方程求边长.

    [规范解答] (1)证明:因为四边形ABCD为菱形,所以ACBD.

    因为BE平面ABCDAC平面ABCD,所以ACBE. 2

    因为BDBEB,故AC平面BED.

    AC平面AEC

    所以平面AEC平面BED.  4

    (2)ABx,在菱形ABCD中,由ABC120°,可得AGGCxGBGD.

    因为AEEC,所以在RtAEC中,可得EGx. 6

    BE平面ABCD,知EBG为直角三角形,可得BEx.

    由已知得,三棱锥E­ACD的体积V三棱锥E­ACD×·AC·GD·BEx3,故x2.                            9

    从而可得AEECED.

    所以EAC的面积为3EAD的面积与ECD的面积均为.

    故三棱锥E­ACD的侧面积为32. 12

    [易错与防范] 易错误区:1.在第(1)问中,易忽视条件BDBEB.AC平面AEC等条件,推理不严谨,导致扣分.

    2在第(2)问中,需要计算的量较多,易计算失误,或漏算,导致结果错误.

    防范措施:1.在书写证明过程中,应严格按照判定定理的条件写,防止扣分.

    2在计算过程中,应牢记计算公式,逐步计算,做到不重不漏.

    [通性通法] 空间几何体体积的求法

    (1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体,则可直接利用公式进行求解.其中,等积转换法多用来求三棱锥的体积.

    (2)若所给定的几何体是不规则几何体,则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体,再利用公式求解.

    (3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.

    如图,四棱锥P­ABCD中,PA底面ABCDADBCABADAC3PABC4M为线段AD上一点,AM2MDNPC的中点.

    (1)证明:MN平面PAB

    (2)求四面体N­BCM的体积.

    [] (1)证明:由已知得AMAD2.

    BP的中点T,连接ATTN,由NPC中点知TNBCTNBC2.

    ADBC,故TNAM,四边形AMNT为平行四边形,于是MNAT.

    因为AT平面PABMN平面PAB,所以MN平面PAB.

    (2)因为PA平面ABCDNPC的中点,所以点N到平面ABCD的距离为PA.BC的中点E,连接AE.ABAC3AEBCAE.

    AMBC得点MBC的距离为,故SBCM×4×2.

    所以四面体N­BCM的体积VN­BCM×SBCM×.

     

    求点到平面的距离(几何体的高)

     

    求点到平面的距离(几何体的高)涉及到空间几何体的体积和线面垂直关系,是近几年高考考查的一个重要方向,重点考查学生的转化思想和运算求解能力.

    【例2】 (2019·开封模拟)如图,在四棱锥P­ABCD中,底面ABCD是菱形,且DAB60°PAPDMCD的中点,平面PAD平面ABCD.

    (1)求证:BDPM

    (2)APD90°PA,求点A到平面PBM的距离.

    [] (1)证明:AD中点E,连接PEEMAC

    底面ABCD是菱形,

    BDAC

    EM分别是ADDC的中点,

    EMACEMBD.

    PAPDPEAD

    平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD

    PE平面ABCDPEBD

    EMPEEBD平面PEM

    PM平面PEMBDPM.

    (2)连接AMBEPAPDAPD90°DAB60°ADABBD2PE1EMAC

    PMPB2.

    在等边三角形DBC中,BM

    SPBMSABM×2×.设三棱锥A ­PBM的高为h,则由等体积可得·h××1

    h

    A到平面PBM的距离为.

    [规律方法] 求点到平面的距离几何体的高的两种方法

    1等积法:利用同一个三棱锥变换顶点及底面的位置,其体积相等的方法求解.

    2定义法:其步骤为:一作、二证、三求.如何作出点到面的距离是关键,一般的方法是利用辅助面法,所作的辅助面,一是要经过该点,二是要与所求点到面的距离的面垂直,这样在辅助面内过该点作交线的垂线,点到垂足的距离即为点到面的距离.

    如图,四棱锥P­ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCDEPD的中点.

    (1)证明:PB平面AEC

    (2)AP1AD,三棱锥P­ABD的体积V,求点A到平面PBC的距离.

    [] (1)证明:设BDAC的交点为O,连接EO.

    因为四边形ABCD为矩形,所以OBD的中点.

    EPD的中点,所以EOPB.

    因为EO平面AECPB平面AEC,所以PB平面AEC.

    (2)三棱锥P­ABD的体积VPA·AB·ADAB,由V,可得AB.由题设知BCABBCPA,所以BC平面PAB,在平面PAB内作AHPBPB于点H,则BCAH,故AH平面PBC.AH.所以点A到平面PBC的距离为.

    线面位置关系中的存在性问题

    是否存在某点或某参数,使得某种线、面位置关系成立问题,是近几年高考命题的热点,常以解答题中最后一问的形式出现,一般有三种类型:(1)条件追溯型.(2)存在探索型.(3)方法类比探索型.

    【例3】 (2018·秦皇岛模拟)如图所示,在四棱锥P­ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD底面ABCD,且EF分别为PCBD的中点.

    (1)求证:EF平面PAD

    (2)在线段CD上是否存在一点G,使得平面EFG平面PDC?若存在,请说明其位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.

    [] (1)证明:如图所示,连接AC,在四棱锥P­ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,且点F为对角线BD的中点.

    所以对角线AC经过点F.

    又在PAC中,点EPC的中点,

    所以EFPAC的中位线,

    所以EFPA.

    PA平面PADEF平面PAD

    所以EF平面PAD.

    (2)存在满足要求的点G.

    在线段CD上存在一点GCD的中点,使得平面EFG平面PDC.

    因为底面ABCD是边长为a的正方形,

    所以CDAD.

    又侧面PAD底面ABCDCD平面ABCD,侧面PAD平面ABCDAD

    所以CD平面PAD.

    EF平面PAD,所以CDEF.

    CD中点G,连接FGEG.

    因为FBD中点,

    所以FGAD.

    CDAD,所以FGCD

    FGEFF

    所以CD平面EFG

    CD平面PDC

    所以平面EFG平面PDC.

    [规律方法] 1.在立体几何的平行关系问题中,中点是经常使用的一个特殊点,通过找中点,连中点,即可出现平行线,而线线平行是平行关系的根本.

    2.2问是探索开放性问题,采用了先猜后证,即先观察与尝试给出条件再加以证明,对于命题结论的探索,常从条件出发,探索出要求的结论是什么,对于探索结论是否存在,求解时常假设结论存在,再寻找与条件相容或者矛盾的结论.

    (2019·长沙模拟)如图,四棱锥S­ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.

    (1)求证:ACSD

    (2)SD平面PAC,则侧棱SC上是否存在一点E,使得BE平面PAC?若存在,求SEEC;若不存在,请说明理由.

    [证明] (1)连接BD,设ACBD于点O,连接SO,由题意得四棱锥S­ABCD是正四棱锥,所以SOAC.

    在正方形ABCD中,ACBD,又SOBDO,所以AC平面SBD.

    因为SD平面SBD,所以ACSD.

    (2)在棱SC上存在一点E,使得BE平面PAC.

    连接OP.设正方形ABCD的边长为a,则SCSDa.

    SD平面PACSDPC,易求得PD.

    故可在SP上取一点N,使得PNPD.

    过点NPC的平行线与SC交于点E,连接BEBN

    BDN中,易得BNPO.

    又因为NEPCNE平面BNEBN平面BNEBNNENPO平面PACPC平面PACPOPCP

    所以平面BEN平面PAC,所以BE平面PAC.

    因为SNNP21,所以SEEC21.

     

    [大题增分专训]

    1(2019·济南模拟)如图,在四棱锥P­ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,ADBCABBCADEF分别为线段ADPB的中点.

    (1)证明:PD平面CEF

    (2)PE平面ABCDPEAB2,求三棱锥P­DEF的体积.

    [] (1)证明:连接BEBDBDCE于点O,连接OF(图略)

    E为线段AD的中点,ADBCBCADED

    BCED

    四边形BCDE为平行四边形,      

    OBD的中点,又FBP的中点,OFPD.

    OF平面CEFPD平面CEFPD平面CEF.

    (2)(1)知,BECD.

    四边形ABCD为等腰梯形,ABBCAD

    ABAEBE三角形ABE是等边三角形,

    ∴∠DAB

    BBHAD于点H(图略),则BH.

    PE平面ABCDPE平面PAD平面PAD平面ABCD

    又平面PAD平面ABCDADBHADBH平面ABCD

    BH平面PADB到平面PAD的距离为BH.

    F为线段PB的中点,F到平面PAD的距离h等于点B到平面PAD的距离的一半,即h,又SPDEPE·DE2

    V三棱锥P­DEFSPDE×h×2×.

    2(2019·石家庄模拟)如图,已知四棱锥P­ABCD,底面ABCD为正方形,且PA底面ABCD,过AB的平面ABFE与侧面PCD的交线为EF,且满足SPEFS四边形CDEF13.

    (1)证明:PB平面ACE

    (2)PA2AD2时,求点F到平面ACE的距离.

    [] (1)证明:由题知四边形ABCD为正方形,

    ABCDCD平面PCDAB平面PCDAB平面PCD.

    AB平面ABFE,平面ABFE平面PCDEF

    EFABEFCD.

    SPEFS四边形CDEF13EF分别为PDPC的中点.

    如图,连接BDAC于点G,则GBD的中点,

    连接EG,则EGPB.

    EG平面ACEPB平面ACE

    PB平面ACE.

    (2)PA2ADAB1ACAEPD

    PA平面ABCDCDPA,又CDADADPAA

    CD平面PADCDPD.

    RtCDE中,CE.

    ACE中,由余弦定理知cosAEC

    sinAECSACE·AE·CE·sinAEC .

    设点F到平面ACE的距离为h,连接AF,则VF­ACE××hh.

    DGACDGPAACPAADG平面PAC.

    EPD的中点,E到平面ACF的距离为DG.

    FPC的中点,SACFSACP

    VE­ACF××.

    VF­ACEVE­ACF,得h,得h

    F到平面ACE的距离为.

    3.已知在四棱锥P­ABCD中,平面PAB平面ABCD,四边形ABCD为矩形,E为线段AD上靠近点A的三等分点,OAB的中点,且PAPBABAD.

    (1)求证:ECPE.

    (2)PB上是否存在一点F,使得OF平面PEC?若存在,试确定点F的位置;若不存在,请说明理由.

    [] (1)证明:连接POEOCO.

    平面PAB平面ABCDPAPBOAB的中点,

    PO平面ABCDCE平面ABCDPOCE.

    AD3四边形ABCD为矩形,CDAB2BC3

    AEAD1

    ED2EC2OEOC

    OE2EC2OC2OEEC.

    POOEOEC平面POE

    PE平面POEECPE.

    (2)PB上存在一点F,使得OF平面PEC,且FPB的三等分点(靠近点B).证明如下:

    BC的三等分点M(靠近点C),连接AM,易知AEMC四边形AECM为平行四边形,AMEC.

    BM的中点N,连接ONONAMONEC.

    NBM的中点,NBC的三等分点(靠近点B)

    FPB的三等分点(靠近点B),连接OFNFNFPC

    ONNFNECPCC平面ONF平面PEC

    OF平面PEC.

     

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