2020中考数学几何难题之最值问题无答案
展开最值问题
解决几何最值问题的理论依据（读一读，背一背）
①两点之间，线段最短
②垂线段最短（直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短）
③三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边）
轴对称最值模型
| 特征 | 目标及示范 | 操作方法 |
| 定点：A、B 动点(定直线)：P(l) | 和最小
| 1、 作对称（对称到异侧，定点关于定直线的对称点） 2、 连线（两点之间线段最短） 3、 勾股定理求解 |
| 两定、两动，两动点之间的长度不变
| 和最小
| 1、 平移BN 2、 作对称（对称到异侧，定点关于定制线的对称点） 3、 连线（两点之间线段最短） 4、 勾股定理求解 |
| 两定点、 一动点， 动点在定直线上 | 差最大
| 1、 做对称（对称到同侧） 2、 连接、延长、找交点 3、 勾股定理求解 （三角形三边关系） |
巩固练习
1. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1，4)和(3，0)，C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（ ）
A．(0，0) B．(0，1) C．(0，2) D．(0，3)
2. 点A，B均在由面积为1的相同小长方形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P是x轴上使得的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，则OP·OQ= _________．
3. 如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=．在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的值最小，则此时AM+NB=________．
4. 已知：如图，∠ABC=30°，P为∠ABC内部一点，BP=4，如果点M，N分别为边AB，BC上的两个动点，请画图说明当M，N在什么位置时使得△PMN的周长最小，并求出△PMN周长的最小值．
折叠之最值模型
特征1：折痕过定点，折叠前后线段相等（线段BA′长度不变，A′的路径为圆弧）
思路：求A′C最小，转化为BA′+A′C最小，利用三角形三边关系求解
特征2：折痕折痕经过两条线的动点，折叠前后线段相等（A′N+NC为定值）
思路：求BA′的最小值，转化为求BA′+A′N+NC的最小值，利用两点之间线段最短求解．
巩固练习
5. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3．P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是_____．
6. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，P，Q分别是边BC，AC上的动点．将△PCQ沿PQ翻折，C点的对应点为，连接，则的最小值是_____．
7. 如图，在直角梯形纸片ABCD中，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E，F分别在线段AB，AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的对应点记为P．
（1）当点P落在线段CD上时，PD的取值范围是_______．
（2）当点P落在直角梯形ABCD内部时，PD长度的最小值为_____________．
8. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB
边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是_______．
9. 如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=3，Q是CD
边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′，当CA′的长度最小时，CQ的长为________．
10. 动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使
点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动．若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为________________．
直角之最值模型
特征：直角不变，斜边长不变
思路：取斜边中点，结合斜边中线等于斜边一半，利用三角形三边关系求解
示例：如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，在△ABC内部以AC为斜边任意作Rt△ACD，连接BD，则线段BD的最小值是________．
思路：求BA′的最小值，利用三角形三边关系求解，．
巩固练习：
11. 如图，∠MON=90°，长方形ABCD的顶点A，B分别在OM，ON上，当点B在ON上运动时，点A随之在OM上运动，且长方形ABCD的形状和大小保持不变．若AB=2，BC=1，则在运动过程中，点D到点O的最大距离为（ ）
A． B． C． D．
12. 如图，菱形ABCD边长为2，∠C=60°．当点A在x轴上运动时，点D随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为_______
13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=3，在△ABC内部以AC为斜边任意作Rt△ACD，连接BD，则BD长度的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．1
解决几何最值问题的通常思路：
1.分析定点、动点，寻找不变特征．
2.若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；
若不属于常见模型，结合所求目标，依据不变特征转化，借助基本定理解决问题．
转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢．
14. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为BC边上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．若M为EF的中点，则AM长度的最小值为____________．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC边上，则以AC为对角线的所有□ADCE中，DE长度的最小值为_____________．
16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=，BC的中点为D．将△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，连接DG，则在旋转过程中，DG长度的最大值为____________．
17. 如图，在等边△ABC中，D是AC边上一个动点，连接BD，将线段BD绕点B逆时针旋转60°得到BE，连接ED，若BC=2，则△AED的周长的最小值是_______．
18. 如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC，EF的中点，直线AG，FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是__________．
19. 如图，E，F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，且满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，连接DH．若正方形的边长为2，则DH长度的最小值是_______．
实战模式
20. 如图，钝角三角形ABC的面积为15，最长边AB=10，BD平分∠ABC，点M，N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值为_____．
21. 如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为_____．
22. 如图，正方形ABCD的边长为4cm，正方形AEFG的边长为1cm，如果正方形AEFG绕点A旋转，那么C，F两点之间的距离的最大值为____________，连接BD，则△BDF面积的最大值为__________，最小值为_____．
23. 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°， ，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为（ ）
A．2 B． C． D.3
24. 如图，已知点P是半径为1的⊙A上一点，延长AP到C，使PC=AP，以AC为对角线作平行四边形ABCD．若AB=，则平行四边形ABCD面积的最大值为_________．
25. 如图，在Rt△AOB中，OA=OB=，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则PQ长度的最小值为_________．
26. 如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是以C(0，1)为圆心，为半径的圆上一动点，连接PA，PB.则△PAB面积的最大值是__________．
27. 如图，边长为2的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接BM，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动的过程中，线段HN长度的最小值为_________．
28. 在菱形ABCD中，边长为2，∠B=60°．将△ACD绕点C旋转，当AC（即）与AB交于点E，CD（即）与AD交于点F时，点E，F和A构成△AEF，则△AEF周长的最小值为_________．
29. 如图，∠AOB=30°，点M，N分别在边OA，OB上，且OM=1，ON=3，点P，Q分别在边OB，OA上，则MP+PQ+QN的最小值是_________．
30. 在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点. 若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，则点F的坐标为 .
31. 如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD上的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是_________．
32. 如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．
（1） 求证：BD=CE；
（2） 若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，
① 当∠EAC=90°时，求PB的长；
② 直接写出旋转过程中线段PB长的最小值与最大值
