江苏省徐州市铜山区大许中学2019_2020学年高一数学10月月考试题
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一、单选题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1．已知， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得图象的函数式为则的值为（ ）
A. ， B.，
C. ， D.，
3．函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
4．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．若关于x的一元二次方程有实数根，且，则下列结论中错误的个数是( )
（1）当时， （2） （3）当时，
（4）二次函数的图象与轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）
A．1 B．2 C．3 D．0
6．若函数为奇函数，则实数的值分别为（ ）
A． B． C． D．
7．设函数对的一切实数均有，则=（ ）
A．－ B．2017 C．2018 D． 4036
8．已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（ ）
A．有最小值 B．有最大值
C．是减函数 D．是增函数
9．对任意，函数，则的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
10．若函数，在区间和上均为增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C ． D．
11．设集合且A中任意两数之和不能被5整除，则n的最大值为（ ）
A．17 B．18 C．15 D．16
12．设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
13．若集合则实数a的取值集合为___________.
14．函数的定义域是_____________.
15．已知, 则的解析式为______________.
16．已知为定义在上的偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为__________.
三、解答题:本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.
17．（本小题满分12分）
已知.
（1）求；
（2）若，求实数a的取值范围.
18．（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若在上是增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，作出函数的图像，并求的值域.
19．（本小题满分12分）
已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有.
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数在区间上的解析式，并利用定义证明其在该区间上的单调性；
20．（本小题满分12分）
北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估。该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2-600)万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
21．（本小题满分12分）
定义域为R的函数f（x）满足：对于任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且当x＜0时，f（x）＞0恒成立，且nf（x）=f（nx）．（n是一个给定的正整数）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（2）判断并证明f（x）的单调性；若函数f（x）在[-2，5]上总有f（x）≤10成立，试确定f（1）应满足的条件；
（3）当a＜0时，解关于x的不等式．
22（本小题满分10分）．
如果函数的定义域为，且存在实常数，使得对于定义域内任意，都有成立，则称此函数具有“性质”.
（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，求出所有的值的集合，若不具有“性质”，请说明理由；
（2）已知函数具有“性质”，且当时，，求函数在区间上的值域；
（3）已知函数既具有“性质”，又具有“性质”，且当时，，若函数的图像与直线有2017个公共点，求实数的值.
答案
一、单选题
1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】C
5．【答案】A 6．【答案】B 7．【答案】A 8．【答案】D
9．【答案】A 10．【答案】B 11．【答案】A 12．【答案】D
二、填空题
13．若集合则实数a的取值集合为___________.
14．函数的定义域是
15．已知, 则的解析式为______________..
16．已知为定义在上的偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为__________.
三、解答题
17．（本小题满分12分）
已知.
（1）求；
（2）若，求实数a的取值范围.
18．（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若在上是增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，作出函数的图像，并写出的值域.
【答案】（1）；（2）；
【详解】
（1）已知
∵在上是增函数，∴；
（2）当时，，
19．（本小题满分12分）
已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有.
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数在区间上的解析式，并利用定义证明其在该区间上的单调性；
【解析】
（1）由题可知，函数是定义在上的奇函数，且，
则，解得；
（2）由（1）可知当时，，
当时，
任取，且，
且，则
于是，所以在上单调递增.
20．（本小题满分12分）
北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估。该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2-600)万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价
解析：(1)设每件定价为t元，依题意得:
最高定价为40元.
(2)依题意得:
所以销售至少达10.2万件，每件定价30元
21．（本小题满分12分）
定义域为R的函数f（x）满足：对于任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且当x＜0时，f（x）＞0恒成立，且nf（x）=f（nx）．（n是一个给定的正整数）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（2）证明f（x）为减函数；若函数f（x）在[-2，5]上总有f（x）≤10成立，试确定
f（1）应满足的条件；
（3）当a＜0时，解关于x的不等式．
【详解】
（1）f（x）为奇函数，证明如下；
由已知对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y） 恒成立．
令 x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0．
令y=-x，得 f（x-x）=f（x）+f（-x）=0．
所以对于任意x，都有f（-x）=-f（x）．
所以f（x）是奇函数．
（2）设任意 x1，x2 且 x1＜x2，则x2-x1＞0，由已知 f（x2-x1）＜0，
又f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1）＜0， 得 f（x2）＜f（x1），
根据函数单调性的定义和奇函数的性质知 f（x）在（-∞，+∞）上是减函数．
所以 f（x）在[-2，5]上的最大值为f（-2）．
要使 f（x）≤10恒成立，当且仅当 f（-2）≤10，
又因为f（-2）=-f（2）=-f（1+1）=-2f（1）,所以f（1）≥-5．
又 x＞1，f（x）＜0，所以f（1）∈[-5，0）．
（3）∵．，
∴f（ax2）-f（a2x）＞n2[f（x）-f（a）]．
所以f（ax2-a2x）＞n2f（x-a），
所以f（ax2-a2x）＞f[n2（x-a）]，
因为f（x） 在 （-∞，+∞） 上是减函数，
所以ax2-a2x＜n2（x-a）．
即（x-a）（ax-n2）＜0，
因为a＜0，所以（x-a）（x）＞0．
讨论：
①当a＜＜0，即a＜-n时，原不等式的解集为{x|x＞或x＜a}；
②当a=，即a=-n时，原不等式的解集为{x|x≠-n}；
③当＜a＜0，即-n＜a＜0 时，原不等式的解集为{x|x＞a或x＜}．
22（本小题满分10分）．
如果函数的定义域为，且存在实常数，使得对于定义域内任意，都有成立，则称此函数具有“性质”.
（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，求出所有的值的集合，若不具有“性质”，请说明理由；
（2）已知函数具有“性质”，且当时，，求函数在区间上的值域；
（3）已知函数既具有“性质”，又具有“性质”，且当时，，若函数的图像与直线有2017个公共点，求实数的值.
【答案】（1）；（2），函数的值域为；，函数的值域为；，函数的值域为；，函数的值域为；（3）.
【解析】
（1）假设具有“性质”，则恒成立，
等式两边平方整理得，，因为等式恒成立，
所以，解得，
则所有的值的集合为；
（2）因为函数具有“性质”，
所以恒成立，是偶函数.
设，则，.
①当时，函数在上递增，值域为.
②当时，函数在上递减，在上递增，
，，值域为.
③当时，，，值域为.
④时，函数在上递减，值域为.
（3）既具有“性质”，即，函数为偶函数，
又既具有“性质”，即，
函数是以2为周期的函数.
作出函数的图象如图所示：
由图象可知，当时，函数与直线交于点，即有无数个交点，不合题意.
当时，在区间上，函数有1008个周期，要使函数的图象与直线有2017个交点，
则直线与函数y=g(x)的图像在每个周期内都应有2个交点，且第2017个交点恰好为，所以，
同理，当时，，
综上，.
