2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第五章第一节平面向量的概念及线性运算

这是一份2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第五章第一节平面向量的概念及线性运算，共13页。学案主要包含了基础知识批注——理解深一点，常用结论汇总——规律多一点，基础小题强化——功底牢一点等内容，欢迎下载使用。

一、基础知识批注——理解深一点
1．向量的有关概念
(1)向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量．以A为起点、B为终点的向量记作eq \(AB,\s\up7(―→))，也可用黑体的单个小写字母a，b，c，…来表示向量．
(2)向量的长度(模)：向量eq \(AB,\s\up7(―→))的大小即向量eq \(AB,\s\up7(―→))的长度(模)，记为|eq \(AB,\s\up7(―→))|.
任意向量a的模都是
非负实数，即|a|≥0.
2．几种特殊向量
单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a平行的单位向量有两个，即向量eq \f(a,|a|)和－eq \f(a,|a|).
3．向量的线性运算
❷向量加法的多边形法则
多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，a＋b＋c表示从始点指向终点的向量，只关心始点、终点.
4．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
只有a≠0才保证实数λ的存在性和唯一性.
二、常用结论汇总——规律多一点
(1)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→)))．
(2)eq \(OA,\s\up7(―→))＝λeq \(OB,\s\up7(―→))＋μeq \(OC,\s\up7(―→)) (λ，μ为实数)，若点A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
三、基础小题强化——功底牢一点
eq \a\vs4\al(一判一判)eq \a\vs4\al(对的打“√”，错的打“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( )
(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．( )
(3)若向量eq \(AB,\s\up7(―→))与向量eq \(CD,\s\up7(―→))是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( )
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
(二)选一选
1．下列说法正确的是( )
A．单位向量都相等
B．模为0的向量与任意向量共线
C．平行向量不一定是共线向量
D．任一向量与它的相反向量不相等
解析：选B 对于A，单位向量的模相等，方向不一定相同，所以A错误；对于B，模为0的向量为零向量，零向量和任意向量共线，所以B正确；对于C，共线向量是方向相同或相反的非零向量，也叫平行向量，所以C错误；对于D，零向量与它的相反向量相等，所以D错误．故选B.
2．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( )
A．|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝|eq \(AD,\s\up7(―→))|一定成立 B．eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))一定成立
C．eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))一定成立 D．eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→))一定成立
解析：选A 在平行四边形ABCD中，eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))一定成立，eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))一定成立，eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→))一定成立，但|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝|eq \(AD,\s\up7(―→))|不一定成立．故选A.
3．设a，b都是非零向量，下列四个选项中，一定能使eq \f(a,|a|)＋eq \f(b,|b|)＝0成立的是( )
A．a＝2b B．a∥b
C．a＝－eq \f(1,3)b D．a⊥b
解析：选C “eq \f(a,|a|)＋eq \f(b,|b|)＝0，且a，b都是非零向量”等价于“非零向量a，b共线且反向”，故答案为C.
(三)填一填
4．若菱形ABCD的边长为2，则|eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(CB,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))|＝________.
解析：|eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(CB,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))|＝|eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))|＝|eq \(AD,\s\up7(―→))|＝2.
答案：2
5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.
解析：由题意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－k，,1＝3k，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝\f(1,3)，,λ＝－\f(1,3).))
答案：－eq \f(1,3)
eq \a\vs4\al(考点一 平面向量的有关概念)
[典例] 给出下列命题：
①若a＝b，b＝c，则a＝c；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(DC,\s\up7(―→))是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；
④若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中正确命题的序号是________．
[解析] ①正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，
又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，
∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
②正确．∵eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(DC,\s\up7(―→))，∴|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝|eq \(DC,\s\up7(―→))|且eq \(AB,\s\up7(―→))∥eq \(DC,\s\up7(―→))，
又A，B，C，D是不共线的四点，
∴四边形ABCD为平行四边形；
反之，若四边形ABCD为平行四边形，
则eq \(AB,\s\up7(―→))∥eq \(DC,\s\up7(―→))且|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝|eq \(DC,\s\up7(―→))|，因此，eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(DC,\s\up7(―→)).
③不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．
④不正确．考虑b＝0这种特殊情况．
综上所述，正确命题的序号是①②.
[答案] ①②
[解题技法] 向量有关概念的关键点
(1)向量定义的关键是方向和长度．
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．
(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．
(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线．
[题组训练]
1．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误的命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.③错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．故错误的命题有3个，故选D.
2．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0，假命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．
综上所述，假命题的个数是3.
eq \a\vs4\al(考点二 平面向量的线性运算)
[典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq \(EB,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→)) B.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(―→))
C.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→)) D.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(―→))
(2)如图，在直角梯形ABCD中，eq \(DC,\s\up7(―→))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(BE,\s\up7(―→))＝2eq \(EC,\s\up7(―→))， 且eq \(AE,\s\up7(―→))＝req \(AB,\s\up7(―→))＋seq \(AD,\s\up7(―→))，则2r＋3s＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] (1)作出示意图如图所示．eq \(EB,\s\up7(―→))＝eq \(ED,\s\up7(―→))＋eq \(DB,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up7(―→))＝ eq \f(1,2)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→)))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→)))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→)).故选A.
(2)根据图形，由题意可得eq \(AE,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BE,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)(eq \(BA,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(DC,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)(eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(DC,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \(AD,\s\up7(―→))＋\f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up7(―→)).
因为eq \(AE,\s\up7(―→))＝req \(AB,\s\up7(―→))＋seq \(AD,\s\up7(―→))，所以r＝eq \f(1,2)，s＝eq \f(2,3)，则2r＋3s＝1＋2＝3.
[答案] (1)A (2)C
[解题技法] 向量线性运算的解题策略
(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．
(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：
①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．
(4)与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．
[题组训练]
1．设D为△ABC所在平面内一点，eq \(BC,\s\up7(―→))＝3eq \(CD,\s\up7(―→))，则( )
A．eq \(AD,\s\up7(―→))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up7(―→)) B．eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up7(―→))
C．eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(―→)) D．eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(―→))
解析：选A 由题意得eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up7(―→)).
2．(2019·太原模拟)在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若eq \(AC,\s\up7(―→))＝λeq \(AM,\s\up7(―→))＋μeq \(AN,\s\up7(―→))，则实数λ＋μ＝________.
解析：如图，∵eq \(AM,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BM,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(DC,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up7(―→))，①
eq \(AN,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(DN,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up7(―→))，②
由①②得eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \f(4,3)eq \(AN,\s\up7(―→))－eq \f(2,3)eq \(AM,\s\up7(―→))，eq \(DC,\s\up7(―→))＝eq \f(4,3)eq \(AM,\s\up7(―→))－eq \f(2,3)eq \(AN,\s\up7(―→))，
∴eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(DC,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \f(4,3)eq \(AM,\s\up7(―→))－eq \f(2,3)eq \(AN,\s\up7(―→))＋eq \f(4,3)eq \(AN,\s\up7(―→))－eq \f(2,3)eq \(AM,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)eq \(AM,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(AN,\s\up7(―→))，
∵eq \(AC,\s\up7(―→))＝λeq \(AM,\s\up7(―→))＋μeq \(AN,\s\up7(―→))，∴λ＝eq \f(2,3)，μ＝eq \f(2,3)，λ＋μ＝eq \f(4,3).
答案：eq \f(4,3)
eq \a\vs4\al(考点三 共线向量定理的应用 )
[典例] 设两个非零向量a与b不共线，
(1)若eq \(AB,\s\up7(―→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up7(―→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up7(―→))＝3a－3b，
求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb同向．
[解] (1)证明：∵eq \(AB,\s\up7(―→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up7(―→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up7(―→))＝3a－3b，
∴eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq \(AB,\s\up7(―→))，
∴eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(BD,\s\up7(―→))共线．
又∵它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)∵ka＋b与a＋kb同向，
∴存在实数λ(λ>0)，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即ka＋b＝λa＋λkb.
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共线的非零向量，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝1，,λ＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝－1，,λ＝－1，))
又∵λ>0，∴k＝1.
[解题技法]
1．共线向量定理的3个应用
2.向量共线问题的注意事项
(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．
[题组训练]
1．在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up7(―→))＝a＋2b，eq \(BC,\s\up7(―→))＝－4a－b，eq \(CD,\s\up7(―→))＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( )
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．以上都不对
解析：选C 由已知，得eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2eq \(BC,\s\up7(―→))，故eq \(AD,\s\up7(―→))∥eq \(BC,\s\up7(―→)).又因为eq \(AB,\s\up7(―→))与eq \(CD,\s\up7(―→))不平行，所以四边形ABCD是梯形．
2．已知向量e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若向量a与向量b共线，则( )
A．λ＝0 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0
解析：选D 因为向量e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，又因为向量a和b共线，存在实数k，使得a＝kb，所以e1＋λe2＝2ke1，所以λe2＝(2k－1)e1，所以e1∥e2或λ＝0.
3．已知O为△ABC内一点，且eq \(AO,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \(OC,\s\up7(―→)))，eq \(AD,\s\up7(―→))＝teq \(AC,\s\up7(―→))，若B，O，D三点共线，则t＝( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
解析：选B 设E是BC边的中点，则eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \(OC,\s\up7(―→)))＝eq \(OE,\s\up7(―→))，由题意得eq \(AO,\s\up7(―→))＝eq \(OE,\s\up7(―→))，所以eq \(AO,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AE,\s\up7(―→))＝eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4t)eq \(AD,\s\up7(―→))，又因为B，O，D三点共线，所以eq \f(1,4)＋eq \f(1,4t)＝1，解得t＝eq \f(1,3)，故选B.
4．已知O，A，B三点不共线，P为该平面内一点，且eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \f(eq \(AB,\s\up7(―→)),|eq \(AB,\s\up7(―→))|)，则( )
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的延长线上
C．点P在线段AB的反向延长线上
D．点P在射线AB上
解析：选D 由eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \f(eq \(AB,\s\up7(―→)),|eq \(AB,\s\up7(―→))|)，得eq \(OP,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))＝eq \f(eq \(AB,\s\up7(―→)),|eq \(AB,\s\up7(―→))|)，∴eq \(AP,\s\up7(―→))＝eq \f(1,|eq \(AB,\s\up7(―→))|)·eq \(AB,\s\up7(―→))，∴点P在射线AB上，故选D.
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
1．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则eq \(EB,\s\up7(―→))＋eq \(FC,\s\up7(―→))＝( )
A．eq \(AD,\s\up7(―→)) B.eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(―→))
C.eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up7(―→)) D．eq \(BC,\s\up7(―→))
解析：选A 由题意得eq \(EB,\s\up7(―→))＋eq \(FC,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(CB,\s\up7(―→)))＋eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→)))＝eq \(AD,\s\up7(―→)).
2．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为( )
A．1 B．－eq \f(1,2)
C．1或－eq \f(1,2) D．－1或－eq \f(1,2)
解析：选B 由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k＜0)，
于是λa＋b＝keq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a＋2λ－1b)).
整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.
由于a，b不共线，所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝k，,2λk－k＝1，))
整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－eq \f(1,2).
又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－eq \f(1,2).
3．设向量a，b不共线，eq \(AB,\s\up7(―→))＝2a＋pb，eq \(BC,\s\up7(―→))＝a＋b，eq \(CD,\s\up7(―→))＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选B 因为eq \(BC,\s\up7(―→))＝a＋b，eq \(CD,\s\up7(―→))＝a－2b，所以eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))＝2a－b.又因为A，B，D三点共线，所以eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(BD,\s\up7(―→))共线．设eq \(AB,\s\up7(―→))＝λeq \(BD,\s\up7(―→))，所以2a＋pb＝λ(2a－b)，所以2＝2λ，p＝－λ，即λ＝1，p＝－1.
4．(2019·甘肃诊断)设D为△ABC所在平面内一点，eq \(BC,\s\up7(―→))＝－4eq \(CD,\s\up7(―→))，则eq \(AD,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(―→)) B.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(―→))
C.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→)) D.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→))
解析：选B 法一：设eq \(AD,\s\up7(―→))＝xeq \(AB,\s\up7(―→))＋yeq \(AC,\s\up7(―→))，由eq \(BC,\s\up7(―→))＝－4eq \(CD,\s\up7(―→))可得，eq \(BA,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→))＝－4eq \(CA,\s\up7(―→))－4eq \(AD,\s\up7(―→))，即－eq \(AB,\s\up7(―→))－3eq \(AC,\s\up7(―→))＝－4xeq \(AB,\s\up7(―→))－4yeq \(AC,\s\up7(―→))，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－4x＝－1，,－4y＝－3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,4)，,y＝\f(3,4)，))即eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(―→))，故选B.
法二：在△ABC中，eq \(BC,\s\up7(―→))＝－4eq \(CD,\s\up7(―→))，即－eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(CD,\s\up7(―→))，则eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \f(1,4)(eq \(BA,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(―→))，故选B.
5．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足eq \(OC,\s\up7(―→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up7(―→))，则eq \f(|eq \(BC,\s\up7(―→))|,|eq \(AC,\s\up7(―→))|)等于( )
A．1 B．2
C．3 D.eq \f(3,2)
解析：选C 因为eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(OC,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→))＝eq \f(3,4)eq \(BA,\s\up7(―→))，eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \(OC,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))，所以eq \f(|eq \(BC,\s\up7(―→))|,|eq \(AC,\s\up7(―→))|)＝3.故选C.
6．已知△ABC的边BC的中点为D，点G满足eq \(GA,\s\up7(―→))＋eq \(BG,\s\up7(―→))＋eq \(CG,\s\up7(―→))＝0，且eq \(AG,\s\up7(―→))＝λeq \(GD,\s\up7(―→))，则λ的值是( )
A.eq \f(1,2) B．2
C．－2 D．－eq \f(1,2)
解析：选C 由eq \(GA,\s\up7(―→))＋eq \(BG,\s\up7(―→))＋eq \(CG,\s\up7(―→))＝0，得G为以AB，AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此eq \(AG,\s\up7(―→))＝－2eq \(GD,\s\up7(―→))，则λ＝－2.故选C.
7．下列四个结论：
①eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CA,\s\up7(―→))＝0；②eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(MB,\s\up7(―→))＋eq \(BO,\s\up7(―→))＋eq \(OM,\s\up7(―→))＝0；
③eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(BD,\s\up7(―→))－eq \(CD,\s\up7(―→))＝0；④eq \(NQ,\s\up7(―→))＋eq \(QP,\s\up7(―→))＋eq \(MN,\s\up7(―→))－eq \(MP,\s\up7(―→))＝0，
其中一定正确的结论个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C ①eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CA,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(CA,\s\up7(―→))＝0，①正确；②eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(MB,\s\up7(―→))＋eq \(BO,\s\up7(―→))＋eq \(OM,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(MO,\s\up7(―→))＋eq \(OM,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))，②错误；③eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(BD,\s\up7(―→))－eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \(CB,\s\up7(―→))＋eq \(BD,\s\up7(―→))＋eq \(DC,\s\up7(―→))＝eq \(CD,\s\up7(―→))＋eq \(DC,\s\up7(―→))＝0，③正确；④eq \(NQ,\s\up7(―→))＋eq \(QP,\s\up7(―→))＋eq \(MN,\s\up7(―→))－eq \(MP,\s\up7(―→))＝eq \(NP,\s\up7(―→))＋eq \(PN,\s\up7(―→))＝0，④正确．故①③④正确．
8.如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，且eq \(AM,\s\up7(―→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(AN,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up7(―→))，AC，MN交于点P.若eq \(AP,\s\up7(―→))＝λeq \(AC,\s\up7(―→))，则λ的值为( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(3,7)
C.eq \f(3,16) D.eq \f(6,17)
解析：选D ∵eq \(AM,\s\up7(―→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(AN,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up7(―→))，∴eq \(AP,\s\up7(―→))＝λeq \(AC,\s\up7(―→))＝λ(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→)))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)eq \(AM,\s\up7(―→))＋\f(3,2)eq \(AN,\s\up7(―→))))＝eq \f(4,3)λeq \(AM,\s\up7(―→))＋eq \f(3,2)λeq \(AN,\s\up7(―→)).∵点M，N，P三点共线，∴eq \f(4,3)λ＋eq \f(3,2)λ＝1，则λ＝eq \f(6,17).故选D.
9．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.
解析：因为向量λa＋b与a＋2b平行，
所以可设λa＋b＝k(a＋2b)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝k，,1＝2k，))所以λ＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
10．若eq \(AP,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(PB,\s\up7(―→))，eq \(AB,\s\up7(―→))＝(λ＋1)eq \(BP,\s\up7(―→))，则λ＝________.
解析：如图，由eq \(AP,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(PB,\s\up7(―→))，可知点P是线段AB上靠近点A的三等分点，
则eq \(AB,\s\up7(―→))＝－eq \f(3,2)eq \(BP,\s\up7(―→))，结合题意可得λ＋1＝－eq \f(3,2)，所以λ＝－eq \f(5,2).
答案：－eq \f(5,2)
11．已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且eq \(OA,\s\up7(―→))＝a，eq \(OB,\s\up7(―→))＝b，则eq \(DC,\s\up7(―→))＝________，eq \(BC,\s\up7(―→))＝________.(用a，b表示)
解析：如图，eq \(DC,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))＝b－a，eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(OC,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→))＝－eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→))＝－a－b.
答案：b－a －a－b
12．(2019·长沙模拟)在平行四边形ABCD中，M为BC的中点．若eq \(AB,\s\up7(―→))＝λeq \(AM,\s\up7(―→))＋μeq \(DB,\s\up7(―→))，则λ－μ＝________.
解析：如图，在平行四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(DC,\s\up7(―→))，所以eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(AM,\s\up7(―→))＋eq \(MB,\s\up7(―→))＝eq \(AM,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up7(―→))＝eq \(AM,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)(eq \(DB,\s\up7(―→))－eq \(DC,\s\up7(―→)))＝eq \(AM,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)(eq \(DB,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→)))＝eq \(AM,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(DB,\s\up7(―→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))，所以eq \f(3,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(AM,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(DB,\s\up7(―→))，所以eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)eq \(AM,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(DB,\s\up7(―→))，所以λ＝eq \f(2,3)，μ＝eq \f(1,3)，所以λ－μ＝eq \f(1,3).
答案：eq \f(1,3)
13．设e1，e2是两个不共线的向量，已知eq \(AB,\s\up7(―→))＝2e1－8e2，eq \(CB,\s\up7(―→))＝e1＋3e2，eq \(CD,\s\up7(―→))＝2e1－e2.
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)若eq \(BF,\s\up7(―→))＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．
解：(1)证明：由已知得eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \(CD,\s\up7(―→))－eq \(CB,\s\up7(―→))＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，
∵eq \(AB,\s\up7(―→))＝2e1－8e2，
∴eq \(AB,\s\up7(―→))＝2eq \(BD,\s\up7(―→)).
又∵eq \(AB,\s\up7(―→))与eq \(BD,\s\up7(―→))有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)由(1)可知eq \(BD,\s\up7(―→))＝e1－4e2，
∵eq \(BF,\s\up7(―→))＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，
∴存在实数λ，使eq \(BF,\s\up7(―→))＝λeq \(BD,\s\up7(―→))，
即3e1－ke2＝λe1－4λe2，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝3，,－k＝－4λ.))
解得k＝12.
名称
定义
备注
零向量
长度为0的向量
零向量记作0，其方向是任意的
单位向量
长度等于1个单位的向量
单位向量记作a0，a0＝eq \f(a,|a|)
平行向量
方向相同或相反的非零向量(也叫共线向量)
0与任意向量共线
相等向量
长度相等且方向相同的向量
相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量
相反向量
长度相等且方向相反的两个向量
若a，b为相反向量，则a＝－b
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算

三角形法则 平行四边形法则
❷
(1)交换律：a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λa|＝|λ||a|；当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
证明向量共线
对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb(b≠0)，则a与b共线
证明三点共线
若存在实数λ，使eq \(AB,\s\up7(―→))＝λeq \(AC,\s\up7(―→))，则A，B，C三点共线
求参数的值
利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值