2019版高考数学创新大一轮浙江专用版讲义：第十章计数原理、概率第8节

第8节　离散型随机变量的均值与方差
最新考纲　了解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.

知 识 梳 理
1.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
（1）均值
称E（X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
（2）方差
称D（X）＝（xi－E（X））2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E（X）的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差.
2.均值与方差的性质
（1）E（aX＋b）＝aE（X）＋b.
（2）D（aX＋b）＝a2D（X）（a，b为常数）.
3.两点分布与二项分布的均值、方差
（1）若X服从两点分布，则E（X）＝p，D（X）＝p（1－p）.
（2）若X～B（n，p），则E（X）＝np，D（X）＝np（1－p）.
[常用结论与微点提醒]
1.已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差和标准差，可用均值、方差的性质求解；
2.如能分析所给随机变量服从常用的分布（如二项分布），可直接利用它们的均值、方差公式求解.
诊 断 自 测
1.思考辨析（在括号内打“√”或“×”）
（1）期望值就是算术平均数，与概率无关.（　　）
（2）随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量.（　　）
（3）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小.（　　）
（4）均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事.（　　）
解析　均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故（1）（4）均不正确.
答案　（1）×　（2）√　（3）√　（4）×
2.（选修2－3P68T1改编）已知X的分布列为
X
－1
0
1
P



设Y＝2X＋3，则E（Y）的值为（　　）
A. B.4 C.－1 D.1
解析　E（X）＝－＋＝－，
E（Y）＝E（2X＋3）＝2E（X）＋3＝－＋3＝.
答案　A
3.设随机变量X的分布列为P（X＝k）＝（k＝2，4，6，8，10），则D（X）等于　　　　.
解析　∵E（X）＝（2＋4＋6＋8＋10）＝6，
∴D（X）＝[（－4）2＋（－2）2＋02＋22＋42]＝8.
答案　8
4.（2017·全国Ⅱ卷）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D（X）＝　　　　.
解析　有放回地抽取，是一个二项分布模型，则X～
B（100，0.02），所以D（X）＝np（1－p）＝100×0.02×0.98＝1.96.
答案　1.96
5.（2018·金华十校联考）已知随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
4
P

a


则a＝　　　　　，数学期望E（X）＝　　　　　.
解析　由分布列的性质可得：＋a＋＋＝1，
解得a＝.
E（X）＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
答案　　
6.（2018·湖州调研）甲、乙两人被随机分配到A，B，C三个不同的岗位（一个人只能去一个工作岗位）.记分配到A岗位的人数为随机变量X，则随机变量X的数学期望E（X）＝　　　　　，方差D（X）＝　　　　　.
解析　由题意可得X的可能取值有0，1，2，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，则数学期望E（X）＝0×＋1×＋2×＝，方差D（X）＝×＋×＋×＝.
答案　　

考点一　一般分布列的均值与方差
【例1】 （1）（2018·浙江三市联考）已知某口袋中有3个白球和a个黑球（a∈N* ），现从中随机取出一球，再放回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球），记换好球后袋中白球的个数是ξ.若E（ξ）＝3，则D（ξ）＝（　　）
A. B.1 C. D.2
（2）（2018·浙江五校联考）从装有大小相同的3个红球和6个白球的袋子中，不放回地每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球时试验结束，则第一次试验恰摸到一个红球和一个白球的概率是　　　　；若记试验次数为X，则X的数学期望E（X）＝　　　　.
解析　（1）由题意，知ξ＝2或4，P（ξ＝2）＝，P（ξ＝4）＝，则E（ξ）＝2×＋4×＝3，解得a＝3，
∴P（ξ＝2）＝P（ξ＝4）＝，则D（ξ）＝[（2－3）2＋（4－3）2]＝1.
（2）第一次试验恰摸到一个红球和一个白球的概率是P＝＝；若记试验次数为X，则X＝1，2，3，4，于是
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝·＝，
P（X＝3）＝··＝＝，
P（X＝4）＝··＝，则X的数学期望E（X）＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
答案　（1）B　（2）　
规律方法　（1）求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.
（2）注意E（aX＋b）＝aE（X）＋b，D（aX＋b）＝a2D（X）的应用.
【训练1】 （1）（2018·浙江名校三联）随机变量X的分布列如下：
X
－2
0
1
P


p
则p＝　　　　；若Y＝2X＋3，则E（Y）＝　　　　.
（2）（2018·温州九校联考）将四位同学等可能地分到甲、乙、丙三个班级，则甲班级至少有一位同学的概率是　　　　　　　　，用随机变量ξ表示分到丙班级的人数，则E（ξ）＝　　　　　.
解析　（1）由已知，得＋＋p＝1，所以p＝，
且E（X）＝－2×＋0×＋1×＝－，
∴E（Y）＝E（2X＋3）＝2E（X）＋3＝2×＋3＝.
（2）甲班级没有分到同学的概率为＝，所以甲班级至少有一位同学的概率为1－＝.随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4，则P（ξ＝0）＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝＝，于是E（ξ）＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
答案　（1）　　（2）　
考点二　与二项分布有关的均值、方差
【例2】 （1）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，则p＝　　　　.
（2）（一题多解）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是　　　　　.
解析　（1）依题意可得E（X）＝np＝30，且D（X）＝np（1－p）＝20，解得p＝.
（2）法一　由题意可知每次试验不成功的概率为，成功的概率为，在2次试验中成功次数X的可能取值为0，1，2，则
P（X＝0）＝，P（X＝1）＝C××＝，
P（X＝2）＝＝.
所以在2次试验中成功次数X的分布列为
X
0
1
2
P



则在2次试验中成功次数X的均值为
E（X）＝0×＋1×＋2×＝.
法二　此试验满足二项分布，其中p＝，所以在2次试验中成功次数X的均值为E（X）＝np＝2×＝.
答案　（1）　（2）
规律方法　二项分布的期望与方差
（1）如果ξ～B（n，p），则用公式E（ξ）＝np；D（ξ）＝np（1－p）求解，可大大减少计算量.
（2）有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E（aξ＋b）＝aE（ξ）＋b以及E（ξ）＝np求出E（aξ＋b），同样还可求出D（aξ＋b）.
【训练2】 （1）有10道数学单项选择题，每题选对得4分，不选或选错得0分.已知某考生能正确答对其中的7道题，余下的3道题每题能正确答对的概率为.假设每题答对与否相互独立，记ξ为该考生答对的题数，η为该考生的得分，则P（ξ＝9）＝　　　　，E（η）＝　　　　.
（2）（2018·杭州学军中学模拟）商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球.在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖，则顾客抽奖1次能获奖的概率是　　　　　；若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，则E（X）＝　　　　　.
解析　（1）P（ξ＝9）＝C××＝.
由题意可得：ξ＝7，8，9，10，η＝4ξ，且（ξ－7）～B.
P（ξ＝7）＝C×＝，
P（ξ＝8）＝C××＝，
P（ξ＝9）＝C××＝，
P（ξ＝10）＝C×＝.
∴ξ的分布列为：
ξ
7
8
9
10
P




E（ξ）＝7×＋8×＋9×＋10×＝8.
E（η）＝E（4ξ）＝4E（ξ）＝32.
（2）由题得，在甲箱中抽中红球、白球的概率分别为，，在乙箱中抽中红球、白球的概率分别为，.抽奖一次不获奖的概率为×＝，所以其（对立事件）获奖的概率为1－＝.因为每次获得一等奖的概率为×＝，3次抽奖相互独立，故E（X）＝np＝3×＝.
答案　（1）　32　（2）　

基础巩固题组
一、选择题
1.已知离散型随机变量X的概率分布列为
X
1
3
5
P
0.5
m
0.2
则其方差D（X）＝（　　）
A.1 B.0.6 C.2.44 D.2.4
解析　由0.5＋m＋0.2＝1得m＝0.3，∴E（X）＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，∴D（X）＝（1－2.4）2×0.5＋（3－2.4）2×0.3＋（5－2.4）2×0.2＝2.44.
答案　C
2.（2018·稽阳联谊学校联考）随机变量ξ的分布列如下，且满足E（ξ）＝2，则
E（aξ＋b）的值为（　　）
ξ
1
2
3
P
a
b
c
A.0 B.1
C.2 D.无法确定，与a，b有关
解析　E（ξ）＝2，则a＋2b＋3c＝2，又a＋b＋c＝1，由两式可得a＝c，2a＋b＝1，∴E（aξ＋b）＝aE（ξ）＋b＝2a＋b＝1.
答案　B
3.（2018·绍兴检测）设X是离散型随机变量，P（X＝x1）＝，P（X＝x2）＝，且x1＜x2，若E（X）＝，D（X）＝，则x1＋x2＝（　　）
A. B. C. D.3
解析　由已知得
解得或因为x1＜x2，所以所以x1＋x2＝1＋2＝3.
答案　D
4.已知随机变量X＋η＝8，若X～B（10，0.6），则E（η），D（η）分别是（　　）
A.6，2.4 B.2，2.4
C.2，5.6 D.6，5.6
解析　由已知随机变量X＋η＝8，所以有η＝8－X.
因此，求得E（η）＝8－E（X）＝8－10×0.6＝2，
D（η）＝（－1）2D（X）＝10×0.6×0.4＝2.4.
答案　B
5.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（　　）
A.100 B.200 C.300 D.400
解析　设没有发芽的种子有ξ粒，则ξ～B（1 000，0.1），且X＝2ξ，∴E（X）＝E（2ξ）＝2E（ξ）＝2×1 000×0.1＝200.
答案　B
6.口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则X的数学期望E（X）的值是（　　）
A.4 B.4.5 C.4.75 D.5
解析　由题意知，X可以取3，4，5，P（X＝3）＝＝，
P（X＝4）＝＝，P（X＝5）＝＝＝，
所以E（X）＝3×＋4×＋5×＝4.5.
答案　B
7.（2017·浙江卷）已知随机变量ξi满足P（ξi＝1）＝pi，
P（ξi＝0）＝1－pi，i＝1，2.若0＜p1＜p2＜，则（　　）
A.E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）
B.E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
C.E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）
D.E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
解析　由题设可知E（ξ1）＝p1，E（ξ2）＝p2，
从而E（ξ1）＜E（ξ2），而D（ξ1）＝p1（1－p1），D（ξ2）＝
p2（1－p2），所以D（ξ1）－D（ξ2）＝（p1－p2）（1－p1－p2）
＜0，即D（ξ1）＜D（ξ2）.
答案　A
8.袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为.现甲、乙两人轮流从袋中取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，每次取出1个球，取后不放回，直到其中有一人取出白球时终止.用X表示取球终止时取球的总次数，则X的数学期望E（X）＝（　　）
A. B. C. D.
解析　易得袋中白球的个数为6.则由题意得，X的可能取值为1，2，3，4.P（X＝1）＝＝；P（X＝2）＝＝；P（X＝3）＝＝；P（X＝4）＝＝.所以E（X）＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
答案　B
二、填空题
9.（2018·湖州调研）设X为随机变量，X～B，若随机变量X的数学期望
E（X）＝2，则P（X＝2）＝　　　　；D（X）＝　　　　.
解析　由X～B，E（X）＝2，得np＝n＝2，∴n＝6，则P（X＝2）＝
C＝，D（X）＝np（1－p）＝6××＝.
答案　　
10.某科技创新大赛设有一、二、三等奖（参与活动的都有奖）且相应奖项获奖的概率是以a为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分别是7 000元、5 600元、4 200元，则参加此次大赛获得奖金的期望是　　　　元.
解析　由题意知a＋2a＋4a＝1，∴a＝，∴获得一、二、三等奖的概率分别为，，，∴所获奖金的期望是E（X）＝×7 000＋×5 600＋×4 200＝5 000（元）.
答案　5 000
11.（2018·嘉兴测试）已知随机变量ξ的分布列如下.
ξ
0
1
2
P
b
a2
－
则E（ξ）的最小值为　　　　　，此时b＝　　　　　.
解析　由题意得E（ξ）＝0×b＋1×a2＋2×＝a2－a＋1＝＋，所以E（ξ）的最小值为，此时a＝，又因为b＋a2＋－＝1，所以b＝－a2＋＋＝.
答案　　
12.（2018·杭州高级中学模拟）已知一个袋子中装有4个红球和2个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中摸出3个球，记摸到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的均值是　　　　　；方差是　　　　　.
解析　由题可得，ξ的所有可能取值分别为0，1，2.且P（ξ＝0）＝＝＝，P（ξ＝1）＝＝＝，P（ξ＝2）＝＝＝.所以其分布列为
ξ
0
1
2
P



所以E（ξ）＝0×＋1×＋2×＝1；D（ξ）＝（0－1）2×＋（1－1）2×＋（2－1）2×＝.
答案　1　
13.某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止.设甲每次击中的概率为p（p≠0），射击次数为Y，若Y的数学期望E（Y）>，则p的取值范围是　　　　.
解析　由已知得P（Y＝1）＝p，P（Y＝2）＝（1－p）p，
P（Y＝3）＝（1－p）2，
则E（Y）＝p＋2（1－p）p＋3（1－p）2＝p2－3p＋3>，
解得p>或p<，
又p∈（0，1），所以p∈.
答案　
能力提升题组
14.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X，已知E（X）＝3，则D（X）＝（　　）
A. B. C. D.
解析　由题意，X～B，
又E（X）＝＝3，∴m＝2，
则X～B，故D（X）＝5××＝.
答案　B
15.袋中装有大小完全相同，标号分别为1，2，3，…，9的九个球.现从袋中随机取出3个球.设ξ为这3个球的标号相邻的组数（例如：若取出球的标号为3，4，5，则有两组相邻的标号3，4和4，5，此时ξ的值是2），则随机变量ξ的均值
E（ξ）为（　　）
A. B. C. D.
解析　依题意得，ξ的所有可能取值是0，1，2.
且P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，
P（ξ＝2）＝＝，
因此E（ξ）＝0×＋1×＋2×＝.
答案　D
16.（2018·北京海淀区模拟）赌博有陷阱.某种赌博游戏每局的规则是：参与者从标有5，6，7，8，9的小球中随机摸取一个（除数字不同外，其余均相同），将小球上的数字作为其赌金（单位：元），然后放回该小球，再随机摸取两个小球，将两个小球上数字之差的绝对值的2倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量X和Y分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赎金与奖金，则E（X）－E（Y）＝　　　　元.
解析　根据题意可得P（X＝k）＝（k＝5，6，7，8，9），
可得E（X）＝×（5＋6＋7＋8＋9）＝7（元）.
Y的取值可能为2，4，6，8，其中
P（Y＝2）＝＝，
P（Y＝4）＝＝，
P（Y＝6）＝＝，
P（Y＝8）＝＝，
所以E（Y）＝2×＋4×＋6×＋8×＝4（元）.
故E（X）－E（Y）＝7－4＝3（元）.
答案　3
17.（2018·衢州质检）一个袋中装有质地均匀、大小相同的2个黑球和3个白球，从袋中一次任意摸出2个球，则恰有1个是白球的概率为　　　　　；从袋中一次任意摸出3个球，摸出白球个数的数学期望E（ξ）＝　　　　　.
解析　由题意得从5个小球中任意摸出2个共有C＝10种取法，其中满足恰有一个白球的取法有CC＝6种，所以恰有一个白球的概率为＝.任意摸出3个小球，设其中白球的个数为ξ，则ξ的可能取值为1，2，3，且P（ξ＝1）＝＝；P（ξ＝2）＝＝；P（ξ＝3）＝＝，所以E（ξ）＝1×＋2×＋3×＝.
答案　　
18.（2018·金华一中模拟）有甲、乙两个盒子，甲盒子中装有3个小球，乙盒子中装有5个小球，每次随机取一个盒子并从中取一个球，则甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下2个球的概率为　　　　；当取完一个盒子中的球时，另一个盒子恰剩下ξ个球，则ξ的期望为　　　　.
解析　甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下2个球的概率P＝
C·＝；由题意，知ξ的可能取值为1，2，3，4，5，因为
P（ξ＝1）＝C＋C＝，P（ξ＝2）＝C＋C＝，
P（ξ＝3）＝C＋＝，P（ξ＝4）＝C＝，P（ξ＝5）＝＝，所以E（ξ）＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.
答案