2019版高考数学创新大一轮浙江专用版讲义：第十章计数原理、概率第4节

第4节　随机事件的概率
最新考纲　1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别；2.了解两个互斥事件的概率加法公式．

知 识 梳 理
1．频率与概率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．
2．事件的关系与运算

定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B
A＝B
并事件(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅P(A∪B)＝1
3.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1．
(2)必然事件的概率P(E)＝1．
(3)不可能事件的概率P(F)＝0．
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．
[常用结论与微点提醒]
1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．
(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
2．概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即
P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
3．一般概率加法公式
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
诊 断 自 测
1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的．(　　)
(2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值．(　　)
(3)若随机事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1.(　　)
(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．(2018·金华十校联考)有各不相同的5个红球、3个黄球、2个白球，事件A：从红球和黄球中各选1球，事件B：从所有球中选取2球，则事件A发生是事件B发生的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　事件A：从红球和黄球中各选1球，能推出事件B：从所有球中选取2球，是充分条件，
事件B：从所有球中选取2球，推不出事件A：从红球和黄球中各选1球，不是必要条件．
答案　A
3．(2016·天津卷)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为(　　)
A. B. C. D.
解析　设“两人下成和棋”为事件A，“甲获胜”为事件B.事件A与B是互斥事件，所以甲不输的概率P＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
答案　A
4．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．
解析　由题意知，所求概率P＝＋＝.
答案　
5．袋中装有100个大小相同的红球、白球和黑球，从中任取一球，摸出红球、白球的概率分别是0.40和0.35，那么黑球共有________个．
解析　任取一球是黑球的概率为1－(0.40＋0.35)＝0.25，∴黑球有100×0.25＝25(个)．
答案　25
6．(2018·嘉兴测试)口袋内有一些大小、形状完全相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球的概率为________；是白球的概率为________．
解析　设摸出红球的概率是P(A)，摸出黄球的概率是P(B)，摸出白球的概率是P(C)，∴P(A)＋P(B)＝0.4，P(A)＋P(C)＝0.9，∴P(C)＝1－P(A)－P(B)＝0.6，P(B)＝1－P(A)－P(C)＝0.1.
答案　0.1　0.6

考点一　随机事件间的关系
【例1】 从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是(　　)
A．① B．②④ C．③ D．①③
解析　从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数．
其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件．
又①②④中的事件可以同时发生，不是对立事件．
答案　C
规律方法　(1)本题中准确理解恰有两个奇数(偶数)，一奇一偶，至少有一个奇数(偶数)是求解的关键，必要时可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系．
(2)准确把握互斥事件与对立事件的概念．
①互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．
②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．
【训练1】 口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A＝“取出的2球同色”，B＝“取出的2球中至少有1个黄球”，C＝“取出的2球至少有1个白球”，D＝“取出的2球不同色”，E＝“取出的2球中至多有1个白球”．下列判断中正确的序号为________．
①A与D是对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对立事件；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C)．
解析　当取出的2个球中一黄一白时，B与C都发生，②不正确．当取出的2个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，则③不正确．显然A与D是对立事件，①正确；C∪E不一定为必然事件，P(C∪E)≤1，④不正确．由于P(B)＝，P(C)＝，所以⑤不正确．
答案　①
考点二　随机事件的频率与概率
【例2】 (2016·全国Ⅱ卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
解　(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2，由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4，由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，
故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据得
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
规律方法　(1)解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计算频率，用频率估计概率．
(2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数(概率)，因此有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．
【训练2】 某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.
商品
顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
解　(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，
所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2.
(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．
所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3.
(3)与(1)同理，可得：
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝0.2，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1.
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．
考点三　互斥事件与对立事件的概率
【例3】 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．



一次购物量
1至
4件
5至
8件
9至
12件
13至
16件
17件及以上
顾客
数/人
x
30
25
y
10
结算时间/(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．
解　(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，
所以x＝15，y＝20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为
＝1.9(分钟)．
(2)记A表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得
P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝.
因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3彼此是互斥事件，
所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝＋＋＝.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.
规律方法　(1)①求解本题的关键是正确判断各事件的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来．
②结算时间不超过2分钟的事件，包括结算时间为2分钟的情形，否则会计算错误．
(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求解．当题目涉及“至多”、“至少”型问题，多考虑间接法．
【训练3】 某商场有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
解　(1)P(A)＝，P(B)＝＝，
P(C)＝＝.
故事件A，B，C的概率分别为，，.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.
∵A，B，C两两互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＝.
故1张奖券的中奖概率为.
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.

基础巩固题组

一、选择题
1．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，任意两人不能同一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是(　　)
A．互斥但非对立事件 B．对立事件
C．相互独立事件 D．以上都不对
解析　由于任意两人不能同一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．
答案　A
2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率为的事件是(　　)
A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡
解析　至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，因此“至多有一张移动卡”的概率为.
答案　A
3．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为(　　)
A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.3
解析　事件“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件，由于P(A)＝0.65，所以由对立事件的概率公式得“抽到的产品不是一等品”的概率为P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.
答案　C
4．某袋中有编号为1，2，3，4，5，6的6个球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是(　　)
A. B. C. D.
解析　设a，b分别为甲、乙摸出球的编号．由题意，摸球试验共有36种不同结果，满足a＝b的基本事件共有6种．所以摸出编号不同的概率P＝1－＝.
答案　C
5．掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，若表示B的对立事件，则一次试验中，事件A∪发生的概率为(　　)
A. B. C. D.
解析　掷一个骰子的试验有6种可能结果．
依题意P(A)＝＝，P(B)＝＝，
∴P()＝1－P(B)＝1－＝，
∵表示“出现5点或6点”的事件，
因此事件A与互斥，
从而P(A∪)＝P(A)＋P()＝＋＝.
答案　C
6．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为(　　)
A．134石 B．169石 C．338石 D．1 365石
解析　因为样本中米内夹谷的比为，所以这批米内夹谷为1 534×≈169(石)．
答案　B
7．甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1，2，3}，若|a－b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为(　　)
A. B. C. D.
解析　甲想一数字有3种结果，乙猜一数字有3种结果，基本事件总数为3×3＝9.
设甲、乙“心有灵犀”为事件A，则A的对立事件B为“|a－b|＞1”，即|a－b|＝2包含2个基本事件，
∴P(B)＝，
∴P(A)＝1－＝.
答案　D
8．(一题多解)(2018·丽水调研)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为(　　)
A. B. C. D.
解析　五人中选用三人，列举可得基本事件总数是10，
法一　甲被录用乙没被录用的可能情况有3种，乙被录用甲没被录用的可能情况有3种，甲、乙都被录用的可能情况有3种，所以所求概率为P＝＝.
法二　“甲或乙被录用”的对立事件是“甲和乙都没有被录用”，即录用的是其余三人，只含有1个基本事件，故所求概率是1－＝.
答案　D
二、填空题
9．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；
②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；
③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品．
其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．
答案　③　②　①
10．给出下列三个命题，其中正确命题有________个．
①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；
②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
解析　①错，不一定是10件次品；②错，是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．
答案　0
11．某城市2017年的空气质量状况如表所示：
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P






其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良，100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2017年空气质量达到良或优的概率为________．
解析　由题意可知2017年空气质量达到良或优的概率为P＝＋＋＝.
答案　
12．(2018·萧山月考)向三个相邻的军火库各投一枚炸弹．击中第一个军火库的概率为0.025，击中另两个军火库的概率都为0.1，并且只要击中一个，另两个也爆炸，则军火库爆炸的概率为__________．
解析　设A，B，C分别表示击中第一、二、三个军火库，易知事件A，B，C彼此互斥，且P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1.
设D表示军火库爆炸，则P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.所以军火库爆炸的概率为0.225.
答案　0.225
13．(2018·湖州调研)某班选派5人参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：
获奖人数
0
1
2
3
4
5
概率
0.1
0.16
x
y
0.2
z
(1)若获奖人数不超过2人的概率为0.56，则x的值为__________；
(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，则y＋z＝__________．
解析　记事件“在竞赛中，有k人获奖”为Ak(k∈N，k≤5)，则事件Ak彼此互斥．
(1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56，
∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56.
解得x＝0.3.
(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96，得P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04.
由获奖人数最少3人的概率为0.44，得P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，即y＋0.2＋0.04＝0.44.
解得y＝0.2.
∴y＋z＝0.24.
答案　(1)0.3　(2)0.24
能力提升题组
14．设事件A，B，已知P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，则A，B之间的关系一定为(　　)
A．两个任意事件 B．互斥事件
C．非互斥事件 D．对立事件
解析　因为P(A)＋P(B)＝＋＝＝P(A∪B)，所以A，B之间的关系一定为互斥事件．
答案　B
15．抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1，2，3，4，5，6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过2”，则P(A∪B)＝________．
解析　将事件A∪B分为：事件C“朝上一面的数为1，2”与事件D“朝上一面的数为3，5”．
则C，D互斥，且P(C)＝，P(D)＝，
∴P(A∪B)＝P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝.
答案　
16．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．

现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________．
解析　“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为
P＝＝.
“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”．
故他属于不超过2个小组的概率是
P＝1－＝.
答案　　
17．(2018·绍兴一中适应性检测)一个袋子中装有大小和形状相同的红球、白球和蓝球，其中有2个红球，3个白球，n个蓝球．
(1)若从中任取一个小球为红球的概率为，则n的值为__________；
(2)若从中任取一个小球为白球或蓝球的概率为，则从中任取一个小球不是蓝球的概率为__________．
解析　(1)设任取一个小球得到红球、白球、蓝球的事件分别为A，B，C，
它们是彼此互斥事件，
由已知得P(A)＝，
∴＝，
解得n＝3.
(2)∵P(B∪C)＝，
由对立事件的概率计算公式知，取一个球为红球的概率为P(A)＝1－P(B∪C)＝1－＝，
∴＝，解得n＝1，∴P(C)＝，
∴从中任取一个小球不是蓝球的概率
P()＝1－＝.
答案　(1)3　(2)
18．(2018·温州调研)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
(1)至多2人排队等候的概率为__________；
(2)(一题多解)至少3人排队等候的概率为__________．
解析　“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥．
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，
所以P(G)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)法一　记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
法二　记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.
答案　(1)0.56　(2)0.44