2019版高考数学(理)创新大一轮江苏专用版讲义:第十章算法、复数、统计、概率、推理与证明第67讲
展开考试要求 1.数学归纳法的原理(A级要求),数学归纳法的应用(B级要求);2.高考中以解答题为主,难度中等或偏难.仍会与数列、不等式的证明等内容结合出题.
诊 断 自 测
1.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1= (a≠1,n∈N*),在验证n=1时,等式左边的项是________.
解析 当n=1时,n+1=2,
∴左边=1+a1+a2=1+a+a2.
答案 1+a+a2
2.(2018·南京模拟)已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-+-+…-=2时,若已假设n=k(k≥2且k为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证________(填序号).
①n=k+1时等式成立;
②n=k+2时等式成立;
③n=2k+2时等式成立;
④n=2(k+2)时等式成立.
解析 因为n为正偶数,n=k时等式成立,
即n为第k个偶数时命题成立,
所以需假设n为下一个偶数,即n=k+2时等式成立.
答案 ②
3.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步检验n=________.
解析 凸n边形边数最小时是三角形,
故第一步检验n=3.
答案 3
4.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上________.
解析 等式左边是从1开始的连续自然数的和,直到n2.
故n=k+1时,最后一项是(k+1)2,而n=k时,最后一项是k2,应加上(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2.
答案 (k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2
5.(教材改编)已知{an}满足an+1=a-nan+1,n∈N*,且a1=2,则a2=________,a3=________,a4=________,猜想an=________.
答案 3 4 5 n+1
知 识 梳 理
1.数学归纳法
一般地,对于某些与正整数有关的数学命题,我们有数学归纳法公理:
如果
(1)当n取第一个值n0(例如n0=1,2等)时结论正确;
(2)假设当n=k(k∈N*,且k≥n0)时结论正确,证明当n=k+1时结论也正确.
那么,命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.
2.数学归纳法仅能解决的是与正整数n有关的证明题,必须先有结论成立,然后再用数学归纳法证明.
考点一 用数学归纳法证明等式
【例1】 设f(n)=1+++…+(n∈N*).求证:f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n[f(n)-1](n≥2,n∈N*).
证明 ①当n=2时,左边=f(1)=1,
右边=2=1,
左边=右边,等式成立.
②假设n=k(k≥2,k∈N*)时结论成立,即
f(1)+f(2)+…+f(k-1)=k[f(k)-1],
那么,当n=k+1时,
f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k)
=k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k)-k
=(k+1)[f(k+1)-]-k
=(k+1)f(k+1)-(k+1)=(k+1)[f(k+1)-1],
∴当n=k+1时结论成立.
由①②可知,f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n[f(n)-1](n≥2,n∈N*).
规律方法 用数学归纳法证明恒等式应注意
(1)明确初始值n0的取值并验证n=n0时等式成立.
(2)由n=k证明n=k+1时,弄清左边增加的项,且明确变形目标.
(3)掌握恒等变形常用的方法:①因式分解;②添拆项;③配方法.
【训练1】 (2018·南京质检)用数学归纳法证明:
++…+=(n∈N*).
证明 ①当n=1时,左边==,
右边==,
左边=右边,等式成立.
②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,等式成立.
即++…+=,
当n=k+1时,
左边=++…++
=+
=
=
=,
右边=
=,
左边=右边,等式成立.
即对所有n∈N*,原式都成立.
考点二 用数学归纳法证明不等式
【例2】 (2018·泰州模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图象上.
(1)求r的值;
(2)当b=2时,记bn=2(log2an+1)(n∈N*),证明:对任意的n∈N*,不等式··…·>成立.
(1)解 由题意Sn=bn+r,
当n≥2时,Sn-1=bn-1+r.
所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1).
由于b>0且b≠1,
所以n≥2时,{an}是以b为公比的等比数列.
又a1=b+r,a2=b(b-1),
所以=b,即=b,解得r=-1.
(2)证明 由(1)及b=2知an=2n-1.
因此bn=2n(n∈N*),
所证不等式为··…·>.
①当n=1时,左式=,右式=,
左式>右式,所以结论成立.
②假设n=k(k≥1,k∈N*)时结论成立,
即··…·>,
则当n=k+1时,
··…··>·=,
要证当n=k+1时结论成立,
只需证≥,
即证≥,
由基本不等式得
=>成立,
故≥成立,
所以当n=k+1时,结论成立.
由①②可知,当n∈N*时,不等式··…·>成立.
规律方法 数学归纳法证明不等式的适用范围及关键
(1)适用范围:当遇到与正整数n有关的不等式证明时,若用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法.
(2)关键:由n=k时命题成立证n=k+1时命题也成立,在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明,充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧,使问题得以简化.
【训练2】 若函数f(x)=x2-2x-3,定义数列{xn}如下:x1=2,xn+1是过点P(4,5)、Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴的交点的横坐标,试运用数学归纳法证明:2≤xn
所以直线PQ1的方程为y=4x-11,
令y=0,得x2=,因此2≤x1
②假设当n=k时,结论成立,即2≤xk
又f(xk+1)=x-2xk+1-3,
代入上式,令y=0,
得xk+2==4-,
由归纳假设,2
即xk+1
由①②知对任意的正整数n,2≤xn
命题角度1 与函数有关的证明问题
【例3-1】 已知数列{xn}满足x1=,xn+1=,n∈N*.猜想数列{x2n}的单调性,并证明你的结论.
解 由x1=及xn+1=,
得x2=,x4=,x6=,
由x2>x4>x6,猜想:数列{x2n}是递减数列.
下面用数学归纳法证明:
①当n=1时,已证命题成立.
②假设当n=k(k∈N*,且k≥1)时命题成立,即x2k>x2k+2,
易知xk>0,那么
x2k+2-x2k+4=-
=
=
=>0,
即x2(k+1)>x2(k+1)+2.
所以当n=k+1时命题也成立.
结合①②知,对于任何n∈N*命题成立.
命题角度2 与数列有关的证明问题
【例3-2】 在数列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*,λ>0).
(1)求a2,a3,a4;
(2)猜想{an }的通项公式,并加以证明.
解 (1)a2=2λ+λ2+2(2-λ)=λ2+22,
a3=λ(λ2+22)+λ3+(2-λ)22=2λ3+23,
a4=λ(2λ3+23)+λ4+(2-λ)23=3λ4+24.
(2)由(1)可猜想数列通项公式为:
an=(n-1)λn+2n.
下面用数学归纳法证明:
①当n=1,2,3,4时,等式显然成立,
②假设当n=k(k≥4,k∈N*)时等式成立,
即ak=(k-1)λk+2k,
那么当n=k+1时,
ak+1=λak+λk+1+(2-λ)2k
=λ(k-1)λk+λ2k+λk+1+2k+1-λ2k
=(k-1)λk+1+λk+1+2k+1
=[(k+1)-1]λk+1+2k+1,
所以当n=k+1时,ak+1=[(k+1)-1]λk+1+2k+1,
猜想成立,
由①②知数列的通项公式为an=(n-1)λn+2n(n∈N*,λ>0).
【例3-3】 (一题多解)设a1=1,an+1=+b(n∈N*).
(1)若b=1,求a2,a3及数列{an}的通项公式;
(2)若b=-1,问:是否存在实数c使得a2n
再由题设条件知(an+1-1)2-(an-1)2=1.
从而数列{(an-1)2}是首项为0,公差为1的等差数列,
故(an-1)2=n-1,即an=+1(n∈N*).
法二 a2=2,a3=+1.
可写为a1=+1,a2=+1,a3=+1.
因此猜想an=+1.
下面用数学归纳法证明上式:
①当n=1时结论显然成立.
②假设n=k(k∈N*,且k≥1)时结论成立,即ak=+1,
则当n=k+1时,ak+1=+1=+1=+1.
所以当n=k+1时结论成立.
所以an=+1(n∈N*).
(2)法一 设f(x)=-1,
则an+1=f(an).
令c=f(c),即c=-1,
解得c=.
下面用数学归纳法证明加强命题:
a2n
所以a2<
再由f(x)在(-∞,1]上为减函数,得c=f(c)
综上,符合条件的c存在,其中一个值为c=.
法二 设f(x)=-1,
则an+1=f(an).
先证:0≤an≤1(n∈N*).①
当n=1时,结论显然成立.
假设n=k(k∈N*,且k≥1)时结论成立,即0≤ak≤1.
易知f(x)在(-∞,1]上为减函数,从而
0=f(1)≤f(ak)≤f(0)=-1<1,
即0≤ak+1≤1.
这就是说,当n=k+1时结论成立.
故①成立.
再证:a2n
有a2
a2k+1=f(a2k)>f(a2k+1)=a2k+2,
a2(k+1)=f(a2k+1)
所以②对一切n∈N*成立.
由②得a2n<-1,
即(a2n+1)2 因此a2n<.③
又由①②及f(x)在(-∞,1]上为减函数,
得f(a2n)>f(a2n+1),即a2n+1>a2n+2,
所以a2n+1>-1.
解得a2n+1>.④
综上,由②③④知存在c=使得a2n
(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.
【训练3】 (2015·江苏卷)已知集合X={1,2,3},Yn={1,2,3,…,n}(n∈N*),设Sn={(a,b)|a整除b或b整除a,a∈X,b∈Yn},令f(n)表示集合Sn所含元素的个数.
(1)写出f(6)的值;
(2)当n≥6时,写出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.
解 (1)Y6={1,2,3,4,5,6},S6中的元素(a,b)满足:
若a=1,则b=1,2,3,4,5,6;若a=2,则b=1,2,4,6;
若a=3,则b=1,3,6.所以f(6)=13.
(2)当n≥6时,
f(n)=(t∈N*).
下面用数学归纳法证明:
①当n=6时,f(6)=6+2++=13,结论成立;
②假设n=k(k∈N*,k≥6)时结论成立,那么n=k+1时,Sk+1在Sk的基础上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情形讨论:
1)若k+1=6t,则k=6(t-1)+5,此时有
f(k+1)=f(k)+3=k+2+++3
=(k+1)+2++,结论成立;
2)若k+1=6t+1,则k=6t,此时有
f(k+1)=f(k)+1=k+2+++1
=(k+1)+2++,结论成立;
3)若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有
f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2
=(k+1)+2++,结论成立;
4)若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有
f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2
=(k+1)+2++,结论成立;
5)若k+1=6t+4,则k=6t+3,此时有
f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2
=(k+1)+2++,结论成立;
6)若k+1=6t+5,则k=6t+4,此时有
f(k+1)=f(k)+1=k+2+++1
=(k+1)+2++,结论成立.
综上所述,结论对满足n≥6的自然数n均成立.
一、必做题
1.如果命题p(n)对n=k(k∈N*)成立,则它对n=k+2也成立.若p(n)对n=2也成立,则下列结论正确的是________(填序号).
①p(n)对所有正整数n都成立;
②p(n)对所有正偶数n都成立;
③p(n)对所有正奇数n都成立;
④p(n)对所有自然数n都成立.
解析 n=2时,n=k,n=k+2成立,
n为2,4,6,…,故n为所有正偶数.
答案 ②
2.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,在第二步时,正确的证法是________(填序号).
①假设n=k(k∈N*),证明n=k+1时命题成立;
②假设n=k(k是正奇数),证明n=k+1时命题成立;
③假设n=2k+1(k∈N*),证明n=k+1时命题成立;
④假设n=k(k是正奇数),证明n=k+2时命题成立.
解析 相邻两个正奇数相差2,故④正确.
答案 ④
3.(2018·盐城质检)设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:当f(k)≥k+1成立时,总能推出f(k+1)≥k+2成立,那么下列命题总成立的是________(填序号).
①若f(1)<2成立,则f(10)<11成立;
②若f(3)≥4成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k+1成立;
③若f(2)<3成立,则f(1)≥2成立;
④若f(4)≥5成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k+1成立.
解析 当f(k)≥k+1成立时,总能推出f(k+1)≥k+2成立,说明如果当k=n时,f(n)≥n+1成立,那么当k=n+1时,f(n+1)≥n+2也成立,所以如果当k=4时,f(4)≥5成立,那么当k≥4时,f(k)≥k+1也成立.
答案 ④
4.在数列{an}中,a1=,且Sn=n(2n-1)an,通过求a2,a3,a4,猜想an的表达式为an=________.
解析 当n=2时,+a2=(2×3)a2,∴a2=.
当n=3时,++a3=(3×5)a3,∴a3=.
当n=4时,+++a4=(4×7)a4,a4=.
故猜想an=.
答案
5.(2018·盐城质检)利用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1),n∈N*”时,从“n=k”变到“n=k+1”时,左边应增乘的因式是________.
解析 当n=k(k∈N*)时,
左式为(k+1)(k+2)·…·(k+k);
当n=k+1时,左式为(k+1+1)·(k+1+2)·…·(k+1+k-1)·(k+1+k)·(k+1+k+1),
则左边应增乘的式子是=2(2k+1).
答案 2(2k+1)
6.设数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的自然数n都有(Sn-1)2=anSn,通过计算S1,S2,S3,猜想Sn=________.
解析 由(S1-1)2=S1·S1,得S1=,
由(S2-1)2=(S2-S1)S2,得S2=,
同理得S3=,猜想Sn=.
答案
7.设S1=12,S2=12+22+12,…,Sn=12+22+32+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12,用数学归纳法证明Sn=时,第二步从“k”到“k+1”应添加的项为________.
解析 由S1,S2,…,Sn可以发现由n=k到n=k+1时,中间增加了两项(k+1)2+k2(n,k∈N*).
答案 (k+1)2+k2
8.设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)=________;当n>4时,f(n)=________(用n表示).
解析 f(3)=2,f(4)=f(3)+3=2+3=5,
f(n)=f(3)+3+4+…+(n-1)
=2+3+4+…+(n-1)
=(n+1)(n-2).
答案 5 (n+1)(n-2)
9.(2018·镇江模拟)已知函数f(x)=x3-x,数列{an}满足条件:a1≥1,an+1≥
f′(an+1),试比较+++…+与1的大小,并说明理由.
解 ∵f′(x)=x2-1,且an+1≥f′(an+1),
∴an+1≥(an+1)2-1,令g(an)=(an+1)2-1,
∵函数g(x)=(x+1)2-1在[1,+∞)上是增函数.
于是由a1≥1,得a2≥(a1+1)2-1≥22-1,
进而a3≥(a2+1)2-1≥24-1>23-1,
由此猜想:an≥2n-1.下面用数学归纳法证明这个猜想:
①当n=1时,a1≥21-1=1,结论成立;
②假设n=k (k≥1且k∈N*)时,结论成立,
即ak≥2k-1.
当n=k+1时,由g(x)=(x+1)2-1在区间[1,+∞)上是增函数,
知ak+1≥(ak+1)2-1≥22k-1≥2k+1-1,
即n=k+1时,结论也成立.
由①②知,对任意n∈N*,都有an≥2n-1.
即1+an≥2n,∴≤,
∴+++…+≤+++…+=1-<1.
10.(2018·苏州模拟)数列{xn}满足x1=0,xn+1=-x+xn+c(n∈N*).
(1)证明:{xn}是递减数列的充要条件是c<0;
(2)若0
若c<0,由于xn+1=-x+xn+c≤xn+c
必要性:若{xn}是递减数列,则x2
故{xn}是递减数列的充要条件是c<0.
(2)若0
也就是证明xn< .
下面用数学归纳法证明当0
②假设当n=k(k∈N*)时结论成立,即xk< .
因为函数f(x)=-x2+x+c在区间内单调递增,
所以xk+1=f(xk)
故xn< 对任意n≥1,n∈N*都成立.
因此,xn+1=xn-x+c>xn,即{xn}是递增数列.
二、选做题
11.已知函数f0(x)=(x>0),设fn(x)为fn-1(x)的导数,n∈N*.
(1)求2f1+f2的值;
(2)证明:对任意的n∈N*,
等式=都成立.
(1)解 由已知得
f1(x)=f′0(x)=′=-,
于是f2(x)=f′1(x)=′-′
=--+,
所以f1=-,f2=-+,
故2f1+f2=-1.
(2)证明 由已知得xf0(x)=sin x,等式两边分别对x求导,
得f0(x)+xf′0(x)=cos x,
即f0(x)+xf1(x)=cos x=sin,类似可得
2f1(x)+xf2(x)=-sin x=sin(x+π),
3f2(x)+xf3(x)=-cos x=sin,
4f3(x)+xf4(x)=sin x=sin(x+2π).
下面用数学归纳法证明等式
nfn-1(x)+xfn(x)=sin对所有的x∈N*都成立.
①当n=1时,由上可知等式成立.
②假设当n=k时,等式成立,
即kfk-1(x)+xfk(x)=sin.
因为[kfk-1(x)+xfk(x)]′
=kf′k-1(x)+fk(x)+xf′k(x)
=(k+1)fk(x)+xfk+1(x),
′=cos·′
=sin,
所以(k+1)fk(x)+xfk+1(x)=sin.
因此当n=k+1时,等式也成立.
综合①②可知等式nfn-1(x)+xfn(x)=sin对所有的n∈N*都成立.
令x=,可得nfn-1+fn
=sin(n∈N*),
所以=(n∈N*).
12.设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的导函数.
(1)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N*,求gn(x)的表达式;
(2)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(3)设n∈N*,比较g(1)+g(2)+…+g(n)与n-f(n)的大小,并加以证明.
解 (1)由题设得g(x)=(x≥0).
由已知,g1(x)=,g2(x)=g(g1(x))==,g3(x)=,…,可猜想gn(x)=.
下面用数学归纳法证明.
①当n=1时,g1(x)=,结论成立.
②假设n=k(k∈N*,且k≥1)时结论成立,
即gk(x)=.
那么,当n=k+1时,gk+1(x)=g(gk(x))
===,即结论成立.
由①②可知,结论对n∈N*成立.
(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立,即ln(1+x)≥恒成立.
设φ(x)=ln(1+x)-(x≥0),
则φ′(x)=-=,
当a≤1时,φ′(x)≥0(仅当x=0,a=1时等号成立),
∴φ(x)在[0,+∞)上单调递增.
又φ(0)=0,
∴φ(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,
∴a≤1时,ln(1+x)≥恒成立(仅当x=0时等号成立).
当a>1时,对x∈(0,a-1]有φ′(x)≤0,
∴φ(x)在(0,a-1]上单调递减,
∴φ(a-1)<φ(0)=0.
即a>1时,存在x>0,使φ(x)<0,
∴ln(1+x)≥不恒成立,
综上可知,a的取值范围是(-∞,1].
(3)由题设知g(1)+g(2)+…+g(n)=++…+,n-f(n)=n-ln(n+1),
比较结果为g(1)+g(2)+…+g(n)>n-ln(n+1).
证明如下:
上述不等式等价于++…+
令x=,n∈N*,则
①当n=1时,