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2019版高考数学（理）创新大一轮江苏专用版讲义：第十章算法、复数、统计、概率、推理与证明第65讲
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第65讲 古典概型、几何概型及互斥事件
考试要求 1.随机事件与概率、互斥事件及其发生概率、几何概型(A级要求)、古典概型(B级要求)；2.高考中对本讲的考查重点是以古典概型、几何概型为主，考查的难度较容易.
诊 断 自 测
1.已知书架上有3本数学书，2本物理书，若从中随机取出2本，则取出的2本书都是数学书的概率为________.
解析 从5本书中取出2本书，基本事件有10个.从3本数学书中取出2本书的事件有3个，故所求的概率为.
答案
2.(2016·北京卷改编)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为________.
解析 从甲、乙等5名学生中随机选2人共有10种情况，甲被选中有4种情况，则甲被选中的概率为＝.
答案
3.(2015·全国Ⅰ卷改编)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为________.
解析 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数共有如下10种不同的结果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中勾股数只有(3，4，5)，所以概率为.
答案
4.(2015·山东卷改编)在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为________.
解析 由－1≤log≤1，得≤x＋≤2，
∴0≤x≤.
∴由几何概型的概率计算公式得所求概率
P＝＝.
答案
5.(必修3P115练习1改编)抛掷一枚质地均匀骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，则事件A＋发生的概率为________.
解析 事件A＋表示出现的点数为2，4，5，6，
所以P＝＝.
答案
6.(2018·南通模拟)一个边长为3 cm的正方形薄木板的正中央有一个直径为2 cm的圆孔，一只小虫在木板的一个面内随机地爬行，则小虫恰在离四个顶点的距离都大于2 cm的区域内的概率等于________.
解析 如图所示，分别以正方形的四个顶点为圆心，2 cm为半径作圆，与正方形相交截得四个圆心角为直角的扇形，当小虫落在图中的黑色区域时，它离四个顶点的距离都大于2 cm，其中黑色区域面积为S1＝S正方形－4S扇形－S小圆＝(3)2－π×22－π×12＝9π－5π＝4π，所以小虫离四个顶点的距离都大于2 cm的概率为P＝＝＝.
答案
知 识 梳 理
1.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
2.古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.
(1)所有的基本事件只有有限个；
(2)每个基本事件的发生都是等可能的.
3.如果1次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是.如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝.
4.古典概型的概率公式
P(A)＝.
5.几何概型的概念
设D是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点.这时，事件A发生的概率与d的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d的形状和位置无关.我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型.
6.几何概型的概率计算公式
一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝.
7.互斥事件与对立事件
(1)互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.
(2)对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥事件不一定是对立事件.
(3)互斥事件的概率
如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生(即A，B中有一个发生)的概率，等于事件A，B分别发生的概率和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，推广：如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
(4)对立事件的概率
事件A的对立事件表示为；对立事件的概率和等于1，即P(A)＋P()＝P(A＋)＝1.
考点一 古典概型的求法
【例1】 做抛掷两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一枚骰子出现的点数，y表示第二枚骰子出现的点数，写出：
(1)试验的基本事件；
(2)事件“出现点数之和大于8”；
(3)事件“出现点数相等”；
(4)事件“出现点数之和大于10”.
解 (1)这个试验的基本事件为
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，
(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).
(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).
(3)“出现点数相等”包含以下6个基本事件：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6).
(4)“出现点数之和大于10”包含以下3个基本事件：(5，6)，(6，5)，(6，6).
规律方法 (1)在列举基本事件空间时，可以利用画树状图等方法，以防遗漏，列举时要按一定顺序列举. (2)古典概型需满足两个条件：①对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；②对于所有不同的试验结果而言，它们出现的可能性是相等的.
【训练1】 袋中有大小相同的5个白球、3个黑球和3个红球，每个球只有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球.
(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
解 (1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法.又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型.
(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以每次每个球被摸中的可能性均为，而白球有5个，故每次摸到白球的可能性为，同理可知摸到黑球、红球的可能性均为，所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型.
考点二 几何概型的求法
【例2－1】 (1)(2016·全国Ⅱ卷改编)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为________.
(2)(2017·江苏卷)记函数f(x)＝的定义域为D.在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________.
(3)如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<1的概率.
解析 (1)至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为＝.
(2)由6＋x－x2≥0得－2≤x≤3，即D为[－2，3].故所求概率P＝＝.
答案 (1) (2)
(3)解 因为∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°.
在Rt△ABD中，AD＝，∠B＝60°，
所以BD＝＝1，∠BAD＝30°.
记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD时事件N发生.
由几何概型的概率公式，得P(N)＝＝.
规律方法 求解与长度、角度有关的几何概型的方法
求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解.要特别注意“长度型”与“角度型”的不同.解题的关键是构建事件的区域(长度或角度).
【例2－2】 (2016·全国Ⅱ卷改编)从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为________.
解析 由题意得：(xi，yi)(i＝1，2，…，n)在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知＝，∴π＝.
答案
【例2－3】 (1)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________.
(2)已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP－ABC
(2)当P在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知P＝1－＝.
答案 (1) (2)
规律方法 求解与体积有关的几何概型的注意点
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件去求.
【训练2】 (1)(2016·全国Ⅰ卷改编)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________.
(2)如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________.
解析 (1)如图所示，画出时间轴：
小明到达的时间会随机的落在图中线段AB上，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P＝＝.
(2)因为在∠DAB内任作射线AP，则等可能基本事件为“∠DAB内作射线AP”，所以它的所有等可能事件所在的区域H是∠DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在∠CAB内，区域H为∠CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为＝＝.
答案 (1) (2)
考点三 互斥事件、对立事件的概率
【例3】 一盒中共装有除颜色外其余均相同的小球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.从中随机取出1个球.
(1)求取出的1个球是红球或黑球的概率；
(2)求取出的1个球是红球或黑球或白球的概率.
解 记事件A1＝{任取1个球为红球}，A2＝{任取1个球为黑球}，A3＝{任取1个球为白球}，A4＝{任取1个球为绿球}，
则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.
据题意知事件A1，A2，A3，A4彼此互斥.
(1)P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
(2)法一 P(A1＋A2＋A3)
＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝＋＋＝.
法二 P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－＝.
规律方法 求较复杂的互斥事件的概率，一般有两种方法：一是直接求解法，即将所求事件的概率分解成一些彼此互斥的事件的概率和，分解后的每个事件概率的计算通常为等可能事件的概率计算，这时应注意事件是否互斥，是否完备；二是间接求解法，先求出此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P().若解决“至少”、“至多”型的题目，用后一种方法就显得比较方便.解题时需注意“互斥事件”与“对立事件”的区别与联系，搞清楚“互斥事件”与“等可能性事件”的差异.
【训练3】 抛掷一枚质地均匀的骰子.
(1)求落地时向上的数不小于5的概率；
(2)求落地时向上的数大于1的概率；
(3)求落地时向上的数是最大或者最小的数的概率.
解 设“骰子落地时向上的数为i”为事件Ai(i＝1，2，3，4，5，6)，则 P(Ai)＝.
(1)设“落地时向上的数不小于5”为事件C，
则P(C)＝P(A5＋A6)＝＋＝.
(2)设“落地时向上的数大于1”为事件D，
则P(D)＝1－P()＝1－P(A1)＝.
(3)设“落地时向上的数是最大或者最小的数”为事件E，
则P(E)＝P(A1＋A6)＝P(A1)＋P(A6)＝＋＝.
一、必做题
1.(2017·苏、锡、常、镇二模)从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为______.
解析 从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，
基本事件总数n＝C＝6，
这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：(1，2)，(2，4)，共2个，
∴这两个数的和为3的倍数的槪率p＝＝.
答案
2.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为________.
解析 由题意知，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戊)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P＝.
答案
3.(2017·南通二模)100张卡片上分别写有1，2，3，…，100.从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是________.
解析 从100张中随机取1张，基本事件有100个.其中为6的倍数事件数16个，故所求的概率为.
答案 (或0.16)
4.(2016·山东卷)在[－1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________.
解析 直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交的充要条件是圆心(5，0)到直线y＝kx的距离小于3.
则＜3，解之得－＜k＜，故所求事件的概率P＝＝.
答案
5.连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量(m，n)与向量(－1，1)的夹角θ>90°的概率是________.
解析 ∵(m，n)·(－1，1)＝－m＋n<0，∴m>n.
基本事件总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，…，(5，4)，(6，1)，…，(6，5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个).
∴P＝＝.
答案
6.(2018·南通模拟)在平面直角坐标系中，从下列五个点：A(0，0)，B(2，0)，C(1，1)，D(0，2)，E(2，2)中任取三个，则这三点能构成三角形的概率是________.
解析 从5个点中取3个点，列举得ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10个基本事件，而其中ACE，BCD两种情况三点共线，其余8个均符合题意，故能构成三角形的概率为＝.
答案
7.(2018·镇江模拟)在区间[0，4]上随机取两个实数x，y，使得x＋2y≤8的概率为________.
解析 由x，y∈[0，4]知(x，y)构成的区域是边长为4的正方形及其内部，其中满足x＋2y≤8的区域为如图所示的阴影部分.
易知A(4，2)，S正方形＝16，
S阴影＝＝12.故“使得x＋2y≤8”的概率
P＝＝.
答案
8.连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，记“两次向上的数字之和等于m”为事件A，则P(A)最大时，m＝________.
解析 1＋1＝2，1＋2＝3，1＋3＝4，1＋4＝5，1＋5＝6，1＋6＝7，2＋1＝3，2＋2＝4，2＋3＝5，2＋4＝6，2＋5＝7，2＋6＝8，…，依次列出m的可能取值，知7出现次数最多.
答案 7
9.设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3).
(1)求事件“a⊥b”发生的概率；
(2)求事件“|a|≤|b|”发生的概率.
解 (1)由题意知，m∈{1，2，3，4，5，6}，
n∈{1，2，3，4，5，6}，故(m，n)所有可能的取法共36种.
因为a⊥b，所以m－3n＝0，即m＝3n，有(3，1)，(6，2)，共2种，所以事件a⊥b发生的概率为＝.
(2)由|a|≤|b|，得m2＋n2≤10，
有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，共6种，其概率为＝.
10.甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.
(1)设(i，j)表示甲、乙抽到的牌的牌面数字(如果甲抽到红桃2，乙抽到红桃3，记为(2，3))，写出甲、乙两人抽到的牌的所有情况；
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜，你认为此游戏是否公平？请说明理由.
解 (1)方片4用4′表示，则甲、乙两人抽到的牌的所有情况为(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种不同的情况.
(2)甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4′，因此乙抽到的牌的牌面数字大于3的概率为.
(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大，有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种情况.
甲胜的概率为P1＝，乙胜的概率为P2＝.
因为<，所以此游戏不公平.
二、选做题
11.已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为________.
解析 如图，当BE＝1时，∠AEB为直角，则点D在线段BE(不包含B，E点)上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝4时，∠BAF为直角，则点D在线段CF(不包含C，F点)上时，△ABD为钝角三角形.所以△ABD为钝角三角形的概率为＝.
答案
12.(2017·北京海淀区期末)为了研究某种农作物在特定温度(要求最高温度t满足：27 ℃≤t≤30 ℃)下的生长状况，某农学家需要在10月份去某地进行为期10天的连续观察试验.现有关于该地区历年10月份日平均最高温度和日平均最低温度(单位：℃)的记录如下：
(1)根据本次试验目的和试验周期，写出农学家观察试验的起始日期；
(2)设该地区今年10月上旬(10月1日至10月10日)的最高温度的方差和最低温度的方差分别为D1，D2，估计D1，D2的大小(直接写出结论即可)；
(3)从10月份31天中随机选择连续3天，求所选3天每天日平均最高温度值都在[27，30]之间的概率.
解 (1)农学家观察试验的起始日期为7日或8日.
(2)最高温度的方差D1大.
(3)设“连续3天平均最高温度值都在[27，30]之间”为事件A，
则基本事件空间可以设为Ω＝{(1，2，3)，(2，3，4)，(3，4，5)，…，(29，30，31)}，共29个基本事件，
由题图可以看出，事件A包含10个基本事件，
所以P(A)＝，所选3天每天日平均最高温度值都在[27，30]之间的概率为.
考试要求 1.随机事件与概率、互斥事件及其发生概率、几何概型(A级要求)、古典概型(B级要求)；2.高考中对本讲的考查重点是以古典概型、几何概型为主，考查的难度较容易.
诊 断 自 测
1.已知书架上有3本数学书，2本物理书，若从中随机取出2本，则取出的2本书都是数学书的概率为________.
解析 从5本书中取出2本书，基本事件有10个.从3本数学书中取出2本书的事件有3个，故所求的概率为.
答案
2.(2016·北京卷改编)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为________.
解析 从甲、乙等5名学生中随机选2人共有10种情况，甲被选中有4种情况，则甲被选中的概率为＝.
答案
3.(2015·全国Ⅰ卷改编)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为________.
解析 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数共有如下10种不同的结果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中勾股数只有(3，4，5)，所以概率为.
答案
4.(2015·山东卷改编)在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为________.
解析 由－1≤log≤1，得≤x＋≤2，
∴0≤x≤.
∴由几何概型的概率计算公式得所求概率
P＝＝.
答案
5.(必修3P115练习1改编)抛掷一枚质地均匀骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，则事件A＋发生的概率为________.
解析 事件A＋表示出现的点数为2，4，5，6，
所以P＝＝.
答案
6.(2018·南通模拟)一个边长为3 cm的正方形薄木板的正中央有一个直径为2 cm的圆孔，一只小虫在木板的一个面内随机地爬行，则小虫恰在离四个顶点的距离都大于2 cm的区域内的概率等于________.
解析 如图所示，分别以正方形的四个顶点为圆心，2 cm为半径作圆，与正方形相交截得四个圆心角为直角的扇形，当小虫落在图中的黑色区域时，它离四个顶点的距离都大于2 cm，其中黑色区域面积为S1＝S正方形－4S扇形－S小圆＝(3)2－π×22－π×12＝9π－5π＝4π，所以小虫离四个顶点的距离都大于2 cm的概率为P＝＝＝.
答案
知 识 梳 理
1.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
2.古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.
(1)所有的基本事件只有有限个；
(2)每个基本事件的发生都是等可能的.
3.如果1次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是.如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝.
4.古典概型的概率公式
P(A)＝.
5.几何概型的概念
设D是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点.这时，事件A发生的概率与d的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d的形状和位置无关.我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型.
6.几何概型的概率计算公式
一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝.
7.互斥事件与对立事件
(1)互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.
(2)对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥事件不一定是对立事件.
(3)互斥事件的概率
如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生(即A，B中有一个发生)的概率，等于事件A，B分别发生的概率和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，推广：如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
(4)对立事件的概率
事件A的对立事件表示为；对立事件的概率和等于1，即P(A)＋P()＝P(A＋)＝1.
考点一 古典概型的求法
【例1】 做抛掷两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一枚骰子出现的点数，y表示第二枚骰子出现的点数，写出：
(1)试验的基本事件；
(2)事件“出现点数之和大于8”；
(3)事件“出现点数相等”；
(4)事件“出现点数之和大于10”.
解 (1)这个试验的基本事件为
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，
(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).
(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).
(3)“出现点数相等”包含以下6个基本事件：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6).
(4)“出现点数之和大于10”包含以下3个基本事件：(5，6)，(6，5)，(6，6).
规律方法 (1)在列举基本事件空间时，可以利用画树状图等方法，以防遗漏，列举时要按一定顺序列举. (2)古典概型需满足两个条件：①对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；②对于所有不同的试验结果而言，它们出现的可能性是相等的.
【训练1】 袋中有大小相同的5个白球、3个黑球和3个红球，每个球只有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球.
(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
解 (1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法.又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型.
(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以每次每个球被摸中的可能性均为，而白球有5个，故每次摸到白球的可能性为，同理可知摸到黑球、红球的可能性均为，所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型.
考点二 几何概型的求法
【例2－1】 (1)(2016·全国Ⅱ卷改编)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为________.
(2)(2017·江苏卷)记函数f(x)＝的定义域为D.在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________.
(3)如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<1的概率.
解析 (1)至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为＝.
(2)由6＋x－x2≥0得－2≤x≤3，即D为[－2，3].故所求概率P＝＝.
答案 (1) (2)
(3)解 因为∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°.
在Rt△ABD中，AD＝，∠B＝60°，
所以BD＝＝1，∠BAD＝30°.
记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD时事件N发生.
由几何概型的概率公式，得P(N)＝＝.
规律方法 求解与长度、角度有关的几何概型的方法
求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解.要特别注意“长度型”与“角度型”的不同.解题的关键是构建事件的区域(长度或角度).
【例2－2】 (2016·全国Ⅱ卷改编)从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为________.
解析 由题意得：(xi，yi)(i＝1，2，…，n)在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知＝，∴π＝.
答案
【例2－3】 (1)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________.
(2)已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP－ABC
(2)当P在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知P＝1－＝.
答案 (1) (2)
规律方法 求解与体积有关的几何概型的注意点
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件去求.
【训练2】 (1)(2016·全国Ⅰ卷改编)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________.
(2)如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________.
解析 (1)如图所示，画出时间轴：
小明到达的时间会随机的落在图中线段AB上，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P＝＝.
(2)因为在∠DAB内任作射线AP，则等可能基本事件为“∠DAB内作射线AP”，所以它的所有等可能事件所在的区域H是∠DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在∠CAB内，区域H为∠CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为＝＝.
答案 (1) (2)
考点三 互斥事件、对立事件的概率
【例3】 一盒中共装有除颜色外其余均相同的小球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.从中随机取出1个球.
(1)求取出的1个球是红球或黑球的概率；
(2)求取出的1个球是红球或黑球或白球的概率.
解 记事件A1＝{任取1个球为红球}，A2＝{任取1个球为黑球}，A3＝{任取1个球为白球}，A4＝{任取1个球为绿球}，
则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.
据题意知事件A1，A2，A3，A4彼此互斥.
(1)P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
(2)法一 P(A1＋A2＋A3)
＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝＋＋＝.
法二 P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－＝.
规律方法 求较复杂的互斥事件的概率，一般有两种方法：一是直接求解法，即将所求事件的概率分解成一些彼此互斥的事件的概率和，分解后的每个事件概率的计算通常为等可能事件的概率计算，这时应注意事件是否互斥，是否完备；二是间接求解法，先求出此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P().若解决“至少”、“至多”型的题目，用后一种方法就显得比较方便.解题时需注意“互斥事件”与“对立事件”的区别与联系，搞清楚“互斥事件”与“等可能性事件”的差异.
【训练3】 抛掷一枚质地均匀的骰子.
(1)求落地时向上的数不小于5的概率；
(2)求落地时向上的数大于1的概率；
(3)求落地时向上的数是最大或者最小的数的概率.
解 设“骰子落地时向上的数为i”为事件Ai(i＝1，2，3，4，5，6)，则 P(Ai)＝.
(1)设“落地时向上的数不小于5”为事件C，
则P(C)＝P(A5＋A6)＝＋＝.
(2)设“落地时向上的数大于1”为事件D，
则P(D)＝1－P()＝1－P(A1)＝.
(3)设“落地时向上的数是最大或者最小的数”为事件E，
则P(E)＝P(A1＋A6)＝P(A1)＋P(A6)＝＋＝.
一、必做题
1.(2017·苏、锡、常、镇二模)从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为______.
解析 从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，
基本事件总数n＝C＝6，
这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：(1，2)，(2，4)，共2个，
∴这两个数的和为3的倍数的槪率p＝＝.
答案
2.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为________.
解析 由题意知，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戊)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P＝.
答案
3.(2017·南通二模)100张卡片上分别写有1，2，3，…，100.从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是________.
解析 从100张中随机取1张，基本事件有100个.其中为6的倍数事件数16个，故所求的概率为.
答案 (或0.16)
4.(2016·山东卷)在[－1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________.
解析 直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交的充要条件是圆心(5，0)到直线y＝kx的距离小于3.
则＜3，解之得－＜k＜，故所求事件的概率P＝＝.
答案
5.连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量(m，n)与向量(－1，1)的夹角θ>90°的概率是________.
解析 ∵(m，n)·(－1，1)＝－m＋n<0，∴m>n.
基本事件总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，…，(5，4)，(6，1)，…，(6，5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个).
∴P＝＝.
答案
6.(2018·南通模拟)在平面直角坐标系中，从下列五个点：A(0，0)，B(2，0)，C(1，1)，D(0，2)，E(2，2)中任取三个，则这三点能构成三角形的概率是________.
解析 从5个点中取3个点，列举得ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10个基本事件，而其中ACE，BCD两种情况三点共线，其余8个均符合题意，故能构成三角形的概率为＝.
答案
7.(2018·镇江模拟)在区间[0，4]上随机取两个实数x，y，使得x＋2y≤8的概率为________.
解析 由x，y∈[0，4]知(x，y)构成的区域是边长为4的正方形及其内部，其中满足x＋2y≤8的区域为如图所示的阴影部分.
易知A(4，2)，S正方形＝16，
S阴影＝＝12.故“使得x＋2y≤8”的概率
P＝＝.
答案
8.连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，记“两次向上的数字之和等于m”为事件A，则P(A)最大时，m＝________.
解析 1＋1＝2，1＋2＝3，1＋3＝4，1＋4＝5，1＋5＝6，1＋6＝7，2＋1＝3，2＋2＝4，2＋3＝5，2＋4＝6，2＋5＝7，2＋6＝8，…，依次列出m的可能取值，知7出现次数最多.
答案 7
9.设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3).
(1)求事件“a⊥b”发生的概率；
(2)求事件“|a|≤|b|”发生的概率.
解 (1)由题意知，m∈{1，2，3，4，5，6}，
n∈{1，2，3，4，5，6}，故(m，n)所有可能的取法共36种.
因为a⊥b，所以m－3n＝0，即m＝3n，有(3，1)，(6，2)，共2种，所以事件a⊥b发生的概率为＝.
(2)由|a|≤|b|，得m2＋n2≤10，
有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，共6种，其概率为＝.
10.甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.
(1)设(i，j)表示甲、乙抽到的牌的牌面数字(如果甲抽到红桃2，乙抽到红桃3，记为(2，3))，写出甲、乙两人抽到的牌的所有情况；
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜，你认为此游戏是否公平？请说明理由.
解 (1)方片4用4′表示，则甲、乙两人抽到的牌的所有情况为(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种不同的情况.
(2)甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4′，因此乙抽到的牌的牌面数字大于3的概率为.
(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大，有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种情况.
甲胜的概率为P1＝，乙胜的概率为P2＝.
因为<，所以此游戏不公平.
二、选做题
11.已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为________.
解析 如图，当BE＝1时，∠AEB为直角，则点D在线段BE(不包含B，E点)上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝4时，∠BAF为直角，则点D在线段CF(不包含C，F点)上时，△ABD为钝角三角形.所以△ABD为钝角三角形的概率为＝.
答案
12.(2017·北京海淀区期末)为了研究某种农作物在特定温度(要求最高温度t满足：27 ℃≤t≤30 ℃)下的生长状况，某农学家需要在10月份去某地进行为期10天的连续观察试验.现有关于该地区历年10月份日平均最高温度和日平均最低温度(单位：℃)的记录如下：
(1)根据本次试验目的和试验周期，写出农学家观察试验的起始日期；
(2)设该地区今年10月上旬(10月1日至10月10日)的最高温度的方差和最低温度的方差分别为D1，D2，估计D1，D2的大小(直接写出结论即可)；
(3)从10月份31天中随机选择连续3天，求所选3天每天日平均最高温度值都在[27，30]之间的概率.
解 (1)农学家观察试验的起始日期为7日或8日.
(2)最高温度的方差D1大.
(3)设“连续3天平均最高温度值都在[27，30]之间”为事件A，
则基本事件空间可以设为Ω＝{(1，2，3)，(2，3，4)，(3，4，5)，…，(29，30，31)}，共29个基本事件，
由题图可以看出，事件A包含10个基本事件，
所以P(A)＝，所选3天每天日平均最高温度值都在[27，30]之间的概率为.
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