2019版高考数学（理）创新大一轮江苏专用版讲义：第十一章计数原理与概率分布第71讲

第71讲　独立事件及随机变量的概率分布
考试要求　1.取有限个值的离散型随机变量及其概率分布的概念(A级要求)；2.概率分布对于刻画随机现象的重要性(A级要求)；3.超几何分布及其简单应用(A级要求)；4.条件概率和两个事件相互独立的概念(A级要求)；5.n次独立重复试验的模型及二项分布，解决一些简单的实际问题(B级要求).

诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量.(　　)
(2)离散型随机变量的概率分布描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.(　　)
(3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布.(　　)
(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名演员，其中女演员的人数X服从超几何分布.(　　)
(5)离散型随机变量的概率分布中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　　)
(6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×　(6)√
2.(2018·苏州模拟)袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是________(填序号).
①至少取到1个白球；
②至多取到1个白球；
③取到白球的个数；
④取到的球的个数.
解析　①②表述的都是随机事件，④是确定的值2，并不随机；③是随机变量，可能取值为0，1，2.
答案　③
3.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)＝________.
解析　设X的概率分布为
X
0
1
P
p
2p
即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，由p＋2p＝1，得p＝.
答案　
4.从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有________个.
解析　X可能取得的值有3，4，5，…，19，共17个.
答案　17
5.从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的概率分布为
X
0
1
2
P



其中空白处分别填入________.
解析　∵X的所有可能取值为0，1，2，
∴P(X＝0)＝＝0.1，
P(X＝1)＝＝＝0.6，P(X＝2)＝＝0.3.
∴X的概率分布为
X
0
1
2
P
0.1
0.6
0.3
答案　0.1　0.6　0.3
6.(2017·山东卷改编)从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是________.
解析　由题意得，所求概率P＝＝.
答案　
知 识 梳 理
1.离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示，所有取值可以一一列出的随机变量，叫做离散型随机变量.
2.离散型随机变量的概率分布及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
称为离散型随机变量X的概率分布表.
(2)离散型随机变量的概率分布的性质
①pi≥0，i＝1，2，…，n；
②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1.
3.常见离散型随机变量的概率分布
(一)两点分布
如果随机变量X的概率分布表为
X
0
1
P
1－p
p
其中0 (二)超几何分布
一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品.从中任取n (n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么
P(X＝r)＝(r＝0，1，2，…，l).
即
X
0
1
…
l
P


…

其中l＝min(M，n)，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
如果一个随机变量X的概率分布具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布.
(三)二项分布
(1)条件概率及其性质
①对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率叫做条件概率，用符号P(A|B)来表示，其公式为P(A|B)＝(P(B)>0).
在古典概型中，若用n(B)表示事件B中基本事件的个数，则P(A|B)＝.
②条件概率具有的性质
(ⅰ)0≤P(B|A)≤1；
(ⅱ)如果B和C是两个互斥事件，
则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A).
(2)相互独立事件
①设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立.
②若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，
P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(A)P(B).
③若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立.
④若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立.
(3)二项分布
①独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的.
②在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk·(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分 布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率.

考点一　离散型随机变量的概率分布的性质
【例1】 (1)设X是一个离散型随机变量，其概率分布为
X
－1
0
1
P

2－3q
q2
则q＝________.
(2)设离散型随机变量X的概率分布为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
求2X＋1的概率分布.
(1)解析　∵＋2－3q＋q2＝1，∴q2－3q＋＝0，解得q＝±.又由题意知0 答案　－
(2)解　由概率分布的性质知
0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.
首先列表为
X
0
1
2
3
4
2X＋1
1
3
5
7
9
从而2X＋1的概率分布为
2X＋1
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
规律方法　(1)利用概率分布中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数.
(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据概率分布，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.
【训练1】 设随机变量X的概率分布为P＝ak(k＝1，2，3，4，5).
(1)求a；
(2)求P；
(3)求P.
解　(1)由概率分布的性质，得P＋P＋P＋P＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，所以a＝.
(2)P＝P＋P＋P(X＝1)＝3×＋4×＋5×＝.
(3)P＝P＋P＋P＝＋＋＝＝.
考点二　离散型随机变量概率分布的求法
【例2－1】 (2015·安徽卷改编)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的概率分布.
解　(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A.
P(A)＝＝.
(2)X的可能取值为200，300，400.
P(X＝200)＝＝，
P(X＝300)＝＝，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)
＝1－－＝.
故X的概率分布为

X
200
300
400
P



【例2－2】 (2018·南京模拟)甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.
(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；
(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的概率分布.
解　(1)用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”.
则P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1，2，3，4，5.
P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)
＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)·P(A3)P(A4)
＝＋×＋××＝.
(2)X的可能取值为2，3，4，5.
P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)
＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝，
P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)
＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝，
P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)
＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)·P(B4)＝，
P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝.
故X的概率分布为
X
2
3
4
5
P




规律方法　求离散型随机变量X的概率分布的步骤
(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的概率分布.
求离散型随机变量的概率分布的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识.
【训练2】 (2018·泰州二模)连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i次得到的点数为ai，若存在正整数k，使a1＋a2＋…＋ak＝6，则称k为你的幸运数字.
(1)求你的幸运数字为3的概率；
(2)若k＝1，则你的得分为6分；若k＝2，则你的得分为4分；若k＝3，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字，则记0分，求得分ξ的概率分布.
解　(1)设“连续抛掷3次骰子，和为6”为事件A，则它包含事件A1，A2，A3，其中A1：三次恰好均为2；A2：三次中恰好1，2，3各一次；A3：三次中有两次均为1，一次为4.
A1，A2，A3为互斥事件，则
P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝C＋C··C··C·＋C·＝.
(2)由已知得ξ的可能取值为6，4，2，0，
P(ξ＝6)＝，P(ξ＝4)＝＋2×C××＝，
P(ξ＝2)＝，P(ξ＝0)＝1－－－＝.
故ξ的概率分布为
ξ
6
4
2
0
P




考点三　超几何分布
【例3】 (2017·山东卷)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望E(X).
解　(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，
则P(M)＝＝.
(2)由题意知X可取的值为：0，1，2，3，4，则
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
因此X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P





X的数学期望是
E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.
规律方法　(1)超几何分布的两个特点
①超几何分布是不放回抽样问题；
②随机变量为抽到的某类个体的个数.
(2)超几何分布的应用条件
①两类不同的物品(或人、事)；
②已知各类对象的个数；
③从中抽取若干个个体.
【训练3】 某大学志愿者协会有6名男同学、4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动.(每位同学被选到的可能性相同)
(1)求选出的3名同学来自互不相同学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的概率分布.
解　(1)设“选出的3名同学来自互不相同学院”为事件A，则P(A)＝＝.
故选出的3名同学来自互不相同学院的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.
P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3).
∴P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
故随机变量X的概率分布是
X
0
1
2
3
P




考点四　二项分布
【例4】 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.
(1)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；
(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分.求乙队得分X的概率分布.
解　(1)设“甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利”分别为事件A，B，C，则P(A)＝××＝，
P(B)＝C××＝，
P(C)＝C××＝.
(2)X的可能取值为0，1，2，3，
则P(X＝0)＝P(A)＋P(B)＝，
P(X＝1)＝P(C)＝，
P(X＝2)＝C×××＝，
P(X＝3)＝＋C××＝.
故X的概率分布为
X
0
1
2
3
P




规律方法　独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略
(1)独立重复试验要从四方面考虑：一是每次试验都是在相同条件下进行的；二是各次试验是相互独立的；三是每次试验某事件只有两种结果，即要么发生，要么不发生；四是某事件在每次试验中发生的概率不变.
(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是独立性，即一次试验中，某事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验独立重复地进行了n次.
【训练4】 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现音乐，要么不出现音乐且机会相等；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分).设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.
(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的概率分布；
(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
解　(1)X可能的取值为10，20，100，－200.
根据题意，有
P(X＝10)＝C××＝，
P(X＝20)＝C××＝，
P(X＝100)＝C××＝，
P(X＝－200)＝C××＝.
所以X的概率分布为
X
10
20
100
－200
P




(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1，2，3)，
则P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝.
所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为
1－P(A1A2A3)＝1－＝1－＝.
因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是.

一、必做题
1.(2018·扬州模拟)某射手射击所得环数X的概率分布为
X
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为________.
解析　根据X的概率分布知，所求概率为0.28＋0.29＋0.22＝0.79.
答案　0.79
2.设X是一个离散型随机变量，其概率分布为
X
－1
0
1
P

1－2q
q2
则q＝________.
解析　由题意知
即解得q＝1－.
答案　1－
3.(2018·泰州模拟)已知随机变量X的概率分布为P(X＝i)＝(i＝1，2，3，4)，则P(2 解析　由概率分布的性质知，
＋＋＋＝1，
则a＝5，
∴P(2 答案　
4.设随机变量ξ的概率分布为P(ξ＝i)＝a，i＝1，2，3，则实数a的值为________.
解析　∵随机变量ξ的概率分布为P(ξ＝i)＝a，i＝1，2，3，
∴a＝1，
解得a＝.
答案　
5.从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出3个球，则恰好是2个白球、1个红球的概率是________.
解析　如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P＝＝.
答案　
6.(2018·盐城模拟)一实验箱中装有标号为1，2，3，3，4的5只白鼠，若从中任取1只，记取到的白鼠的标号为Y，则随机变量Y的概率分布是________.
解析　∵5只白鼠任取一只，每只白鼠被取到的概率为，∴P(Y＝1)＝，P(Y＝2)＝，P(Y＝3)＝，
P(Y＝4)＝.
∴随机变量Y的概率分布为
Y
1
2
3
4
P




答案　
Y
1
2
3
4
P




7.随机变量X的概率分布如下：
X
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________.
解析　∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝1，∴b＝，
∴P(|X|＝1)＝a＋c＝.
又a＝－d，c＝＋d，
根据概率分布的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤，
∴－≤d≤.
答案　　
8.设离散型随机变量X的概率分布为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
若随机变量Y＝|X－2|，则P(Y＝2)＝________.
解析　由概率分布的性质，知
0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.
由Y＝2，即|X－2|＝2，得X＝4或X＝0，
∴P(Y＝2)＝P(X＝4或X＝0)
＝P(X＝4)＋P(X＝0)
＝0.3＋0.2＝0.5.
答案　0.5
9.(2015·山东卷改编)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137，359，567等).在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分.
(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数” ；
(2)若甲参加活动，求甲得分X的概率分布.
解　(1)个位数是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345.
(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C＝84，
随机变量X的取值为：0，－1，1，
因此P(X＝0)＝＝，
P(X＝－1)＝＝，
P(X＝1)＝1－－＝，
所以X的概率分布为
X
0
－1
1
P



10.(2017·南通二模) 某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱.
(1)求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；
(2)假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a(a为常数)，演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a.求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望.
解　(1)设“至少演唱1首原创新曲”为事件A，
则事件A的对立事件为：“没有1首原创新曲被演唱”.
所以P(A)＝1－P()＝1－＝，
所以该乐队至少演唱1首原创新曲的概率为.
(2)设随机变量x表示被演唱的原创新曲的首数，则x的所有可能值为0，1，2，3.
依题意，X＝ax＋2a(4－x)，故X的所有可能值依次为8a，7a，6a，5a.
则P(X＝8a)＝P(x＝0)＝＝，
P(X＝7a)＝P(x＝1)＝＝，
P(X＝6a)＝P(x＝2)＝＝，
P(X＝5a)＝P(x＝3)＝＝.
从而X的概率分布为：
X
8a
7a
6a
5a
P




所以X的数学期望E(X)＝8a×＋7a×＋6a×＋5a×＝a.
二、选做题
11.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________.
解析　X＝－1，甲抢到一题但答错了，而乙抢到了两个题都答错了，
X＝0，甲没抢到题，乙抢到题答错至少2个题或甲抢到2题，但答时一对一错，而乙答错一个题，
X＝1，甲抢到1题且答对，乙抢到2题且至少答错1题或甲抢到3题，且1错2对，
X＝2，甲抢到2题均答对，
X＝3，甲抢到3题均答对.
答案　－1，0，1，2，3
12.(2017·北京卷)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者.

(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
(2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)；
(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)
解　(1)由题图可知，在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，则从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率为即.
(2)由图知，A，C两人指标x的值大于1.7，而B，D两人则小于1.7，可知在四人中随机选出两人，ξ的可能取值为0，1，2.
且P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
分布列如下：
ξ
0
1
2
P



E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.
(3)由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大.