2019版高考数学（理）创新大一轮江苏专用版讲义：第十一章计数原理与概率分布第69讲

第69讲　排列与组合
考试要求　1.排列与组合(B级要求)；2.高考中对本讲的考查将以运用排列、组合解决有关问题.注重与概率问题的联系，形成小综合问题.

诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(　　)
(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.(　　)
(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(　　)
(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.(　　)
(5)A＝nA.(　　)
(6)kC＝nC.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√　(6) √
2.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为________.
解析　“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A＝4×3×2＝24.
答案　24
3.(2018·苏州模拟)安排6名歌手的演出顺序时，要求歌手乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面，则排法的种数为________.
解析　先全排列有A，甲、乙、丙的顺序有A，乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面的顺序有甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，丙乙甲，共4种顺序，所以不同排法的种数为4×＝480.
答案　480
4.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有________种.
解析　分两类：①有1名女生：CC＝8.
②有2名女生：CC＝6.
∴不同的选派方案有8＋6＝14(种).
答案　14
5.(教材改编)用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位数，其中偶数的个数为________.
解析　末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，
共有AA＝48(种).
答案　48
知 识 梳 理
1.排列与组合的概念
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
组合
并成一组
2.排列数与组合数
(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示.
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示.
3.排列数、组合数的公式及性质
公式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝；
(2)C＝＝＝
性质
(1)0！＝1；A＝n！；
(2)C＝C；C＝C＋C；
(3)C＝C；
(4)C＝C＋C＋C＋…＋C(m≤n)；
(5)C＝CC＋CC＋…＋CC＋CC

考点一　排列问题
【例1】 3名女生和5名男生排成一排.
(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？
(2)如果女生都不相邻，有多少种排法？
(3)(一题多解)如果女生不站两端，有多少种排法？
(4)其中甲必须排在乙前面(可不邻)，有多少种排法？
(5)(一题多解)其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法？
解　(1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有6个元素，排成一排有A种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有A种排法，因此共有A·A＝4 320(种)不同排法.
(2)(插空法)先排5个男生，有A种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A种排法，因此共有A·A＝14 400(种)不同排法.
(3)法一(位置分析法)　因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人排列，有A种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A种排法，因此共有A·A＝14 400(种)不同排法.
法二(元素分析法)　从中间6个位置选3个安排女生，有A种排法，其余位置无限制，有A种排法，因此共有A·A＝14 400(种)不同排法.
(4)8名学生的所有排列共A种，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中，∴符合要求的排法种数为A＝20 160(种).
(5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置.
法一(特殊元素法)　甲在最右边时，其他的可全排，有A种；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A种.而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有A种，其余人全排列，共有A·A·A种.
由分类加法计数原理，共有A＋A·A·A＝30 960(种).
法二(特殊位置法)　先排最左边，除去甲外，有A种，余下7个位置全排，有A种，但应剔除乙在最右边时的排法A·A种，因此共有A·A－A·A＝30 960(种).
法三(间接法)　8个人全排，共A种，其中，不合条件的有甲在最左边时，有A种，乙在最右边时，有A种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A种.因此共有A－2A＋A＝30 960(种).
规律方法　排列应用问题的分类与解法
(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.
(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.
【训练1】 (1)3名男生，4名女生，选其中5人排成一排，则有________种不同的排法.
(2)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种.
解析　(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，
有A＝2 520(种)排法.
(2)当最左端排甲时，不同的排法共有A种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有CA种.故不同的排法共有A＋CA＝120＋96＝216(种).
答案　(1)2 520　(2)216
考点二　组合问题
【例2】 (1)若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是________.
(2)要从12人中选出5人去参加一项活动，A，B，C三人必须入选，则有________种不同选法.
解析　(1)因为1，2，3，…，9中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数或全为偶数或2个奇数和2个偶数，故有C＋C＋CC＝66(种)不同的取法.
(2)只需从A，B，C之外的9人中选择2人，即有C＝36(种)不同的选法.
答案　(1)66　(2)36
规律方法　组合问题常有以下两类题型变化
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
【训练2】 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
解　(1)从余下的34种商品中，选取2种有C＝561(种)，
∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.
(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C－C＝C＝5 984(种).
∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.
(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CC＝2 100(种).
∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.
(4)选取2件假货有CC种，选取3件假货有C种，共有选取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555(种).
∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.
(5)选取3件的总数为C，因此共有选取方式
C－C＝6 545－455＝6 090(种).
∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.
考点三　排列与组合问题的综合应用
【例3】 (1)(2018·扬州月考)把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法种数为________.
(2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是________.
(3)(2018·常州检测)从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有________个.
解析　(1)将A、B捆绑在一起，有A种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A种摆法，故共有AA＝48(种)摆法，而A、B、C 3件在一起，且A、B相邻，A、C相邻有CAB、BAC两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2×A＝12(种)摆法，故A、B相邻，A、C不相邻的摆法有48－12＝36(种).
(2)先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有ACA＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有AA＝48(种)安排方法.由分类计数原理知共有36＋36＋48＝120(种)安排方法.
(3)分三类：第一类，没有2，3，由其他三个数字组成三位数，有A＝6(个)；
第二类，只有2或3其中的一个，需从1，4，5中选两个数字组成三位数，有
2CA＝36(个)；
第三类，2，3均有，再从1，4，5中选一个，因为2需排在3的前面，所以可组成CA＝9(个).
由分类计数原理，知这样的三位数共有51个.
答案　(1)36　(2)120　(3)51
规律方法　排列与组合综合问题的常见类型及解题策略
(1)相邻问题捆绑法.在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列.
(2)相间问题插空法.先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用.
(3)特殊元素(位置)优先安排法.优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置.
(4)多元问题分类法.将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类计数原理求出排列总数.
【训练3】 (2017·浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法(用数字作答).
解析　第一类，先选1女3男，有CC＝40种，这4人选2人作为队长和副队长有A＝12种，故有40×12＝480种，第二类，先选2男2女，有CC＝15种，这4人选2人作为队长和副队长有A＝12种，故有15×12＝180种，故总共有480＋180＝660种.
答案　660

一、必做题
1.两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________.
解析　(捆绑法)爸爸排法有A种，两个小孩排在一起故看成一体，有A种排法，妈妈和孩子共有A种排法，
∴排法种数共有AAA＝24(种).
答案　24
2.7位身高均不等的同学排成一排照相，要求中间最高，依次往两端身高逐渐降低，共有________种排法(用数字作答).
解析　先排最中间位置有一种排法，再排左边3个位置，由于顺序一定，共有C种排法，再排剩下右边三个位置，共一种排法，所以排法种数为C＝20(种).
答案　20
3.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有________种.
解析　程序A有A＝2(种)结果，将程序B和C看作一个元素与除A外的3个元素排列有AA＝48(种)，由分步计数原理，知实验编排共有2×48＝96(种)方法.
答案　96
4.将A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排列数有________种.
解析　(消序法)五个元素没有限制全排列为A，
由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，
故除以这三个元素的全排列A，
可得×2＝40(种).
答案　40
5.(2017·南京质检)某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为________.
解析　法一　将4人平均分成两组有C种方法，将此两组分配到6个班级中的2个班有A种.
所以不同的安排方法有CA＝90(种).
法二　先从6个班级中选2个班级有C种不同方法，然后安排学生有CC种，故有CCC＝AC＝90(种).
答案　90
6.(2016·南京师大附中模拟)用1，2，3，4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________.
解析　首先排两个奇数1，3，有A种排法，再在2，4中取一个数放在1，3排列之间，有C种方法，然后把这3个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有A种排法，即满足条件的四位数的个数为ACA＝8.
答案　8
7.现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有________种(用数字作答).
解析　第一类，把甲、乙看作一个复合元素，另外3人分成两组，再分配到3个小组中，有CA＝18(种)；第二类，先把另外的3人分配到3个小组，再把甲、乙分配到其中2个小组，有AA＝36(种).根据分类计数原理可得，共有36＋18＝54(种).
答案　54
8.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答).
解析　分两类：第一类：3张中奖奖券分给3个人，共A种分法；
第二类：3张中奖奖券分给2个人相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人，共有CA种分法.
总获奖情况共有A＋CA＝60(种).
答案　60
9.把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种.
解析　先考虑产品A与B相邻，把A，B作为一个元素有A种摆法，而A，B可交换位置，所以有2A＝48(种)摆法，又当A，B相邻且又满足A，C相邻，有2A＝12(种)摆法，故满足条件的摆法有48－12＝36(种).
答案　36
10.将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答).
解析　从左往右看，若C排在第1位，共有A＝120(种)排法；若C排在第2位，A和B有C右边的4个位置可以选，共有A·A＝72(种)排法；若C排在第3位，则A，B可排C的左侧或右侧，共有A·A＋A·A＝48(种)排法；若C排在第4，5，6位时，其排法数与排在第3，2，1位相同，故共有2×(120＋72＋48)＝480(种)排法.
答案　480
11.2016年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10 000个号码中选择.公司规定：凡卡号的后四位恰带有两个数字“6”或恰带有两个数字“8”的一律作为“金猴卡”，享受一定优惠政策.如后四位数为“2663”，“8685”为“金猴卡”，求这组号码中“金猴卡”的张数.
解　①当后四位数恰有2个6时，“金猴卡”共有C×9×9＝486(张)；
②当后四位数恰有2个8时，“金猴卡”也共有C×9×9＝486(张).
但这两种情况都包含了后四位数是由2个6和2个8组成的这种情况，所以要减掉C＝6，即“金猴卡”共有486×2－6＝966(张).
12.有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋.现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？
解　设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合A，3名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合B，4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合C，则选派2名参赛同学的方法可以分为以下4类：
第一类：A中选1人参加象棋比赛，B中选1人参加围棋比赛，方法数为C·C＝6(种)；
第二类：C中选1人参加象棋比赛，B中选1人参加围棋比赛，方法数为C·C＝12(种)；
第三类：C中选1人参加围棋比赛，A中选1人参加象棋比赛，方法数为C·C＝8(种)；
第四类：C中选2人分别参加两项比赛，方法数为A＝12(种).
由分类计数原理，知不同的选派方法共有6＋12＋8＋12＝38(种).
二、选做题
13.已知集合M＝{1，2，3，4，5，6}，集合A，B，C为M的非空子集，若∀x∈A、y∈B、z∈C，x＜y＜z恒成立，则称“A—B—C”为集合M的一个“子集串”，则集合M的“子集串”共有________个.
解析　由题意可先分类，再分步：
第一类，将6个元素全部取出来，可分两步进行：第一步，取出元素，有C种取法，第二步，分成三组，共C种分法，所以共有CC个子集串；第二类，从6个元素中取出5个元素，共C种取法，然后将这5个元素分成三组共C种分法，所以共有CC个子集串；同理含4个元素的子集串数为CC；含3个元素的子集串数为CC.集合M的子集串共CC＋CC＋CC＋CC＝111(个).
答案　111
14.某区有7条南北向街道，5条东西向街道(如图所示).

(1)图中共有多少个矩形？
(2)从A点到B点最近的走法有多少种？
解　(1) 在7条竖线中任选2条，5条横线中任选2条，这样4条线可组成1个矩形，故可组成矩形C·C＝210(个).
(2) 每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定包括10段，其中6段方向相同，另外4段方向相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的，选出4段走南北方向的，共有C＝C＝210(种)走法.所以共有210种走法.