2019版高考数学（理）创新大一轮江苏专用版讲义：第十一章计数原理与概率分布第72讲

第72讲　随机变量的均值与方差
考试要求　1.离散型随机变量的均值与方差(B级要求)；2.高考中对本讲的考查将以实际问题为背景，结合常见的概率问题，考查离散型随机变量的分布列的求法，期望与方差的求法，多以解答题形式出现，一般中等难度.要加强常见概率模型的理解与识别.

诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定.(　　)
(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小.(　　)
(3)若随机变量X的取值中的某个值对应的概率增大时，均值也增大.(　　)
(4)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关.(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2.(教材改编)某射手射击所得环数ξ的概率分布如下：
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，则y的值为________.
解析　
可得y＝0.4.
答案　0.4
3.(2017·全国Ⅱ卷)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则V(x)＝________.
解析　有放回地抽取，是一个二项分布模型，其中p＝0.02，n＝100，则V(x)＝np(1－p)＝100×0.02×0.98＝1.96.
答案　1.96
4.已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，则随机变量η的均值E(η)及方差V(η)分别是________.
解析　设随机变量X的均值及方差分别为E(X)，V(X)，
因为X～B(10，0.6)，所以E(X)＝10×0.6＝6，
V(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，
故E(η)＝E(8－X)＝8－E(X)＝2，
V(η)＝V(8－X)＝V(X)＝2.4.
答案　2和2.4
5.(教材改编)抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________.
解析　抛掷两枚骰子，当两枚骰子不出现5点和6点时的概率为×＝，所以至少有一次出现5点或6点的概率为1－＝，用X表示10次试验中成功的次数，则X～B(10，)，E(X)＝10×＝.
答案　
知 识 梳 理
1.离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)方差
称V(X)＝(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根σ＝为随机变量X的标准差.
2.均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)V(aX＋b)＝a2V(X).(a，b为常数)
3.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，V(X)＝p(1－p).
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，V(X)＝np(1－p).

考点一　离散型随机变量的均值、方差
【例1－1】 (2017·天津卷)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.
(1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；
(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
解　(1)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝××＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××＝，
P(X＝2)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝××＝.
所以随机变量X的概率分布为
X
0
1
2
3
P




随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为
P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)
＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)
＝×＋×＝.
所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为.
【例1－2】 (2018·扬州模拟)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.
(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的概率分布；
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数.若E(η)＝，V(η)＝，求a∶b∶c.
解　(1)由题意得ξ＝2，3，4，5，6，
故P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝5)＝＝，
P(ξ＝6)＝＝.
所以ξ的概率分布为

ξ
2
3
4
5
6
P





(2)由题意知η的概率分布为
η
1
2
3
P



所以E(η)＝＋＋＝，
V(η)＝·＋·＋·＝，
化简得
解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1.
规律方法　离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略
(1)求离散型随机变量的均值与方差.可依题设条件求出离散型随机变量的概率分布，然后利用均值、方差公式直接求解.
(2)由已知均值或方差求参数值.可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值.
(3)由已知条件，作出对两种方案的判断.可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断.
【训练1】 某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的概率分布和均值.
解　(1)由题意，参加集训的男、女生各有6名，参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝.
因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为
1－＝.
(2)根据题意，X的可能取值为1，2，3，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
所以X的概率分布为
X
1
2
3
P



因此，X的均值为E(X)＝1×＋2×＋3×＝2.
考点二　与二项分布有关的均值与方差
【例2】 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布及均值E(ξ).
解　(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么
1－P()＝1－·p＝，解得p＝.
(2)由题意，得P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝C×＝，
P(ξ＝2)＝C×＝，
P(ξ＝3)＝＝.
所以随机变量ξ的概率分布为
ξ
0
1
2
3
P




故随机变量ξ的均值
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(或∵ξ～B，∴E(ξ)＝3×＝.)
规律方法　解决与二项分布有关的均值、方差问题关键有二点：一是准确把握概率模型，确认要解决的问题是否属于二项分布问题.二是正确套用概率公式.
【训练2】 (2018·盐城模拟)甲、乙两人投篮命中的概率分别为与，各自相互独立.现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球.
(1)求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；
(2)设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和均值E(ξ).
解　(1)比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况：
甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球.
所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率为P＝C×××＋C×××C×＋×C×＝.
(2)ξ的取值为0，1，2，3，
则P(ξ＝0)＝×＋C×××C×＋C×××C×＋×＝，
P(ξ＝1)＝×C×＋C×××＋C×××C×＋C×××C×＋C×××＋×C×＝，
P(ξ＝2)＝×C×＋C×××＋C×××＋×C×＝，
P(ξ＝3)＝×＋×＝，
所以ξ的概率分布为
ξ
0
1
2
3
P




所以均值E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.
考点三　均值与方差在决策中的应用
【例3】 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(1)求X的分布列；
(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
解　(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而
P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；
P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；
P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；
P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；
P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；
P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；
P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04，
所以X的概率分布为
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.
(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元).
当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.
当n＝20时，
E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.
可知当n＝19时所需费用的均值小于n＝20时所需费用的均值，故应选n＝19.
规律方法　随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.
【训练3】 某投资公司在2016年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.
解　若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的概率分布为
X1
300
－150
P


∴E(X1)＝300×＋(－150)×＝200.
若按“项目二”投资，设获利为X2万元，则X2的概率分布为
X2
500
－300
0
P



∴E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200.
V(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×
＝35 000，
V(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000.
∴E(X1)＝E(X2)，V(X1) 这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.
综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.

1.(2018·常州一模)某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X(单位：分)的均值为________.
解析　由题意得X＝0，1，2，则
P(X＝0)＝0.6×0.5＝0.3，
P(X＝1)＝0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.5，
P(X＝2)＝0.4×0.5＝0.2，
∴E(X)＝1×0.5＋2×0.2＝0.9.
答案　0.9
2.(2018·无锡月考)若X～B(n，p)，且E(X)＝6，V(X)＝3，则P(X＝1)的值为________.(用式子作答)
解析　由题意知解得
∴P(X＝1)＝C××(1－)11＝＝3×2－10.
答案　3×2－10
3.(2018·徐州模拟)随机变量ξ的概率分布如下，其中a、b、c为等差数列，若E(ξ)＝，则V(ξ)的值为________.
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
解析　由概率分布得a＋b＋c＝1，①
由均值E(ξ)＝得－a＋c＝，②
由a、b、c为等差数列得2b＝a＋c，③
由①②③得a＝，b＝，c＝，
所以V(ξ)＝×＋×＋×＝.
答案　
4.一射击测试中每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分.某人每次击中目标的概率为，则此人得分的均值与方差分别为________，________.
解析　记此人三次射击击中目标次数为X，得分为Y，
则X～B，Y＝10X，
∴E(Y)＝10E(X)＝10×3×＝20，
V(Y)＝100V(X)＝100×3××＝.
答案　20　
5.(2018·常州模拟)一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的.从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X，则X的均值是________.
解析　根据题意知X＝0，1，2，
而P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝.
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝.
答案　
6.(2018·南京模拟)假定某射手射击一次命中目标的概率为.现有4发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为X，求：
(1)X的概率分布；
(2)均值E(X).
解　(1)耗用子弹数X的所有可能取值为1，2，3，4.
当X＝1时，表示射击一次，命中目标，则P(X＝1)＝；
当X＝2时，表示射击两次，第一次未中，第二次射中目标，
则P(X＝2)＝×＝；
当X＝3时，表示射击三次，第一次、第二次均未击中，第三次击中，
则P(X＝3)＝××＝；
当X＝4时，表示射击四次，前三次均未击中，
则P(X＝4)＝××＝.
故X的概率分布为
X
1
2
3
4
P




(2)E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
7.甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m个球，乙袋中共有2m个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P2.
(1)若m＝10，求甲袋中红球的个数；
(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是，求P2的值；
(3)设P2＝，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次.设ξ表示摸出红球的总次数，求ξ的概率分布和均值.
解　(1)设甲袋中红球的个数为x，
依题意得x＝10×＝4.
(2)由已知得＝，解得P2＝.
(3)ξ的所有可能值为0，1，2，3.
P(ξ＝0)＝××＝，
P(ξ＝1)＝××＋×C××＝，
P(ξ＝2)＝×C××＋×＝，
P(ξ＝3)＝×＝.
所以ξ的概率分布为
ξ
0
1
2
3
P




所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
8.乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其他情况记0分.对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为.

假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响.求：
(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
(2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的概率分布与均值.
解　(1)记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i＝0，1，3)，
则P(A3)＝，P(A1)＝，P(A0)＝1－－＝.
记Bj为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为j分”(j＝0，1，3)，
则P(B3)＝，P(B1)＝，P(B0)＝1－－＝.
记D为事件“小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上”.
由题意，D＝A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3，
由事件的独立性和互斥性，得
P(D)＝P(A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3)
＝P(A3B0)＋P(A1B0)＋P(A0B1)＋P(A0B3)
＝P(A3)P(B0)＋P(A1)P(B0)＋P(A0)P(B1)＋P(A0)P(B3)
＝×＋×＋×＋×＝，
所以小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率为.
(2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，4，6，
由事件的独立性和互斥性，得
P(ξ＝0)＝P(A0B0)＝×＝，
P(ξ＝1)＝P(A1B0＋A0B1)＝P(A1B0)＋P(A0B1)
＝×＋×＝，
P(ξ＝2)＝P(A1B1)＝×＝，
P(ξ＝3)＝P(A3B0＋A0B3)＝P(A3B0)＋P(A0B3)
＝×＋×＝，
P(ξ＝4)＝P(A3B1＋A1B3)＝P(A3B1)＋P(A1B3)
＝×＋×＝，
P(ξ＝6)＝P(A3B3)＝×＝.
可得随机变量ξ的概率分布为
ξ
0
1
2
3
4
6
P






所以均值E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝.
二、选做题
9.(2018·宿迁模拟)已知甲箱中装有3个红球、3个黑球，乙箱中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同.某商场举行有奖促销活动，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱中各随机摸出2个球，共4个球.若摸出4个球都是红球，则获得一等奖；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖；其他情况不获奖.每次摸球结束后将球放回原箱中.
(1)求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；
(2)若连续摸奖2次，求获奖次数X的概率分布及均值E(X).
解　(1)设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A，
则P(A)＝＝.
(2)设“在1次摸奖中，获奖”为事件B，
则获得一等奖的概率为P1＝＝，
获得三等奖的概率为P3＝＝，
所以P(B)＝＋＋＝.
由题意可知X的所有可能取值为0，1，2.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝C××＝，
P(X＝2)＝＝，
所以X的概率分布是
X
0
1
2
P



所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
10.(2017·江苏卷)已知一个口袋有m个白球，n个黑球(m，n∈N*，n≥2)，这些球除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m＋n的抽屉内，其中第k次取球放入编号为k的抽屉(k＝1，2，3，…，m＋n).
1
2
3
…
m＋n
(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；
(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)是X的数学期望，证明：E(X)<.
(1)解　编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p为：
p＝＝.
(2)证明　随机变量X的概率分布为：
X



…

…

P



…

…

随机变量X的期望为：
E(X)＝ ·＝ ·.
所以E(X)<
＝
＝(1＋C＋C＋…＋C)
＝(C＋C＋C＋…＋C)
＝(C＋C＋…＋C)
＝…＝(C＋C)
＝＝，
即E(X)<.