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    2019版高考数学(理)创新大一轮江苏专用版讲义:第十一章计数原理与概率分布第70讲
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    2019版高考数学(理)创新大一轮江苏专用版讲义:第十一章计数原理与概率分布第70讲

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    第70讲 二项式定理及其应用
    考试要求 1.二项式定理(B级要求);2.高考中对本讲的考查主要是利用通项公式求展开式中某项的系数、某特定的项、项的系数最值问题及几个二项式和或积的展开式中某项的系数等.要关注赋值法思想的运用.

    诊 断 自 测

    1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
    (1)Can-rbr是二项展开式的第r项.(  )
    (2)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.(  )
    (3)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.(  )
    (4)在(1-x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项.(  )
    (5)若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,则a7+a6+…+a1的值为128.(  )
    答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
    2.(教材改编)(x-y)n的二项展开式中,第m项的系数是________.
    解析 (x-y)n展开式中第m项的系数为C(-1)m-1.
    答案 (-1)m-1C
    3.(2017·山东卷)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=________.
    解析 C(3x)2=54x2,∴=6,解得n=4.
    答案 4
    4.(2016·徐州模拟)已知C+2C+22C+23C+…+2nC=729,则C+C+C+…+C=________.
    解析 逆用二项式定理得C+2C+22C+23C+…+2nC=(1+2)n=3n=729,即3n=36,所以n=6,
    所以C+C+C+…+C=26-C=64-1=63.
    答案 63
    知 识 梳 理
    1.二项式定理
    二项式定理
    (a+b)n=Can+Can-1b+…+Can-rbr+…+Cbn(n∈N*)
    二项展开式的通项公式
    Tr+1=Can-rbr,它表示第r+1项
    二项式系数
    二项展开式中各项的系数C(r∈{0,1,2,…,n})
    2.二项式系数的性质
    (1)C=1,C=1,C=C+C.
    (2)C=C.
    (3)当n为偶数时,二项式系数中,以最大;当n为奇数时,二项式系数中以和两者相等)最大.
    (4)C+C+…+C=2n.
    3.二项展开式形式上的特点
    (1)项数为n+1.
    (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n.
    (3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.
    (4)二项式的系数从C,C,一直到C,C.

    考点一 二项展开式
    【例1-1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)(2x+)5的展开式中,x3的系数是________(用数字填写答案).
    (2)(一题多解)(2015·全国Ⅰ卷改编)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为________.
    解析 (1)(2x+)5展开式的通项公式Tk+1=C(2x)5-k()k=C25-kx5-,k∈{0,1,2,3,4,5},令5-=3解得k=4,得T5=C25-4x5-=10x3,∴x3的系数是10.
    (2)法一 利用二项展开式的通项公式求解.
    (x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,
    含y2的项为T3=C(x2+x)3·y2.
    其中(x2+x)3中含x5的项为Cx4·x=Cx5.
    所以x5y2的系数为CC=30.
    法二 利用组合知识求解.
    (x2+x+y)5为5个x2+x+y之积,其中有两个取y,两个取x2,一个取x即可,所以x5y2的系数为CC=30.
    答案 (1)10 (2)30
    【例1-2】 (1)(2015·全国Ⅱ卷)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=____________.
    (2)(2016·山东卷)若的展开式中x5的系数为-80,则实数a=________.
    解析 (1)设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,
    令x=1,得16(a+1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5,①
    令x=-1,得0=a0-a1+a2-a3+a4-a5.②
    ①-②,得16(a+1)=2(a1+a3+a5),
    即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1+a3+a5=8(a+1),所以8(a+1)=32,解得a=3.
    (2)∵Tr+1=C(ax2)5-r=a5-rCx10-r,∴10-r=5,解得r=2,
    ∴a3C=-80,解得a=-2.
    答案 (1)3 (2)-2
    规律方法 求二项展开式中的特定项,一般是利用通项公式进行,化简通项公式后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数r+1,代回通项公式即可.
    【训练1】 (2017·全国Ⅲ卷)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为________.
    解析 由二项式定理可得,展开式中含x3y3的项为
    x·C(2x)2(-y)3+y·C(2x)3(-y)2=40x3y3,则x3y3的系数为40.
    答案 40
    考点二 二项式系数的和或各项系数的和的问题
    【例2】 在(2x-3y)10的展开式中,求:
    (1)二项式系数的和;
    (2)各项系数的和;
    (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;
    (4)奇数项系数和与偶数项系数和;
    (5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.
    解 设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10,(*)
    各项系数的和为a0+a1+…+a10,奇数项系数和为a0+a2+…+a10,偶数项系数和为a1+a3+a5+…+a9,x的奇次项系数和为a1+a3+a5+…+a9,x的偶次项系数和为a0+a2+a4+…+a10.
    由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.
    (1)二项式系数的和为C+C+…+C=210.
    (2)令x=y=1,各项系数和为(2-3)10=(-1)10=1.
    (3)奇数项的二项式系数和为C+C+…+C=29,
    偶数项的二项式系数和为C+C+…+C=29.
    (4)令x=y=1,得到a0+a1+a2+…+a10=1,①
    令x=1,y=-1(或x=-1,y=1),
    得a0-a1+a2-a3+…+a10=510,②
    ①+②得2(a0+a2+…+a10)=1+510,
    ∴奇数项系数和为;
    ①-②得2(a1+a3+…+a9)=1-510,
    ∴偶数项系数和为.
    (5)x的奇次项系数和为a1+a3+a5+…+a9=;
    x的偶次项系数和为a0+a2+a4+…+a10=.
    规律方法 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m (a,b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n (a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.
    (2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=.
    【训练2】 (1)(2018·淮安月考)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a=7b,则m=________.
    (2)若(1-2x)2 016=a0+a1x+a2x2+…+a2 016x2 016,则++…+的结果是多少?
    (1)解析 由题意得a=C,b=C,
    ∴13C=7C,
    ∴=,
    ∴=13,解得m=6,
    经检验符合题意.
    答案 6
    (2)解 当x=0时,左边=1,右边=a0,∴a0=1.
    当x=时,左边=0,右边=a0+++…+,
    ∴0=1+++…+.
    即++…+=-1.
    考点三 二项式定理的应用
    【例3】 (1)设a∈Z且0≤a<13,若512 016+a能被13整除,则a=________.
    (2)1.028的近似值是________(精确到小数点后三位).
    (3)用二项式定理证明2n>2n+1(n≥3,n∈N*).
    解析 (1)512 016+a=(52-1)2 016+a=C·522 016-C·522 015+…+C×52·(-1)2 015+C·(-1)2 016+a,
    ∵C·522 016-C·522 015+…+C×52·(-1)2 015能被13整除,且512 016+a能被13整除,
    ∴C·(-1)2 016+a=1+a也能被13整除,因此a的值为12.
    (2)1.028=(1+0.02)8≈C+C·0.02+C·0.022+C·0.023≈1.172.
    答案 (1)12 (2)1.172
    (3)证明 当n≥3,n∈N*.
    2n=(1+1)n=C+C+…+C+C≥C+C+C+C=2n+2>2n+1,∴不等式成立.
    规律方法 (1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题,整除问题中要关注展开式的最后几项,而求近似值则应关注展开式的前几项.
    (2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理,注意选择合适的形式.
    【训练3】 (1)1-90C+902C-903C+…+(-1)r90rC+…+9010C除以88的余数是________.
    (2)已知2n+2·3n+5n-a能被25整除,求正整数a的最小值.
    (1)解析 1-90C+902C-903C+…+(-1)r90rC+…+9010C
    =(1-90)10=8910=(88+1)10
    =8810+C889+…+C88+1,
    ∵前10项均能被88整除,∴余数是1.
    答案 1
    (2)解 原式=4·6n+5n-a=4(5+1)n+5n-a
    =4(C5n+C5n-1+…+C52+C5+C)+5n-a
    =4(C5n+C5n-1+…+C52)+25n+4-a,
    显然正整数a的最小值为4.

    一、必做题
    1.(2017·全国Ⅰ卷改编)(1+x)6的展开式中x2的系数为________.
    解析 (1+x)6=1·(1+x)6+·(1+x)6,
    对(1+x)6的x2项系数为C==15,
    对·(1+x)6的x2项系数为C=15,
    ∴x2的系数为15+15=30.
    答案 30
    2.已知的展开式中含x的项的系数为30,则a=________.
    解析 的展开式通项Tr+1=Cx(-1)rar·x-=(-1)rarCx-r,令-r=,
    则r=1,
    ∵T2=-aCx,∴-aC=30,∴a=-6.
    答案 -6
    3.(4x-2-x)6(x∈R)展开式中的常数项是________.
    解析 设展开式中的常数项是第r+1项,则Tr+1=C·(4x)6-r·(-2-x)r=
    C·(-1)r·212x-2rx·2-rx=C·(-1)r·212x-3rx,
    ∵12x-3rx=0恒成立,∴r=4,
    ∴T5=C·(-1)4=15.
    答案 15
    4.已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为________.
    解析 由题意,C=C,解得n=10,则奇数项的二项式系数和为2n-1=29=512.
    答案 512
    5.若在(x+1)4(ax-1)的展开式中,x4的系数为15,则a的值为________.
    解析 ∵(x+1)4(ax-1)=(x4+4x3+6x2+4x+1)(ax-1),∴x4的系数为4a-1=15,∴a=4.
    答案 4
    6.若(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+an(1-x)n,则a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan=________.
    解析 在展开式中,令x=2,得3+32+33+…+3n=a0-a1+a2-a3+…+
    (-1)nan,
    即a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan=
    =(3n-1).
    答案 (3n-1)
    7.(2018·扬州模拟)已知(1+2x)8展开式的二项式系数的最大值为a,系数的最大值为b,则=________.
    解析 由题意可得a=C=70,
    再根据 得
    求得r=5或6,此时,b=7×28,∴=.
    答案 
    8.(2016·北京卷)在(1-2x)6的展开式中,x2的系数为________(用数字作答).
    解析 展开式的通项Tr+1=C·16-r·(-2x)r=C(-2x)r.令r=2,得T3=C·4x2=60x2,即x2的系数为60.
    答案 60
    9.(2016·天津卷)的展开式中x7的系数为________(用数字作答).
    解析 先利用二项展开式的通项求出是第几项,再求出系数即可.
    的通项Tr+1=C(x2)8-r=(-1)r·Cx16-3r,当16-3r=7时,r=3,则x7的系数为(-1)3C=-56.
    答案 -56
    10.(2017·浙江卷)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=________,a5=________.
    解析 令x=0,得a5=(0+1)3(0+2)2=4,
    而(x+1)3(x+2)2=(x+1)3[(x+1)2+2(x+1)+1]
    =(x+1)5+2(x+1)4+(x+1)3;
    则a4=C+2C+C=5+8+3=16.
    答案 16 4
    11.(2018·苏、锡、常、镇联考)已知(ax-1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+32x5,则二项式(ax-1)5展开后的各项系数之和为________.
    解析 ∵(ax-1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+32x5,∴x5的系数为C·a5=32,解得a=2.
    在(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+32x5中,令x=1可得二项式(2x-1)5展开后的各项系数之和为1.
    答案 1
    12.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.
    求:(1)a1+a2+…+a7;
    (2)a1+a3+a5+a7;
    (3)a0+a2+a4+a6;
    (4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|.
    解 令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7
    =-1.①
    令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37.②
    (1)∵a0=C=1,∴a1+a2+a3+…+a7=-2.
    (2)(①-②)÷2,
    得a1+a3+a5+a7==-1 094.
    (3)(①+②)÷2,
    得a0+a2+a4+a6==1 093.
    (4)法一 ∵(1-2x)7展开式中,a0、a2、a4、a6大于零,而a1、a3、a5、a7小于零,
    ∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7)=1 093-(-1 094)=2 187.
    法二 |a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|,
    即(1+2x)7展开式中各项的系数和,令x=1,
    ∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=37=2 187.
    二、选做题
    13.(2018·苏、锡、常、镇四市调研)在杨辉三角形中,从第2行开始,除1以外,其他每一个数值是它上面的两个数值之和,该三角形数阵开头几行如图所示.

    (1)在杨辉三角形中是否存在某一行,使该行中三个相邻的数之比为3∶4∶5?若存在,试求出是第几行;若不存在,请说明理由;
    (2)已知n,r为正整数,且n≥r+3.求证:任何四个相邻的组合数C,C,C,C不能构成等差数列.
    (1)解 存在.杨辉三角形的第n行由二项式系数C,k=0,1,2,…,n组成.若第n行中有三个相邻的数之比为3∶4∶5,
    则==,==,
    即3n-7k=-3,4n-9k=5,
    解得k=27,n=62.
    即第62行有三个相邻的数C,C,C的比为3∶4∶5.
    (2)证明 若有n,r(n≥r+3),使得C,C,C,C成等差数列,则2C=C+C,2C=C+C,
    即=+,

    +,
    所以=+,
    =+,
    整理得n2-(4r+5)n+4r(r+2)+2=0,
    n2-(4r+9)n+4(r+1)(r+3)+2=0.
    两式相减得n=2r+3,
    所以C,C,C,C成等差数列,
    由二项式系数的性质可知C=C 14.(2018·南京盐城一模)设n∈N*,n≥3,k∈N*.
    (1)求值:
    ①kC-nC;
    ②k2C-n(n-1)C-nC(k≥2);
    (2)化简:12C+22C+32C+…+(k+1)2C+…+(n+1)2C.
    解 (1)①kC-nC=k×-n×
    =-=0.
    ②k2C-n(n-1)C-nC=k2×-n(n-1)×-n×
    =k×--
    ==0.
    (2)法一 由(1)可知当k≥2时,(k+1)2C=(k2+2k+1)·C=k2C+2kC+C
    =+2nC+C=n(n-1)C+3nC+C,
    故12C+22C+32C+…+(k+1)2C+…+(n+1)2C
    =+n(n-1)+3n+=(1+4n)+n(n-1)2n-2+3n(2n-1-1)+(2n-1-n)
    =2n-2(n2+5n+4).
    法二 当n≥3时,由二项式定理,有(1+x)n=1+Cx+Cx2+…+Cxk+…+Cxn,
    两边同乘以x,得(1+x)nx=x+Cx2+Cx3+…+Cxk+1+…+Cxn+1,
    两边对x求导,得
    (1+x)n+n(1+x)n-1x=1+2Cx+3Cx2+…+(k+1)Cxk+…+(n+1)Cxn,
    两边再同乘以x,得
    (1+x)nx+n(1+x)n-1x2=x+2Cx2+3Cx3+…+(k+1)Cxk+1+…+(n+1)Cxn+1,
    两边再对x求导,得(1+x)n+n(1+x)n-1x+n(n-1)·(1+x)n-2x2+2n(1+x)n-1x
    =1+22Cx+32Cx2+…+(k+1)2Cxk+…+(n+1)2Cxn.
    令x=1,得2n+n2n-1+n(n-1)2n-2+2n2n-1=1+22C+32C+…+(k+1)2C+…+(n+1)2C,
    即12C+22C+32C+…+(k+1)2C+…+(n+1)2C=2n-2(n2+5n+4).

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