人教版2020年九年级数学上册 期中模拟试卷(培优)三（含答案）

人教版2020年九年级数学上册 期中模拟试卷

一、选择题

1.二次函数y=x2-2x＋2的图象的顶点坐标是（     ）　

A.(1，1)       B.(2，2)        C.(1，2)         D.(1，3)

2.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（     ）

3.正方形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕点A按顺时针方向旋转180°后，C点的坐标是（     ）

A.(2，0)       B.(3，0)        C.(2，-1)         D.(2，1)

4.若x=-2是关于x的一元二次方程x2＋ax-a2=0的一个根，则a的值为（     ）

A.-1或4      B.-1或-4        C.1或-4     D.1或4

5.设x1，x2是一元二次方程x2-2x-5=0的两根，则x＋x的值为（     ）

A.6            B.8            C.14              D.16

6.如图，△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（     ）

A.30°          B.40°          C.50°         D.60°

7.若一次函数y=ax＋b(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为(-2，0)，则抛物线y=ax2＋bx的对称轴为（     ）

A.直线x=1      B.直线x=-2      C.直线x=-1    D.直线x=-4

8.已知抛物线y=ax2＋bx＋c(a<0)过A(-3，0)，B(1，0)，C(-5，y1)，D(5，y2)四点，则y1与y2的大小关系是（     ）

A.y1>y2        B.y1=y2            C.y1<y2           D.不能确定

9.关于x的一元二次方程(m-2)x2＋(2m＋1)x＋m-2=0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（     ）

A.m＞        B.m＞且m≠2       C.-＜m＜2    D.＜m＜2

10.如图，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(-1，0)，其部分图象如图所示.

下列结论：

①4ac＜b2；

②方程ax2＋bx＋c=0的两个根是x1=-1，x2=3；

③3a＋c＞0；

④当y＞0时，x的取值范围是-1≤x＜3；

⑤当x＜0时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（     ）

A.4个          B.3个          C.2个         D.1个

二、填空题

11.一元二次方程2x2-2=0的解是_________________.

12.如果关于x的二次函数y=x2-2x＋k的图象与x轴只有一个交点，则k=______.

13.如图，△ABC为等边三角形，△AO′B绕点A逆时针旋转后能与△AOC重合，

则∠OAO′=________度.

14.设m，n是一元二次方程x2＋2x-7=0的两个根，则m2＋3m＋n=_______.

15.已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2-2=0的两根为x1和x2，

且(x1-2)(x1-x2)=0，则k的值是_________.

16.廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图.

已知抛物线的函数表达式为y=-x2＋10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是________米.

17.如图，两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F.已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm，则CF=_________cm.

18.直线y=kx＋b与抛物线y=x2交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为(0，4)[提示：直线l1：y=k1x＋b1与直线l2：y=k2x＋b2互相垂直，则k1·k2=_____[提示：两条直线互相垂直，则其斜率之积为-1].

三、解答题

19.解方程：

(1)x2-2x-8=0;                 (2)(x-2)(x-5)=-2.

20.如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸上，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°.

(1)画出旋转之后的△AB′C′；

(2)求线段AC旋转过程中扫过的扇形的面积.

21.已知抛物线y=ax2-2ax＋c与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，且A(-1，0).

(1)一元二次方程ax2-2ax＋c=0的解是-1，3；

(2)一元二次不等式ax2-2ax＋c＞0的解集是-1＜x＜3；

(3)若抛物线的顶点在直线y=2x上，求此抛物线的解析式.

22.已知关于x的一元二次方程x2-(2k＋1)x＋4k-3=0.

(1)求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根；

(2)当Rt△ABC的斜边a=，且两直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长.

23.2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠形风筝进价每个为10元，当售价为每个12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请解答以下问题：

(1)用表达式表示蝙蝠形风筝销售量y(个)与售价x(元)之间的函数关系(12≤x≤30)；

(2)王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？

(3)当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？

24.如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC＋∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE，CD，F为BE的中点，连接AF.

(1)如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF；

(2)当∠BAE≠90°时，(1)的结论是否成立？请结合图②说明理由.

25.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；

(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形(要求PQ∥OB)，直接写出相应的点Q的坐标.

参考答案

1.A；

2.B；

3.B；

4.C；

5.C；

6.C；

7.C；

8.A；

9.D；

10.B；

解析：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2-4ac＞0，∴b2＞4ac，故①正确；

∵抛物线的对称轴为直线x=1，

而点（-1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），

∴方程ax2＋bx＋c=0的两个根是x1=-1，x2=3，故②正确；

∵对称轴为直线x=-=1，∴b=-2a.当x=-1时，y=0，即a-b＋c=0，

∴a＋2a＋c=0，∴3a＋c=0，故③错误；

∵抛物线开口向下，与x轴的两个交点的坐标为（-1，0），（3，0），

∴当-1＜x＜3时，y＞0，故④错误；

∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x=1，

∴当x＜0时，y随x增大而增大，故⑤正确.故选B.

11.x1=1，x2=-1；

12.1；

13.60；

14.5；

15.-2或-2.25；

16.8；

17.2；

18.（0，4）；

解析：∵直线y=kx＋b与抛物线y=x2交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，

∴kx＋b=x2，化简，得x2-4kx-4b=0，∴x1＋x2=4k，x1x2=-4b.

又∵OA⊥OB，∴·=====-1，解得b=4，

即直线y=kx＋4，故直线恒过定点（0，4），故答案为（0，4）.

19.解：（1）x1=-2，x2=4；（2）x1=3，x2=4.

20.解：（1）△AB′C′如图所示；

（2）由图可知，AC=2，

所以线段AC旋转过程中扫过的扇形的面积即为半径为2的圆面积的，

S=π·22=π.

21.解：（1）-1，3；

（2）-1＜x＜3；

（3）∵抛物线经过点A（-1，0），∴a＋2a＋c=0，即c=-3a.

∵-=-=1，=c-a=-3a-a=-4a，

∴抛物线的顶点坐标是（1，-4a）.

又∵顶点在直线y=2x上，

∴-4a=2×1=2，解得a=-，∴c=-3a=-3×=，

∴二次函数的解析式为y=-x2＋x＋.

22.（1）证明：关于x的一元二次方程x2-（2k＋1）x＋4k-3=0，

Δ=（2k＋1）2-4（4k-3）=4k2-12k＋13=（2k-3）2＋4>0恒成立，

∴无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：根据勾股定理得b2＋c2=a2=31①，

∵b＋c=2k＋1②，bc=4k-3③，

∴由①②③得（2k＋1）2-2（4k-3）=31，

∴k=3（k=-2，舍去），∴b＋c=7.

又∵a=，

∴△ABC的周长为a＋b＋c=＋7.

23.解：（1）设蝙蝠形风筝售价为x元时，销售量为y个，

根据题意可知y=180-10（x-12）=-10x＋300（12≤x≤30）；

（2）设王大伯获得的利润为W，

则W=（x-10）y=-10x2＋400x-3000，

令W=840，则-10x2＋400x-3000=840，

解得x1=16，x2=24（舍去）.

答：王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元；

（3）∵W=-10x2＋400x-3000=-10（x-20）2＋1000，a=-10＜0，

∴当x=20时，W取最大值，最大值为1000.

答：当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000元.

24.（1）证明：∵∠BAC＋∠EAD=180°，

∴∠BAE＋∠DAC=180°.

又∵∠BAE=90°，

∴∠DAC=90°.

∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AD，

∴△BAE≌△CAD（SAS），

∴BE=CD.

在Rt△ABE中，F为BE的中点，

∴BE=2AF，∴CD=2AF；

（2）解：当∠BAE≠90°时，（1）的结论仍成立.理由如下：

如图，过B作BG∥AF交EA的延长线于G.

∵F是BE的中点，BG∥AF，

∴BG=2AF，AE=AG.

∵∠BAC＋∠EAD=180°，∠GAD＋∠EAD=180°，

∴∠BAC=∠GAD，

∴∠1=∠2.

∵AE=AD，

∴AD=AG.

在△ABG和△ACD中，AG=AD，

∴△ABG≌△ACD（SAS），

∴BG=CD，

∴CD=2AF.

25.解：（1）y=x2＋x-4；

（2）过点M作MN∥y轴交AB于点N，易求直线AB解析式为y=-x-4.

∵点M的横坐标为m，则M点的坐标为，N点的坐标为（m，-m-4），

则S=×（xB-xA）·NM=×4×=-m2-4m=-（m＋2）2＋4（-4<m<0），

∴当m=-2时，S有最大值，S最大=4；

（3）设Q（a，-a），由题意知PQ∥OB，且PQ=OB，

则P（a，-a＋4）或（a，-a-4）.

∵P点在抛物线y=x2＋x-4上，

∴a2＋a-4=-a＋4或a2＋a-4=-a-4，

解得a1=-2＋2，a2=-2-2，a3=-4，a4=0（不符题意，舍去），

∴满足题意的Q点的坐标有三个，

分别是（-2＋2，2-2），（-2-2，2＋2），（-4，4）.