2019届高考物理一轮复习讲义：第4章 第4讲　万有引力与航天(含答案)

第4讲　万有引力与航天
板块一　主干梳理·夯实基础
【知识点1】　开普勒行星运动定律　Ⅰ
1．定律内容
开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间扫过相等的面积。
开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即＝k。
2．使用条件：适用于宇宙中一切环绕相同中心天体的运动，也适用于以行星为中心的卫星。
【知识点2】　万有引力定律及应用　Ⅱ
1．内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与两物体的质量的乘积成正比，与两物体间距离的二次方成反比。
2．公式：F＝G，其中G为万有引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，其值由卡文迪许通过扭秤实验测得。公式中的r是两个物体之间的距离。
3．使用条件：适用于两个质点或均匀球体；r为两质点或均匀球体球心间的距离。
【知识点3】　环绕速度　Ⅱ
1．第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s。
2．第一宇宙速度是人造卫星在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。
3．第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度。
4．第一宇宙速度的计算方法。
(1)由G＝m，解得：v＝ ；
(2)由mg＝m解得：v＝。
【知识点4】　第二宇宙速度和第三宇宙速度　Ⅰ
1．第二宇宙速度(脱离速度)
使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s。
2．第三宇宙速度(逃逸速度)
使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s。
【知识点5】　经典时空观和相对论时空观　Ⅰ
1．经典时空观
(1)在经典力学中，物体的质量不随运动速度改变；
(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。
2．相对论时空观
(1)在狭义相对论中，物体的质量随物体的速度的增加而增加，用公式表示为m＝；
(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的。
板块二　考点细研·悟法培优
考点1 开普勒第三定律 [深化理解]

1．微元法解读开普勒第二定律，行星在近日点、远日点时速度方向与连线垂直，若行星在近日点、远日点到太阳的距离分别为a、b，取足够短的时间Δt，则行星在Δt时间内可看作匀速直线运动，由Sa＝Sb知va·Δt·a＝vb·Δt·b，可得va＝。行星到太阳的距离越大，行星的速率越小，反之越大。
2．开普勒第三定律虽然是对行星绕太阳运动的总结，但实践表明该定律也适用于其他天体的运动，如月球绕地球的运动，卫星(或人造卫星)绕行星的运动。
3．天体虽做椭圆运动，但它们的轨道十分接近圆。为简化运算，一般把天体的运动当成匀速圆周运动来研究，椭圆的半长轴即为圆的半径。则天体的运动遵从牛顿运动定律及匀速圆周运动的规律，如v＝ωr，F＝ma＝＝mrω2等。

例1　如图所示，某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为a，近日点离太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为va，则过近日点时的速率为(　　)

A．vb＝va B．vb＝va
C．vb＝va D．vb＝va
该题涉及开普勒哪条定律？其内容是什么？
提示：开普勒第二定律。对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
尝试解答　选C。
若行星从轨道的A点经足够短的时间t运动到A′点，则与太阳的连线扫过的面积可看作扇形，其面积SA＝；若行星从轨道的B点也经时间t运动到B′点，则与太阳的连线扫过的面积SB＝；根据开普勒第二定律得＝，即vb＝va，C正确。
总结升华
绕太阳沿椭圆轨道运行的行星在近日点线速度最大，越靠近近日点线速度越大，线速度大小与行星到太阳的距离成反比。
　木星的公转周期约为12年，若把地球到太阳的距离作为1天文单位，则木星到太阳的距离约为(　　)
A．2天文单位 B．4天文单位
C．5.2天文单位 D．12天文单位
答案　C
解析　木星、地球都环绕太阳按椭圆轨道运动，近似计算时可当成圆轨道处理，因此它们到太阳的距离可当成是绕太阳公转的轨道半径，根据开普勒第三定律＝得r木＝ ·r地≈5.2天文单位。
考点2 天体质量和密度的估算 [拓展延伸]

1．自力更生法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由G＝mg得天体质量M＝。
(2)天体密度ρ＝＝＝。
2．借助外援法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
(1)由G＝m得天体的质量M＝。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度
ρ＝＝＝。
(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。

例2　[2017·邢台市四模]为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量，已知地球半径为R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T。则太阳的质量为(　　)
A. B.
C. D.
(1)知道地球绕太阳公转的周期T和太阳与地球中心间距r，能求太阳质量吗？
提示：能。利用＝mr。
(2)太阳质量的四个选项中没有引力常量G，可以考虑用哪一信息替代？
提示：地球表面重力加速度g＝。
尝试解答　选D。
地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有＝mr，所以M＝，地球表面物体m0的重力来源于万有引力，有＝m0g，所以G＝，把G代入M＝，得M＝＝，D正确。
总结升华
估算天体质量和密度时应注意的问题
(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。
(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。
1.若已知月球绕地球运动可近似看作匀速圆周运动，并且已知月球的轨道半径为r，它绕地球运动的周期为T，引力常量是G，由此可以知道(　　)
A．月球的质量m＝
B．地球的质量M＝
C．月球的平均密度ρ＝
D．地球的平均密度ρ′＝
答案　B
解析　对月球有＝r，可得地球质量M＝，月球质量无法求出，其密度也无法计算，故B正确，A、C错误；因不知道地球自身半径，故无法计算密度，故D错误。
2．[2017·唐山一模]美国航天局与欧洲航天局合作，发射的火星探测器已经成功登录火星。荷兰企业家巴斯兰斯多普发起的“火星一号”计划打算将总共24人送上火星，创建一块长期殖民地。若已知万有引力常量G，那么在下列给出的各种情景中，能根据测量的数据求出火星密度的是(　　)
A．在火星表面使一个小球做自由落体运动，测出落下的高度H和时间t
B．火星探测器贴近火星表面做匀速圆周运动，测出运行周期T
C．火星探测器在高空绕火星做匀速圆周运动，测出距火星表面的高度H和运行周期T
D．观察火星绕太阳的匀速圆周运动，测出火星的直径D和运行周期T
答案　B
解析　由＝mg，ρ＝得：ρ＝，由H＝gt2 得出g，却不知火星半径，A错误。由＝mr，ρ＝得：ρ＝。当r＝R时ρ＝，B正确，不知火星半径，C错误。D选项中心天体是太阳，据给出的数据无法计算火星质量，也就不能计算火星密度，故D错误。
考点3 人造卫星的运动规律 [深化理解]

1．人造卫星的运动规律
(1)一种模型：无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。
(2)两条思路
①万有引力提供向心力，即G＝ma。
②天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，被称为“黄金代换”。
(3)地球卫星的运行参数(将卫星轨道视为圆)
物理量
推导依据
表达式
最大值或最小值
线速度
G＝m
v＝
当r＝R时有最大值，v＝7.9 km/s
角速度
G＝mω2r
ω＝
当r＝R时有最大值
周期
G＝m2r
T＝2π
当r＝R时有最小值，约85 min
向心
加速度
G＝ma向
a向＝
当r＝R时有最大值，最大值为a＝g
轨道
平面
圆周运动的圆心与中心天体中心重合
共性：半径越小，运动越快，周期越小
2．地球同步卫星的特点
(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。
(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h＝86400 s。
(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。
(4)高度一定：据G＝mr得r＝ ＝4.23×104 km，卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量)。
(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。
3．极地卫星和近地卫星
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。
(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。

例3　[2017·广东深圳一模]人造卫星a的圆形轨道离地面高度为h，地球同步卫星b离地面高度为H，h A．a、b线速度大小之比为
B．a、c角速度之比为
C．b、c向心加速度大小之比为
D．a下一次通过c正上方所需时间等于t＝2π
(1)怎样比较人造卫星a和同步卫星b的线速度、角速度、向心加速度？
提示：万有引力提供向心力G＝m＝mω2r＝ma。
(2)什么时候人造卫星a会再次通过c的正上方？
提示：人造卫星转过的角度与c物体随地球自转转过的角度之差等于2π时，a会再次通过c的上方，即ωat－ωct＝2π。
尝试解答　选C。
卫星绕地球做匀速圆周运动，建筑物随地球自转做匀速圆周运动，当卫星转过的角度与建筑物转过的角度之差等于2π时，卫星再次出现在建筑物上空。绕地球运行的卫星，万有引力提供向心力，设卫星的线速度为v，则G＝m，所以v＝ ，可知a、b卫星的线速度大小之比为，故A错误；设卫星的角速度为ω，G＝mω2r，得ω＝ ，所以有＝ ，又由于卫星b的角速度与物体c的角速度相同，所以＝，故B错误；根据a＝ω2r可得＝，故C正确；设经过时间t卫星a再次通过建筑物c上方，有(ωa－ωc)t＝2π，得t＝＝＝，故D错误。
总结升华
人造卫星问题的解题技巧
(1)利用万有引力提供向心加速度的不同表述形式。
G＝man＝m＝mω2r＝m2r＝m(2πf)2r。
(2)第一宇宙速度是人造卫星环绕地球表面运行的最大速度，轨道半径r近似等于地球半径
v＝ ＝7.9 km/s
万有引力近似等于卫星的重力，即
mg＝m，v＝＝7.9 km/s
(3)同步卫星：抓住①具有特定的线速度、角速度和周期。②具有特定的位置高度和轨道半径。③运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能静止在赤道上方特定的点上。
比较卫星与地球有关的物理量时可以通过比较卫星与同步卫星的参量来确定。如例题中C选项求卫星a与地面建筑物c的角速度的比值。

　[2017·湖北七市一模]嫦娥三号携带玉兔号月球车首次实现月球软着陆和月面巡视勘察，并开展月表形貌与地质构造调查等科学探测。玉兔号在地球表面的重力为G1，在月球表面的重力为G2；地球与月球均视为球体，其半径分别为R1、R2；地球表面重力加速度为g。则(　　)
A．月球表面的重力加速度为
B．地球与月球的质量之比为
C．月球与地球的第一宇宙速度之比为
D．嫦娥三号环绕月球表面做匀速圆周运动的周期为2π
答案　D
解析　玉兔号的质量为m＝，所以月球表面的重力加速度为g′＝＝，A错误；根据黄金代换公式GM＝gR2，可得＝＝，B错误；第一宇宙速度 v＝，所以在月球上与地球上的第一宇宙速度之比为＝ ，C错误；根据万有引力提供向心力G＝mr，嫦娥三号环绕月球表面做匀速圆周运动，所以轨道半径等于月球半径R2，代入得T＝2π，D正确。
考点4 航天器的变轨问题 [拓展延伸]

1．卫星变轨原理
当卫星开启、关闭发动机或受空气阻力作用时，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行：
(1)当卫星的速度突然增加时，G (2)当卫星的速度突然减小时，G>m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v＝ 可知其运行速度比原轨道时大。
卫星的发射和回收就是利用这一原理。
2．卫星变轨时一些物理量的定性分析

如图所示：
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ、Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v4，在轨道Ⅱ上过P、Q点时的速率分别为v2、v3，在P点加速，则v2>v1；在Q点加速，则v4>v3。又因v1>v4，故有v2>v1>v4>v3。
(2)加速度：因为在P点不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过，P点到地心的距离都相同，卫星的加速度都相同，设为aP。同理，在Q点加速度也相同，设为aQ。又因Q点到地心的距离大于P点到地心的距离，所以aQ (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由＝k可知T1
例4　(多选)如下图是“嫦娥三号”飞行轨道示意图。假设“嫦娥三号”运行经过P点第一次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km的圆轨道Ⅰ上运动，再次经过P点时第二次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面近地点为Q、高度为15 km，远地点为P、高度为100 km的椭圆轨道Ⅱ上运动，下列说法正确的是(　　)

A．“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km的圆轨道Ⅰ上运动时速度大小可能变化
B．“嫦娥三号”在距离月面高度100 km的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期
C．“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的加速度一定大于经过P点时的加速度
D．“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的速率可能小于经过P点时的速率
(1)如何比较圆轨道的周期和椭圆轨道的周期？
提示：据开普勒第三定律，比较半径与半长轴。
(2)如何比较椭圆轨道不同地点的加速度？
提示：只需看距地心的距离，a＝。
尝试解答　选BC。
“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km的圆轨道上运动是匀速圆周运动，速度大小不变，选项A错误；由于圆轨道的轨道半径大于椭圆轨道半长轴，根据开普勒定律，“嫦娥三号”在距离月面高度100 km的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期，选项B正确；由于在Q点“嫦娥三号”离月球近，所受万有引力大，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的加速度一定大于经过P点时的加速度，选项C正确；“嫦娥三号”在椭圆轨道上由远月点P向近月点Q运动时，万有引力做正功，速率增大，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的速率一定大于经过P点时的速率，选项D错误。
总结升华
航天器变轨问题的三点注意事项
(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变化由v＝ 判断。两个不同轨道的“切点”处线速度不相等，同一椭圆上近地点的线速度大于远地点的线速度。如例题中的D选项。
(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。
从远地点到近地点，万有引力对卫星做正功，动能Ek增大，引力势能减小。
(3)两个不同轨道的“切点”处加速度a相同。
　[2017·四川宜宾一诊]按照我国整个月球探测活动的计划，在第一步“绕月”工程圆满完成各项目标和科学探测任务后，第二步是“落月”工程。假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞船沿距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B时再次点火进入月球近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。下列判断正确的是(　　)

A．飞船在轨道Ⅰ上的运行速率v＝
B．飞船在A点处点火变轨时，动能增大
C．飞船从A到B运行的过程中机械能增大
D．飞船在轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间T＝π
答案　A
解析　飞船在轨道Ⅰ运行时，万有引力提供向心力，＝m，得v＝，又因为mg0＝，得GM＝g0R2；联立得v＝，故A正确。飞船在A点点火变轨到较低轨道，应向前喷气，喷气过程速度变小，动能变小，故B错误。在Ⅱ轨道上从A到B运行的过程中只有万有引力做功，机械能守恒，故C错误。飞船在Ⅲ轨道上运行时＝mR，得T＝，把GM＝g0R2代入，得T＝2π，故D错误。

1.模型构建
在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。
2．模型条件
(1)两颗星彼此相距较近。
(2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。
(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。
3．模型特点
(1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。
(2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。
(3)三个反比关系：m1r1＝m2r2；m1v1＝m2v2；m1a1＝m2a2
推导：根据两球的向心力大小相等可得，m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2；等式m1r1＝m2r2两边同乘以角速度ω，得m1r1ω＝m2r2ω，即m1v1＝m2v2；由m1ω2r1＝m2ω2r2直接可得，m1a1＝m2a2。
(4)巧妙求质量和：＝m1ω2r1①
＝m2ω2r2②
由①＋②得：＝ω2L
∴m1＋m2＝

[2013·山东高考]双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为(　　)
A. T B. T
C. T D. T
[答案]　B

[解析]　如图所示，设两恒星的质量分别为M1和M2，轨道半径分别为r1和r2。根据万有引力定律及牛顿第二定律可得＝M12r1，＝M22r2，解得＝2①，当两星的总质量变为原来的k倍，它们之间的距离变为原来的n倍时，有＝2②，联立①②两式可得T′＝T，故B项正确。
名师点睛
解答双星问题应注意“两等”“两不等”
(1)“两等”
①它们的角速度相等。
②双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等的。
(2)“两不等”
①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。
②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等。


(多选)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统。在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统。设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示。若AO>OB，则(　　)

A．星球A的质量一定大于B的质量
B．星球A的线速度一定大于B的线速度
C．双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大
D．双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大
答案　BD
解析　设双星质量分别为mA、mB，轨道半径为RA、RB两者间距为L，周期为T，角速度为ω，由万有引力定律可知：＝mAω2RA　①，＝mBω2RB　②，RA＋RB＝L　③，由①②式可得＝，而AO>OB，故mARB，则vA>vB，B正确。联立①②③得G(mA＋mB)＝ω2L3，又因为T＝，可知D正确，C错误。