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    2019届高考物理一轮复习讲义:第1章 运动的描述 匀变速直线运动第3讲 运动图象 追及相遇问题(含答案)

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    3讲 运动图象 追及相遇问题

    板块一 主干梳理·夯实基础

    【知识点1】 匀变速直线运动的图象 

    1直线运动的x­t图象

    (1)意义:反映了直线运动的物体位移时间变化的规律。

    (2)图线上某点切线的斜率的意义

    斜率大小:表示物体速度的大小

    斜率的正负:表示物体速度的方向

    (3)两种特殊的x­t图象

    x­t图象是一条平行于时间轴的直线,说明物体处于静止状态。(如图中甲所示)

    x­t图象是一条倾斜的直线,说明物体在做匀速直线运动。(如图中乙所示)

    2直线运动的v­t图象

    (1)意义:反映了直线运动的物体速度时间变化的规律。

    (2)图线上某点切线的斜率的意义

    斜率的大小:表示物体加速度的大小。

    斜率的正负:表示物体加速度的方向。

    (3)两种特殊的v­t图象

    匀速直线运动的v­t图象是与横轴平行的直线。(如图中甲所示)

    匀变速直线运动的v­t图象是一条倾斜的直线。(如图中乙所示)

    (4)图线与坐标轴围成的面积的意义

    图线与坐标轴围成的面积表示相应时间内的位移

    若此面积在时间轴的上方,表示这段时间内的位移方向为正方向;若此面积在时间轴的下方,表示这段时间内的位移方向为负方向

    3直线运动的a­t图象

    (1)意义:反映了直线运动的物体,加速度随时间变化的规律。

    (2)匀变速直线运动的a­t图象,只能是与t轴平行的直线。

    (3)图线与坐标轴围成面积的意义:速度的变化Δv

    【知识点2】 追及和相遇问题

    1追及问题的两类情况

      (1)若后者能追上前者,追上时,两者处于同一位置,且后者速度一定不小于前者速度。

    (2)若后者追不上前者,则当后者速度与前者速度相等时,两者相距最近。

    同向运动相隔一定的初始距离s0的问题:速度大者减速(如匀减速直线运动)追速度小者(如匀速运动)

    a.若两者速度相等时,追者位移仍小于被追者位移与s0之和,则永远追不上,此时两者间有最小距离。

    b.若两者位移相等时,速度也相等,则恰能追上,也是两者避免碰撞的临界条件。

    c.若两者位移相等时,追者速度仍大于被追者的速度,则被追者还有一次追上追者的机会,其间速度相等时两者间距有一个最大值。

    从同一地点出发开始同向运动的问题:速度小者加速(如初速度为零的匀加速直线运动)追速度大者(如匀速运动)

    a.当两者速度相等时两者间有最大距离。

    b.若两者位移相等时,则追上。

    2相遇问题

    (1)同向运动的两物体追上即相遇。两物体位移大小之差等于开始时两物体间距。

    (2)相向运动的物体,当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇。

    板块二 考点细研·悟法培优

    考点1  运动图象的应用  [深化理解]

    1应用运动图象的三点注意

    (1)无论是x­t图象还是v­t图象都只能描述直线运动。

    (2)x­t图象和v­t图象都不表示物体运动的轨迹。

    (3)x­t图象和v­t图象的形状由xtvt的函数关系决定。

    2应用运动图象解题六看

     

    x­t图象 

    v­t图象

    横轴为时间t,纵轴为位移x

    横轴为时间t,纵轴为速度v

    线

    倾斜直线表示匀速直线运动

    倾斜直线表示匀变速直线运动

    斜率

        表示速度  

        表示加速度

    续表

     

    x­t图象 

    v­t图象

    面积

        无实际意义

    图线和时间轴围成的面积表示位移

    纵截距

        表示初位置   

        表示初速度

    特殊点

    拐点表示从一种运动变为另一种运动,交点表示相遇

    拐点表示从一种运动变为另一种运动,交点表示速度相等

    1 (多选)如图所示为一质点做直线运动的速度时间图象,下列说法中正确的是(  )

    A.整个过程中,CD段和DE段的加速度数值最大

    B.整个过程中,BC段的加速度最大

    C.整个过程中,C点所表示的状态,离出发点最远

    DBC段所表示的运动通过的路程是34 m

    (1)022 s内,质点的运动方向是否发生变化?什么时刻离出发点最远?

    提示:当图象过时间轴时质点运动方向发生改变,t20秒时速度图象过时间轴,即方向发生了改变。t20秒时离出发点最远。

    (2)v­t图象中面积的含义是什么?

    提示:图线与时间轴所围的面积表示位移的大小。

    尝试解答 AD

    图象的斜率表示加速度,由图知CE段斜率最大,加速度最大,A正确,B错误。t20 s时速度改变方向,所以D点所表示的状态离出发点最远,C错误。BC段和时间轴围成的面积为34 mD正确。

    总结升华

    用速度时间图象巧得五个运动量

    (1)运动速度:从速度轴上直接读出,负值表示反向运动。

    (2)运动时间:从时间轴上直接读出时刻。

    (3)运动加速度:从图线的斜率得到加速度,斜率的大小表示加速度的大小,斜率的正负反映了加速度的方向。例题中BC段加速度与CD段加速度方向相反。

    (4)运动的位移:从图线与时间轴围成的面积得到位移,图线与时间轴围成的面积表示位移的大小,横轴以上为值,横轴以下为值,整个过程的位移是它们的代数和,如CD段的位移为正值,DE段为负值;那CE段的总位移为0

    (5)运动的路程:因为路程是标量。路程是图线与时间轴围成的面积的总和。

     汽车在平直公路上做刹车试验,若从t0时起汽车在运动过程中的位移与速度的平方之间的关系如图所示,下列说法正确的是(  )

    At0时汽车的速度为10 m/s

    B.刹车过程持续的时间为5 s

    C.刹车过程经过3 s时汽车的位移为7.5 m

    D.刹车过程汽车的加速度大小为10 m/s2

    答案 A

    解析 由图象可得x=-v210,根据v2v2ax可得xv2,解得a=-5 m/s2v010 m/sA正确,D错误;汽车刹车过程的时间为t2 sB错误;汽车经过2 s停止,因而经过3 s时汽车的位移为 x10 mC错误。

    考点2  追及和相遇问题  [解题技巧]

    1追及和相遇问题中的一个条件和两个关系

    (1)一个条件:即两者速度相等,它往往是物体间能否追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件,也是分析判断的切入点。

    (2)两个关系:即时间关系和位移关系,这两个关系可通过画过程示意图得到。

    2追及相遇问题两种典型情况

    假设物体A追物体B,开始时,两个物体相距x0,有两种典型情况:

    (1)初速度小的追初速度大的运动的物体。当vAvB时,两者相距最远。

    (2)初速度大的追初速度小的运动的物体。当vAvB时,

    若已超越则相遇两次。

    若恰好追上,则相遇一次。

    若没追上,则无法相遇,两者之间有最小距离。

    2 一辆汽车在十字路口等候绿灯,当绿灯亮时汽车以a3 m/s2的加速度开始行驶,恰在这一时刻一辆自行车以v6 m/s的速度匀速驶来,从旁边超过汽车。试求:

    (1)汽车从路口开动后,在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远?此时距离是多少?

    (2)什么时候汽车能追上自行车?此时汽车的速度是多少?

    (1)追上前两车相距最远的条件是什么?

    提示:两车速度相等。

    (2)追上时两车的位移关系。

    提示:位移之差等于初始距离。

    尝试解答 (1)2_s__6_m__(2)4_s__12_m/s

    (1)解法一:(物理分析法)

    汽车与自行车的速度相等时相距最远,设此时经过的时间为t1,两车间的距离为Δx,则有vat1

    所以t12 s

    Δxvt1at6 m

    解法二:(相对运动法)

    以自行车为参考系,则从开始到相距最远的这段时间内,汽车相对这个参考系的各个物理量为

    初速度v0v汽初v06 m/s=-6 m/s

    末速度vtv汽车v0

    加速度aaa3 m/s203 m/s2

    所以两车相距最远时经历的时间为t12 s

    最大距离Δx=-6 m

    负号表示汽车在后。

    注意:利用相对运动的方法解题,要抓住三个关键:选取哪个物体为研究对象;选取哪个物体为参考系;规定哪个方向为正方向。

    解法三:(极值法)

    设汽车在追上自行车之前经过时间t1两车相距最远,则Δxvt1at

    代入已知数据得Δx6t1t

    由二次函数求极值的条件知:t12 s时,Δx有最大值6 m

    所以经过t12 s后,两车相距最远,为Δx6 m

    解法四:(图象法)

    自行车和汽车的v­t图象如图所示。由图可以看出,在相遇前,t1时刻两车速度相等,两车相距最远,此时的距离为阴影三角形的面积,所以有

    t1 s2 s

    Δx m6 m

    (2)解法一:当两车位移相等时,汽车追上自行车,设此时经过的时间为t2,则有vt2at

    解得t2 s4 s

    此时汽车的速度v1at212 m/s

    解法二:由前面画出的v­t图象可以看出,在t1时刻之后,当由图线vvtt2构成的三角形的面积与阴影部分的三角形面积相等时,汽车与自行车的位移相等,即汽车与自行车相遇,所以t22t14 sv1at23×4 m/s12 m/s

    总结升华

    追及相遇问题的求解方法

    (1)解题思路

    (2)解题技巧

    紧抓一图三式,即:过程示意图,时间关系式、速度关系式和位移关系式。

    审题应抓住题目中的关键字眼,充分挖掘题目中的隐含条件,如刚好”“恰好”“最多”“至少等,往往对应一个临界状态,满足相应的临界条件。

    若被追赶的物体做匀减速运动,一定要注意追上前该物体是否已经停止运动,另外还要注意最后对解的讨论分析。

    紧紧抓住速度相等这个关键点。

    作此类选择题时,图象法是最好的选择,如例题中的解法四。

     甲、乙两车相距40.5 m,同时沿平直公路做直线运动,甲车在前,以初速度v116 m/s,加速度a12 m/s2做匀减速直线运动,乙车在后,以初速度v24.0 m/s,加速度a21.0 m/s2与甲同向做匀加速直线运动。求:

    (1)甲、乙两车相遇前相距的最大距离;

    (2)乙车追上甲车经历的时间。

    答案 (1)64.5 m (2)11.0 s

    解析 (1)解法一:甲、乙两车速度相等时距离最大,设时间为t1时,两车的速度相等,则:v1a1t1v2a2t1

    162t14t1,解得:t14.0 s

    对甲车:x1v1t1a1t48 m

    对乙车:x2v2t1a2t24 m

    故甲、乙两车相遇前相距的最大距离:

    xmaxx0x1x264.5 m

    解法二:甲、乙两车之间的距离为

    xv1t1a1tx0

    x=-t12t140.5

    t1=- s4 s时,甲、乙两车之间的距离有最大值,最大值为

    xmax m64.5 m

    (2)甲车运动至停止的时间t28 s

    在甲车运动时间内,甲车位移:x1t264 m

    乙车位移:x2v2t2a2t64 m

    故甲车停止时,甲、乙两车仍相距x40.5 m,甲车停止时,乙车的速度:v2v2a2t212 m/s

    xv2t3a2t

    40.512t3t,解得:t33 s

    乙车追上甲车的时间:tt2t311.0 s

    [2015·福建高考](15)一摩托车由静止开始在平直的公路上行驶,其运动过程的v­t图象如图所示。求:

    (1)摩托车在020 s这段时间的加速度大小a

    (2)摩托车在075 s这段时间的平均速度大小

    试卷抽样

    评析指导

    失分点:理解错误,求解方法错,导致扣10分。

    失分原因:对平均速度的概念理解错误,误认为平均速度是速度的平均。

    补偿建议:深入理解平均速度,是位移和所用时间的比,在v­t图象中,位移的大小等于图象和t轴所围面积的大小。

    规范解答:75 s内摩托车的位移等于v­t图象中图线和t轴所围的面积:s75[(4520)75]×30 m1500 m

    75 s内摩托车的平均速度v m/s20 m/s

     

     

     

     

     

     

     

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