2021高考数学一轮复习学案：第七章7.2直线、平面平行的判定与性质


§7.2　直线、平面平行的判定与性质

1．线面平行的判定定理和性质定理

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)

⇒l∥α
性质定理
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)

⇒l∥b

2.面面平行的判定定理和性质定理

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)

⇒α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行

⇒a∥b

概念方法微思考
1．一条直线与一个平面平行，那么它与平面内的所有直线都平行吗？
提示　不都平行．该平面内的直线有两类，一类与该直线平行，一类与该直线异面．
2．一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行吗？
提示　平行．可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”，这就是面面平行的判定定理．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(　×　)
(2)平行于同一条直线的两个平面平行．(　×　)
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(　×　)
(4)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.(　×　)
题组二　教材改编
2．平面α∥平面β的一个充分条件是(　　)
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
答案　D
解析　若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D.
3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．

答案　平行
解析　连结BD，设BD∩AC＝O，连结EO，

在△BDD1中，E为DD1的中点，O为BD的中点，
所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，
而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，
所以BD1∥平面ACE.
题组三　易错自纠
4．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是(　　)
A．m∥l1且n∥l2 B．m∥β且n∥l2
C．m∥β且n∥β D．m∥β且l1∥α
答案　A
解析　对于A，由m∥l1，m⊂α，l1⊄α，得l1∥α，同理l2∥α，又l1，l2相交，l1，l2⊂β，所以α∥β，反之不成立，所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件．
5．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中(　　)
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
答案　A
解析　当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.
6．设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：
①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；
③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.
其中能推出α∥β的条件是______．(填上所有正确的序号)
答案　②④
解析　在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交；
由α∥γ，β∥γ⇒α∥β，条件②满足；
在④中，a⊥α，a∥b⇒b⊥α，又b⊥β，从而α∥β，④满足.
直线与平面平行的判定与性质
命题点1　直线与平面平行的判定
例1　(2019·四川省名校联盟模拟)如图，四边形ABCD为矩形，ED⊥平面ABCD，AF∥ED.求证：BF∥平面CDE.

证明　方法一　∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，
∵AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AB∥平面CDE；
又AF∥ED，∵AF⊄平面CDE，ED⊂平面CDE，
∴AF∥平面CDE；
∵AF∩AB＝A，AB⊂平面ABF，AF⊂平面ABF，
∴平面ABF∥平面CDE，
又BF⊂平面ABF，∴BF∥平面CDE.
方法二　如图，在ED上取点N，使DN＝AF，连结NC，NF，

∵AF∥DN，且AF＝DN，
∴四边形ADNF为平行四边形，
∴AD∥FN，且AD＝FN，
又四边形ABCD为矩形，AD∥BC且AD＝BC，∴FN∥BC，且FN＝BC，
∴四边形BCNF为平行四边形，
∴BF∥NC，∵BF⊄平面CDE，NC⊂平面CDE，
∴BF∥平面CDE.
命题点2　直线与平面平行的性质
例2　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH.求证：PA∥GH.

证明　如图所示，连结AC交BD于点O，连结MO，

因为四边形ABCD是平行四边形，
所以O是AC的中点，
又M是PC的中点，所以AP∥OM.
又MO⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，
所以PA∥平面BMD.
又因为平面PAHG∩平面BMD＝GH，
且PA⊂平面PAHG，所以PA∥GH.
思维升华　判断或证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)．
(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．
(3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
跟踪训练1　在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝1.

(1)证明：EF∥平面PDC；
(2)求点F到平面PDC的距离．
(1)证明　取PC的中点M，连结DM，MF，

∵M，F分别是PC，PB的中点，
∴MF∥CB，MF＝CB，
∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，
∴DE∥CB，DE＝CB，
∴MF∥DE，MF＝DE，∴四边形DEFM为平行四边形，
∴EF∥DM，
∵EF⊄平面PDC，DM⊂平面PDC，
∴EF∥平面PDC.
(2)解　∵EF∥平面PDC，∴点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距离．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA，
在Rt△PAD中，PA＝AD＝1，∴DP＝，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
又CD⊥AD且PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，
∴S△PCD＝××1＝，连结EP，EC，
∵VE－PDC＝VC－PDE，
设E到平面PCD的距离为h，
则×h×＝×1×××1，
∴h＝，∴F到平面PDC的距离为.
平面与平面平行的判定与性质
例3　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明　(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
∴GH是△A1B1C1的中位线，
∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四点共面．
(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF∥BC.
∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1∥AB且A1B1＝AB，
∴A1G∥EB，A1G＝EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，
∴A1E∥GB.
又∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求的值．
解　连结A1B，AB1，交于点O，连结OD1.

由平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，
所以BC1∥D1O，则＝＝1.
同理，AD1∥C1D，
又AD∥C1D1，
所以四边形ADC1D1是平行四边形，
所以AD＝D1C1，又AC＝A1C1，
所以＝，所以＝1，即＝1.
思维升华　证明面面平行的方法
(1)面面平行的定义．
(2)面面平行的判定定理．
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．
(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．
跟踪训练2　(2019·南昌模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点．

(1)求证：平面CMN∥平面PAB；
(2)求三棱锥P－ABM的体积．
(1)证明　∵M，N分别为PD，AD的中点，∴MN∥PA，
又MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
∴MN∥平面PAB.
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，
∴∠ACN＝60°.
又∠BAC＝60°，∴CN∥AB.
∵CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CN∥平面PAB.
又CN∩MN＝N，CN，MN⊂平面CMN，
∴平面CMN∥平面PAB.
(2)解　由(1)知，平面CMN∥平面PAB，
∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离．
∵AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴BC＝，
∴三棱锥P－ABM的体积V＝VM－PAB＝VC－PAB＝VP－ABC＝××1××2＝.
平行关系的综合应用
例4　如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．

(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．
(1)证明　∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥HG.
∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，
∴EF∥平面ABD.
又∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB，又∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.同理可证，CD∥平面EFGH.
(2)解　设EF＝x(0 ∵EF∥AB，FG∥CD，∴＝，
则＝＝＝1－，∴FG＝6－x.
∵四边形EFGH为平行四边形，
∴四边形EFGH的周长l＝2＝12－x.
又∵0 即四边形EFGH周长的取值范围是(8,12)．
思维升华　利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．
跟踪训练3　如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，点C∈α，点B∈β，点D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.

(1)求证：EF∥平面β；
(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长．
(1)证明　①当AB，CD在同一平面内时，由平面α∥平面β，平面α∩平面ABDC＝AC，平面β∩平面ABDC＝BD，知AC∥BD.
∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD.
又EF⊄β，BD⊂β，∴EF∥平面β.
②当AB与CD异面时，如图所示，设平面ACD∩平面β＝DH，且线段DH＝AC.

∵平面α∥平面β，平面α∩平面ACDH＝AC，∴AC∥DH，
∴四边形ACDH是平行四边形．
在AH上取一点G，使AG∶GH＝CF∶FD，连结EG，FG，BH，则AE∶EB＝CF∶FD＝AG∶GH.
∴GF∥HD，EG∥BH.
又EG，GF⊄平面β，BH，HD⊂平面β，
∴EG∥平面β，GF∥平面β，
又EG∩GF＝G，EG，GF⊂平面EFG，
∴平面EFG∥平面β.
又EF⊂平面EFG，∴EF∥平面β.
(2)解　如图所示，连结AD，取AD的中点M，连结ME，MF.

∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴ME∥BD，MF∥AC，
且ME＝BD＝3，MF＝AC＝2.
∴∠EMF或其补角为AC与BD所成的角，
∴∠EMF＝60°或120°.
∴在△EFM中，由余弦定理得
EF＝
＝＝，
即EF＝或EF＝.