2020版高考物理新设计一轮复习江苏专版讲义：第六章第3节电容器带电粒子在电场中的运动

第3节电容器__带电粒子在电场中的运动

(1)电容器所带的电荷量是指每个极板所带电荷量的代数和。(×)

(2)电容器的电容与电容器所带电荷量成反比。(×)

(3)放电后的电容器电荷量为零，电容也为零。(×)

(4)带电粒子在匀强电场中只能做类平抛运动。(×)

(5)带电粒子在电场中，只受电场力时，也可以做匀速圆周运动。(√)

(6)示波管屏幕上的亮线是由于电子束高速撞击荧光屏而产生的。(√)

(7)带电粒子在电场中运动时重力一定可以忽略不计。(×)

突破点(一)　平行板电容器的动态分析

1．平行板电容器动态变化的两种情况

(1)电容器始终与电源相连时，两极板间的电势差U保持不变。

(2)充电后与电源断开时，电容器所带的电荷量Q保持不变。

2．平行板电容器动态问题的分析思路

3．平行板电容器问题的一个常用结论

电容器充电后断开电源，在电容器所带电荷量保持不变的情况下，电场强度与极板间的距离无关。

[题点全练]

1．(2018·江苏高考)如图所示，水平金属板A、B分别与电源两极相连，带电油滴处于静止状态。现将B板右端向下移动一小段距离，两金属板表面仍均为等势面，则该油滴(　　)

A．仍然保持静止　　　　　 　B．竖直向下运动

C．向左下方运动   D．向右下方运动

解析：选D　开始时油滴处于静止状态，有mg＝q，B板右端下移时，U不变，d变大，电场力F＝q变小，mg＞F。并且A、B两板之间的等差等势面右端将均匀地顺次向下移动，又电场强度垂直于等势面，可得油滴的受力如图所示，mg与F的合力方向为向右下方，故油滴向右下方运动。

2．[多选](2019·苏州模拟)如图所示，平行板电容器的两极板A、B接于电池两极，一带负电小球悬挂在电容器内部。闭合开关S，电容器充电，这时悬线偏离竖直方向的夹角为θ，则(　　)

A．保持开关S闭合，略向右移动A板，则θ增大

B．保持开关S闭合，略向右移动A板，则θ不变

C．断开开关S，略向上移动A板，则θ增大

D．断开开关S，略向上移动A板，则θ不变

解析：选AC　保持开关S闭合，电容器两端间的电势差不变，带负电的A板向右移动，极板间距离减小，电场强度E增大，小球所受的电场力变大，θ增大，故A正确，B错误。断开开关S，电容器所带的电量不变，根据C＝，U＝得，E＝＝＝，知略向上移动A板，则S减小，E变大，电场力变大，则θ增大，故C正确，D错误。

3.如图所示，两块平行放置的金属板A、B与一电源相连，S闭合后，两板间有一质量为m，带电荷量为q的油滴恰好处于静止状态，以下说法正确的是(　　)

A．若将S断开，则油滴立即做自由落体运动，G中无电流

B．若将A板向左平移一小段位移，则油滴仍然静止，G中有a→b的电流

C．若将A板向上平移一小段位移，则油滴向下加速运动，G中有b→a的电流

D．若将S断开，再将A板向下平移一小段位移，则油滴向上加速运动，G中有b→a的电流

解析：选C　若将S断开，则电容器两板所带电荷量一定，电场强度不变，则油滴仍静止，G中无电流，选项A错误。开始时，重力和电场力平衡，有mg＝qE；若将A板向左平移一小段位移，则由E＝可知，E不变，故油滴仍静止；由于相对面积S减小，根据C＝和C＝可知，C减小，Q减小，电容器放电，G中有b→a的电流，选项B错误。若将A板向上平移一小段位移，由E＝可知，E变小，则油滴向下加速运动；由于d变大，根据C＝、C＝可知，C减小，Q减小，电容器放电，G中有b→a的电流，选项C正确。若将S断开，Q不变，A向下平移一小段距离，根据C＝、C＝以及E＝可得E＝，知E不变，油滴仍静止不动，由于电荷量不变，故G中无电流，选项D错误。

突破点(二)　带电粒子在电场中的直线运动

1．带电粒子在电场中运动时重力的处理

2．解决带电粒子在电场中的直线运动问题的两种思路

(1)根据带电粒子受到的电场力，用牛顿第二定律求出加速度，结合运动学公式确定带电粒子的运动情况。此方法只适用于匀强电场。

(2)根据电场力对带电粒子所做的功等于带电粒子动能的变化求解。此方法既适用于匀强电场，也适用于非匀强电场。

[典例]　(2017·江苏高考)如图所示，三块平行放置的带电金属薄板A、B、C中央各有一小孔，小孔分别位于O、M、P点。由O点静止释放的电子恰好能运动到P点。现将C板向右平移到P′点，则由O点静止释放的电子(　　)

A．运动到P点返回

B．运动到P和P′点之间返回

C．运动到P′点返回

D．穿过P′点

[解析]　电子在A、B板间的电场中加速运动，在B、C板间的电场中减速运动，设A、B板间的电压为U，B、C板间的电场强度为E，M、P两点间的距离为d，则有eU－eEd＝0，若将C板向右平移到P′点，B、C两板所带电荷量不变，由E＝＝＝可知，C板向右平移到P′时，B、C两板间的电场强度不变，由此可以判断，电子在A、B板间加速运动后，在B、C板间减速运动，到达P点时速度为零，然后返回，A项正确，B、C、D项错误。

[答案]　A

[集训冲关]

1.如图所示，从F处释放一个无初速度的电子向B板方向运动，下列对电子运动的描述中错误的是(设电源电动势均为U)(　　)

A．电子到达B板时的动能是Ue

B．电子从B板到达C板动能变化量为零

C．电子到达D板时的动能是3Ue

D．电子在A板和D板之间做往复运动

解析：选C　电子在AB之间做匀加速运动，且eU＝ΔEk，A正确；在BC之间做匀速运动，B正确；在CD之间做匀减速运动，到达D板时，速度减为零，随后反向做匀加速运动，在CB之间做匀速运动，在BA之间做匀减速运动，到达A板时，速度减为零，之后按上述运动过程往复运动，C错误，D正确。

2.如图所示，充电后的平行板电容器水平放置，电容为C，极板间距离为d，上极板正中有一小孔。质量为m、电荷量为＋q的小球从小孔正上方高h处由静止开始下落，穿过小孔到达下极板处速度恰为零(空气阻力忽略不计，极板间电场可视为匀强电场，重力加速度为g)。求：

(1)小球到达小孔处的速度；

(2)极板间电场强度大小和电容器所带电荷量；

(3)小球从开始下落运动到下极板处的时间。

解析：(1)由v2＝2gh，得v＝。

(2)在极板间带电小球受重力和电场力，

有mg－qE＝ma,0－v2＝2ad

得E＝，U＝Ed，Q＝CU

得Q＝C。

(3)由h＝gt12,0＝v＋at2，t＝t1＋t2

综合可得t＝。

答案：见解析

突破点(三)　带电粒子在匀强电场中的偏转

1．基本规律

设粒子带电荷量为q，质量为m，两平行金属板间的电压为U，板长为l，板间距离为d(忽略重力影响), 则有

(1)加速度：a＝＝＝。

(2)在电场中的运动时间：t＝。

(3)速度

v＝，tan θ＝＝。

(4)位移

2．两个结论

(1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时的偏转角度总是相同的。

证明：由qU0＝mv02及tan φ＝得tan φ＝。

(2)粒子经电场偏转后，合速度的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子水平位移的中点，即O到电场边缘的距离为。

3．带电粒子在匀强电场中偏转的功能关系

当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝mv2－mv02，其中Uy＝y，指初、末位置间的电势差。

[典例]　如图所示，一个电子由静止开始经加速电场加速后，沿中心轴线从O点垂直射入偏转电场，并从另一侧射出打到荧光屏上的P点，O′点为荧光屏的中心。已知电子质量m＝9.0×10－31 kg，电荷量e＝1.6×10－19 C，加速电场电压U0＝2 500 V，偏转电场电压U＝200 V，极板的长度L1＝6.0 cm，板间距离d＝2.0 cm，极板的末端到荧光屏的距离L2＝3.0 cm。(忽略电子所受重力，结果保留两位有效数字)求：

(1)电子射入偏转电场时的初速度v0的大小；

(2)电子打在荧光屏上的P点到O′点的距离h；

(3)电子经过偏转电场过程中电场力对它所做的功W。

[思路点拨]　解答本题应把握以下三点

(1)熟练掌握带电粒子在加速电场和偏转电场中的运动规律。

(2)电子离开偏转电场时速度的反向延长线过偏转电场的中点。

(3)电子在偏转电场运动的过程中电场力对它做的功用W＝eEy来计算。

[解析]　(1)电子在加速电场中加速，根据动能定理有：

eU0＝mv02

解得：v0＝

代入数据得：v0＝3.0×107 m/s。

(2)设电子在偏转电场中运动的时间为t，电子射出偏转电场时在竖直方向上的侧移量为y

电子在水平方向做匀速直线运动：L1＝v0t

电子在竖直方向上做匀加速运动：y＝at2

根据牛顿第二定律有：＝ma

联立各式代入数据得y＝0.36 cm

画出电子的运动轨迹，由图可知电子离开偏转电场时速度的反向延长线过偏转电场的中点由几何关系知，＝＝

代入数据解得h＝0.72 cm。

(3)电子在偏转电场运动的过程中电场力对它做的功W＝eEy＝ey＝5.8×10－18 J。

[答案]　(1)3.0×107 m/s　(2)0.72 cm

(3)5.8×10－18 J

[方法规律]　分析匀强电场中的偏转问题的关键

(1)条件分析：不计重力，且带电粒子的初速度v0与电场方向垂直，则带电粒子将在电场中只受电场力作用做类平抛运动。

(2)运动分析：一般用分解的思想来处理，即将带电粒子的运动分解为沿电场力方向上的匀加速直线运动和垂直电场力方向上的匀速直线运动。

[集训冲关]

1．[多选]如图所示，质量相同的两个带电粒子P、Q以相同的速度沿垂直于电场方向射入两平行板间的匀强电场中，P从两极板正中央射入，Q从下极板边缘处射入，它们最后打在同一点(重力不计)。从开始射入到打到上极板的过程中，下列说法正确的是(　　)

A．它们运动的时间tQ＝tP

B．它们运动的加速度aQ＝aP

C．它们所带的电荷量之比qP∶qQ＝1∶2

D．它们的动能增加量之比ΔEkP∶ΔEkQ＝1∶2

解析：选AC　垂直电场方向不受力，做匀速直线运动，位移相等，速度相等，由x＝vt得知，运动的时间相等，故A正确；平行电场方向受到电场力作用，做初速度为零的匀加速直线运动，根据位移时间关系公式，有：y＝at2，解得：a＝，由于两带电粒子平行电场方向分位移之比为：yP∶yQ＝1∶2，所以aQ＞aP，故B错误；根据牛顿第二定律，有：qE＝ma，则：q＝，所以它们所带的电荷量之比qP∶qQ＝1∶2，故C正确；根据动能定理，有：qEy＝ΔEk，又qP∶qQ＝1∶2，yP∶yQ＝1∶2，所以动能增加量之比：ΔEkP∶ΔEkQ＝1∶4，故D错误。

2.示波器的示意图如图，金属丝发射出来的电子(初速度为零，不计重力)被加速后从金属板的小孔穿出，进入偏转电场。电子在穿出偏转电场后沿直线前进，最后打在荧光屏上。设加速电压U1＝1 640 V，偏转极板长L＝4 cm，偏转板间距d＝1 cm，当电子加速后从两偏转板的中央沿板平行方向进入偏转电场。

(1)偏转电压U2为多大时，电子束打在荧光屏上偏转距离最大？

(2)如果偏转极板右端到荧光屏的距离s＝20 cm，则电子束最大偏转距离为多少？

解析：(1)设电子电量大小为e，质量为m，进入偏转电场初速度为v0，根据动能定理，有eU1＝mv02

电子在偏转电场中的飞行时间t1＝

电子在偏转电场的加速度a＝＝

要使电子束打在荧光屏上偏转距离最大，电子经偏转电场后必须沿下板边缘射出。

电子在偏转电场中的侧移距离为，则有：＝at12

联立以上各式，得偏转电压U2＝

代入数据解得：U2＝205 V。

(2)设电子离开电场后侧移距离为y1，则电子束打在荧光屏上最大偏转距离y＝＋y1

由于电子离开偏转电场的侧向速度vy＝at1＝

电子离开偏转电场后的侧向位移y1＝

得电子最大偏转距离y＝＋

代入数据解得：y＝0.055 m。

答案：(1)205 V　(2)0.055 m

电容器在现代科技生活中的应用

电容器在现代生活中应用十分广泛，其中作为传感器使用的有智能手机上的电容触摸屏、电容式传声器、电容式加速度计等。

(一)智能手机上的电容触摸屏

1．[多选]目前智能手机普遍采用了电容触摸屏，电容触摸屏是利用人体的电流感应进行工作的，它是一块四层复合玻璃屏，玻璃屏的内表面和夹层各涂一层ITO(纳米铟锡金属氧化物)，夹层ITO涂层作为工作面，四个角引出四个电极，当用户手指触摸电容触摸屏时，手指和工作面形成一个电容器，因为工作面上接有高频信号，电流通过这个电容器分别从屏的四个角上的电极中流出，且理论上流经四个电极的电流与手指到四个角的距离成比例，控制器通过对四个电流比例的精密计算来确定手指位置。对于电容触摸屏，下列说法正确的是(　　)

A．电容触摸屏只需要触摸，不需要压力即能产生位置信号

B．使用绝缘笔，在电容触摸屏上也能进行触控操作

C．手指压力变大时，由于手指与屏的夹层工作面距离变小，电容变小

D．手指与屏的接触面积变大时，电容变大

解析：选AD　据题意知，电容触摸屏只需要触摸，由于流经四个电极的电流与手指到四个角的距离成比例，控制器就能确定手指的位置，因此不需要手指有压力，故A正确；绝缘笔与工作面不能形成一个电容器，所以不能在电容屏上进行触控操作，故B错误；手指压力变大时，由于手指与屏的夹层工作面距离变小，电容将变大，故C错误；手指与屏的接触面积变大时，电容变大，故D正确。

(二)电容式传声器

2．(2018·汕头模拟)图示为某电容传声器结构示意图，当人对着传声器讲话，膜片会振动。若某次膜片振动时，膜片与极板距离增大，则在此过程中(　　)

A．膜片与极板间的电容增大

B．极板所带电荷量增大

C．膜片与极板间的电场强度增大

D．电阻R中有电流通过

解析：选D　根据C＝可知，膜片与极板距离增大，膜片与极板间的电容减小，选项A错误；根据Q＝CU可知极板所带电荷量减小，因此电容器要通过电阻R放电，所以选项D正确，B错误；根据E＝可知，膜片与极板间的电场强度减小，选项C错误。

(三)电容式加速度计

3．[多选]电容式加速度传感器的原理如图所示，质量块左、右侧连接电介质、轻质弹簧，弹簧与电容器固定在外框上，质量块可带动电介质移动，改变电容。则(　　)

A．电介质插入极板间越深，电容器电容越小

B．当传感器以恒定加速度运动时，电路中有恒定电流

C．若传感器原来向右匀速运动，突然减速时弹簧会压缩

D．当传感器由静止突然向右加速时，电路中有顺时针方向的电流

解析：选CD　由C＝知，电介质插入越深，εr越大，即C越大，A错；当传感器以恒定加速度运动时，电介质相对电容器静止，电容不变，电路中没有电流，B错；传感器向右匀速运动，突然减速时，质量块由于惯性相对传感器向右运动，弹簧压缩变短，C对；传感器由静止突然向右加速时，电介质相对电容器向左运动，εr增大，C增大，电源电动势不变，由C＝知，Q增大，上极板电荷量增大，即电路中有顺时针方向的电流，D对。

本类电容式传感器的工作原理是通过εr、S、d的变化利用公式C＝和C＝来判断C的变化，进一步分析Q的变化。