2021年数学(通用版)九年级中考一轮复习专项训练:圆周角定理练习(二)
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圆周角定理练习(二)
一.选择题
1.如图,AB是⊙O的直径,C和D是⊙O上两点,连接AC、BC、BD、CD,若∠CDB=36°,则∠ABC=( )
A.36° B.44° C.54° D.72°
2.如图,⊙O的弦AB垂直平分半径OC于点D,OC=2cm,下面有①弦AB的长为6cm;②∠C=60°;③BC=2cm.则正确的有( )
A.①②③ B.①② C.②③ D.①③
3.如图,四边形ABCD内接于⊙O,DA=DC,若∠CBE=55°,则∠DAC的度数为( )
A.70° B.67.5° C.62.5° D.65°
4.如图,BC是⊙O的直径,点A、C1是圆上两点,连接AC、AB、AC1、BC1,若∠CBA=25°,则∠C1的度数为( )
A.85° B.75° C.65° D.55°
5.如图,点A,B,S在圆上,若弦AB的长度等于圆半径的倍,则∠ASB的度数是( )
A.22.5° B.30° C.45° D.60°
6.如图,B、C两点在以AD为直径的半圆O上,若∠ABC=4∠D,且=3,则∠A的度数为( )
A.60° B.66° C.72° D.78°
7.如图,点A,B,D,C是圆O上的四个点,连接AB,CD并延长,相交于点E,若∠BOD=20°,∠AOC=90°,求∠E的度数.( )
A.30° B.35° C.45° D.55°
8.如图,A、B、C是半径为3的⊙O上的三点,已知∠C=30°,则弦AB的长为( )
A.3 B.6 C.3.5 D.1.5
9.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB=AD,∠BCE=50°,连接BD,则∠ABD=( )
A.50° B.65° C.70° D.80°
10.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,点P是AB边上的一个动点,以BP为直径的圆交CP于点Q,若线段AQ长度的最小值是4,则△ABC的面积为( )
A.32 B.36 C.40 D.48
二.填空题
11.如图,⊙O为锐角ABC的外接圆,若∠BAO=15°,则∠C的度数为 .
12.在半径为7cm的圆中,若弦AB=7cm,则弦AB所对的圆周角的度数是
13.如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,如果∠B=60°,AO=4,那么CD的长为 .
14.如图,在⊙O中,点C在优弧上,将弧沿折叠后刚好经过AB的中点D,若⊙O的半径为,AB=4,则BC的长是 .
15.如图,图(1)是一个扇形AOB,将其作如下划分:
第一次划分:如图(2)所示,以OA的一半OA1为半径画弧,再作∠AOB的平分线,得到扇形的总数为6个,分别为:扇形AOB、扇形AOC、扇形COB、扇形A1OB1、扇形A1OC1、扇形C1OB1;
第二次划分:如图(3)所示,在扇形C1OB中按上述划分方式继续划分,可以得到扇形的总数为11个;
第三次划分:如图(4)所示……依次划分下去.
请回答: (能或不能)得到扇形总数为2005个,而划分次数为401时,得到的扇形总数为 个.
16.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,12),点B(8,6),P是x轴上的一个动点,作OQ⊥AP,垂足为点Q,连接QB,则△AQB的面积的最大值为 .
三.解答题
17.如图,AB为⊙O的直径,C、D是⊙O上的两点,且BD∥OC,
(1)求证:;
(2)若∠AOC=45°,OA=2,求弦BD的长.
18.如图,已知AB是⊙O的直径,AC是弦,过点O作OD⊥AC于D,连接BC.
(1)求证:OD=BC;
(2)若∠BAC=40°,求∠ABC的度数.
19.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,G是弧AC上一点,AG,DC的延长线交于点F,连接AD,GD,GC.
(1)求证:∠ADG=∠F;
(2)已知AE=CD,BE=2.
①求⊙O的半径长;
②若点G是AF的中点,求△CDG与△ADG的面积之比.
20.已知AB、CD是⊙O的两条弦,AB⊥CD于E,连接AD,过点B作BF⊥AD,垂足为F.
(1)如图1,连接AC、AG,求证:AC=AG;
(2)如图2,连接BO并延长交AD于点H,若BH平分∠ABF,AG=4,tan∠D=,求⊙O的半径和AH的长.
参考答案
一.选择题
1.解:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵∠A=∠D=36°,
∴∠ABC=90°﹣36°=54°,
故选:C.
2.解:∵弦AB垂直平分半径OC于点D,
∴AD=BD,OD=OC=,∠ADO=∠BDC=90°,
∴AD==3,
∴AB=2AD=6(cm),所以①正确;
在Rt△BCD中,BC==2,所以③正确;
tanC===,
∴∠C=60°,所以②正确.
故选:A.
3.解:∵四边形ABCD内接于⊙O,∠CBE=55°,
∴∠ABC=180°﹣∠CBE=180°﹣55°=125°,
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣125°=55°,
∵AD=DC,
∴∠DAC=∠DCA=(180°﹣∠DAC)=(180°﹣55°)=62.5°,
故选:C.
4.解:∵BC是⊙O的直径,
∴∠BAC=90°,
∵∠CBA=25°,
∴∠C=90°﹣∠CBA=65°,
∴∠C1=∠C=65°;
故选:C.
5.解:设圆心为O,连接OA、OB,如图,
∵弦AB的长度等于圆半径的倍,
即AB=OA,
∴OA2+OB2=AB2,
∴∠AOB=90°,
∴∠ASB=∠AOB=45°.
故选:C.
6.解:连接OC,OB.
∵∠ABC+∠D=180°,∠ABC=4∠D,
∴∠D=36°,
∵OC=DO,
∴∠OCD=∠D=36°,
∴∠DOC=180°﹣36°﹣36°=108°,
∵=3,
∴∠COD=3∠BOC,
∴∠BOC=36°,
∴∠BOD=36°+108°=144°,
∴∠A=∠DOB=72°,
故选:C.
7.解:连接BC,如图,
∠ABC=∠AOC=×90°=45°,
∠BCD=∠BOD=×20°=10°,
而∠ABC=∠E+∠BCD,
所以∠E=45°﹣10°=35°.
故选:B.
8.解:∵∠C=30°,
∴根据圆周角定理得:∠AOB=2∠C=60°,
∵OA=OB=3,
∴△AOB是等边三角形,
∴AB=OA=3,
故选:A.
9.解:∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠A+∠BCD=180°,
∵∠BCE+∠BCD=180°,∠BCE=50°,
∴∠A=∠BCE=50°,
∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB=(180°﹣∠A)=65°,
故选:B.
10.解:如图,取BC的中点T,连接AT,QT.
∵PB是⊙O的直径,
∴∠PQB=∠CQB=90°,
∴QT=BC=定值,AT是定值,
∵AQ≥AT﹣TQ,
∴当A,Q,T共线时,AQ的值最小,设BT=TQ=x,
在Rt△ABT中,则有(4+x)2=x2+82,
解得x=6,
∴BC=2x=12,
∴S△ABC=•AB•BC=×8×12=48,
故选:D.
二.填空题(共6小题)
11.解:连接OB,如图,
∵OA=OB,
∴∠OBA=∠OAB=15°,
∴∠AOB=180°﹣15°﹣15°=150°,
∴∠C=∠AOB=75°.
故答案为75°.
12.解:如图,弦AB所对的圆周角为∠C,∠D,
连接OA、OB,
因为AB=OA=OB=7cm,
所以,∠AOB=60°,
根据圆周角定理知,∠C=∠AOB=30°,
根据圆内接四边形的性质可知,∠D=180°﹣∠C=150°,
所以,弦AB所对的圆周角的度数30°或150°.
故答案为:30°或150°.
13.解:连接OC,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵∠B=60°,
∴∠A=30°,
∴∠EOC=60°,
∴∠OCE=30°
∵AO=OC=4,
∴OE=OC=2,
∴CE==2,
∵直径AB垂直于弦CD,
∴CE=DE,
∴CD=2CE=4,
故答案为:4.
14.解:连接OD、AC、DC、OB、OC,作CE⊥AB于E,OF⊥CE于F,如图,
∵D为AB的中点,
∴OD⊥AB,
∴AD=BD=AB=2,
在Rt△OBD中,OD===1,
∵将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D.
∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆,
∴=,
∴AC=DC,
∴AE=DE=1,
易得四边形ODEF为正方形,
∴OF=EF=1,
在Rt△OCF中,CF===2,
∴CE=CF+EF=2+1=3,
而BE=BD+DE=2+1=3,
∴BC=3.
故答案为3.
15.解:第一次划分后的扇形的总个数为1+5=6;
第二次划分后的扇形的总个数为1+2×5=11;
第3次划分后的扇形的总个数为1+3×5=16;
第n次划分后的扇形的总个数为1+5n,
不能够得到2005个扇形,因为满足5n+1=2005的正整数n不存在,
把n=401代入1+5n=2006,
故答案为:不能;2006.
16.解:∵点A(0,12),点B(8,6),
∴AB==10,
∴当Q点AB的距离最大时△AQB的面积的最大,
作BH⊥OA于H,则H(0,6),
∴H点为OA的中点,
∵OQ⊥PA,
∴∠OQA=90°,
∴点Q在以OA为直径的圆上,
∴当QH⊥BC时,Q点AB的距离最大,
如图,Q′H⊥AB于C,则HC==,
∴CQ′=6+=,
∴△AQB的面积的最大值=×10×=54.
故答案为54.
三.解答题(共4小题)
17.(1)证明:∵BD∥OC,
∴∠D=∠COD,∠B=∠COA,
∵OD=OB,
∴∠B=∠D,
∴∠D=∠COD=∠B=∠AOC,
即∠COA=∠DOC,
∴=;
(2)解:∵∠AOC=45°,∠D=∠COD=∠B=∠AOC,
∴∠D=∠COD=∠B=∠AOC=45°,
∴∠DOB=90°,
∵OD=OB=OA=2,
∴由勾股定理得:BD===2.
18.解:(1)∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,OA=OB,
又∵OD⊥AC,
∴OD是△ABC的中位线,
∴AD=CD,
∴OD=BC;
(2)解:∵AB是⊙O的直径,∠A=40°,
∴∠C=90°,
∴∠B=50°.
19.(1)证明:连接BG,
∵AB是直径,
∴∠AGB=90°,
∴∠B+∠BAG=90°,
∵AB⊥CD,
∴∠AEF=90°,
∴∠F+∠BAF=90°,
∴∠B=∠F,
∵∠ADG=∠B,
∴∠ADG=∠F;
(2)解:①连接OD,
设⊙O的半径为r,则AB=2r,
∵AE=CD,BE=2,
∴CD=AE=2r﹣2,
∵CD⊥AB,
∴DE=CD=r﹣1,
∵OD2=OE2+DE2,
∴r2=(r﹣2)2+(r﹣1)2,
∴r=5,r=1(不合题意,舍去),
∴⊙O的半径长为5;
②∵∠ADG=∠F,∠DAG=∠FAD,
∴△ADG∽△AFD,
∴,
∴AD2=AG•AF,
∵DE=4,AE=8,
∴AD==4,
∵∠GCF=∠DAF,∠F=∠F,
∴△FCG∽△FAD,
∴=,
∴FG•FA=FC•FD,
∵点G是AF的中点,
∴AG=FG,S△ADG=S△DGF,
∴AD2=FC•FD,
∴80=DF(DF﹣8),
∴DF=4+4(负值舍去),
∴△CDG与△ADG的面积之比=△CDG与△DGF的面积之比=CD:DF=8:(4+4)=.
20.(1)证明:如图1,连接CB,
∵AB⊥CD,BF⊥AD,
∴∠D+∠BAD=90°,∠ABG+∠BAD=90°,
∴∠D=∠ABG,
∵∠D=∠ABC,
∴∠ABC=∠ABG,
∵AB⊥CD,
∴∠CEB=∠GEB=90°,
在△BCE和△BGE中,
∴△BCE≌△BGE(ASA),
∴CE=EG,
∵AE⊥CG,
∴AC=AG;
(2)解:如图2,连接CO并延长交⊙O于M,连接AM,
∵CM是⊙O的直径,
∴∠MAC=90°,
∵∠M=∠D,tanD=,
∴tanM=,
∴=,
∵AG=4,AC=AG,
∴AC=4,AM=3,
∴MC==5,
∴CO=,
∴⊙O的半径为;
过点H作HN⊥AB,垂足为点N,
∵tanD=,AE⊥DE,
∴tan∠BAD=,
∴=,
设NH=3a,则AN=4a,
∴AH==5a,
∵HB平分∠ABF,NH⊥AB,HF⊥BF,
∴HF=NH=3a,
∴AF=8a,
cos∠BAF===,
∴AB==10a,
∴NB=6a,
∴tan∠ABH===,
过点O作OP⊥AB垂足为点P,
∴PB=AB=5a,tan∠ABH==,
∴OP=a,
∵OB=OC=,OP2+PB2=OB2,
∴25a2+a2=,
∴解得:a=,
∴AH=5a=.