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    中考数学三轮冲刺试卷:特殊平行四边形
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    中考数学三轮冲刺试卷:特殊平行四边形

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    25.(2020·安顺)如图,四边形ABCD是正方形,点O为对角线AC中点.

    (1)问题解决:如图①,连接BO,分别取CB,BO的中点P,Q,连接PQ,则PQ与BO的数量关系是_____,位置关系是____;

    (2)问题探究:如图②,△AO´E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形,连接CE,点P,Q分别为CE,BO´的中点,连接PQ,PB.判断△PQB的形状,并证明你的结论;

    (3)拓展延伸:如图③,△AO´E是将图①中的△AOB绕点按逆时针方向旋转45°得到的三角形,连接BO´,点P,Q分别为CE,BO´的中点,连接PQ,PB.若正方形ABCD的边长为1,求△PQB的面积.

    由∠CAB=∠BAE,遇角平分线想轴对称,延长EO'交AC于G,延长CB、AE交点F。

    由“三线合一”可证O',B分别是EG、CF的中点,再由P是EC的中点,由三角形中位线性质有O'P=1/2GC,O'P∥GC,且PB=1/2EF,PB∥EF,易证GC=EF,所以O'P=PB,因为O'P∥GC,所以∠PO'B=∠CAB=45°,则△PO'B为等腰直角三角形,再由Q是O'B的中点,可证△PQB为等腰直角三角形。

     

    方法二:旋转处理

    延长PB、EO'交于点F,易证△CBP△EFP,则EF=BC=AB,PF=PB,又因为AO'=EO',故FO'=BO'

    故△FO'B是等腰直角三角形,再由Q是O'B的中点,可证PQ是△FO'B的中位线,故PQ∥FO',可证△PQB为等腰直角三角形。

    03

    图文解析



     

    方法一:对称处理

    由正方形对称性得PB=PD,PN=PM,根据平行线分线段成比例,可得MD=MO',再由垂直平分线的性质有PD=PO',所以PO'=PB,进而可证△PMO'≌△PNB,于是有∠BPO'=90°,再由Q是BO'的中点,可证△PQB为等腰直角三角形。

     

    方法二:旋转处理

     

    延长O'P,DC交于点F,联结BF。

    可证△PCF≌△PEO',得PO'=PF,FC=O'E=O'A,进而可证得△O'AB≌△FCB,于是BO'=BF,∠O'BF=90°,再由三角形中位线性质有PQ∥BF,故△PQB是等腰直角三角形,进而可求△PQB的面积为3/16.

    同样可采用以下方法处理

    or

    正方形处理策略



     

    ①由正方形的对称性,常用对称和旋转。

    ②正方形内等角多,常想共圆。

    ③正方形内直角多,“K”型要常记住。

     

     



     

    原题呈现


     

    图文解析


     

    01

    思路切入分析:

    基于确定性分析,由题意知圆O确定,A、C为定点,由CE=√34可知只需以C为圆心,√34为半径作圆,与直线l的交点即为点E,故AE可求。CE为斜线段,故可过点C作CH⊥AE,易证四边形AOCH为正方形,故CH=AH=OC=3,再由勾股定理可求HE=5,

    则AE=EH-AH=2.




     

    02

    思路切入分析:

    由(1)可通过“A型”相似,求得AD=6/5,再由5BF=5AD=4,可求BF=2,故F为定点,连接CF延长交圆O与G,可知点G为定点,故整个图形是确定的。那么如何求解呢?


     

    思路一:圆周角转化+斜A型相似

    延长CO交圆O与P,连接GP.

    由同弧所对圆周角相等有∠GAC=∠GPC,易证∠GPC=∠OFC,在Rt△OFC中,OF=1,OC=3,勾股求FC=√34,再借助于△OFC∽△GPC,可求CG长,问题得解。


     

    思路二:圆周角+三角形外角+相交弦

    连接CB.

    由同弧所对圆周角相等有∠GAF=∠GCB,易证∠CAB=∠CBA,由三角形外角的性质可知:∠OFC=∠CBA+∠GCB,而

    ∠GAC=∠CAB+∠GAB,则∠OFC=∠GAC,

    易证△FBC∽△FGA,可求出GF长,进而GC长可求,问题得解。


     

    思路三:三角形外角+子母相似

    根据同弧所对圆心角等于该弧所对圆心角的一半可知∠AGC=1/2∠AOC=45°,易求∠BAC=45°,则∠AGC=∠BAC,再由三角形外角性质可证得∠OFC=∠GAC,借助△AFC∽△GAC,可求得GC长,于是问题得解。




     

    解题感悟

    本道题是以圆为背景的几何综合题,涉及知识点多,综合性强,解法灵活多样,考查了圆周角定理及推论,三角形外角性质,勾股定理,相似三角形的判定及性质。三角函数等初中核心知识点,解决问题的关键是灵活转化圆周角至直角三角形中,进而求出其三角函数值,求线段长常用方法有:①勾股定理,②相似三角形,③三角函数,④等面积法等,本题求GC长主要依托相似三角形,解题后惊奇发现三种不同转化角的方法,分别对应着三种不同的相似模型,思路一出现了一对斜A型相似;思路二连BC有一对斜X型相似;思路三不添加辅助线可证得一对子母型相似。

     

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