【精品奥数】三年级上册数学思维训练讲义-第19讲 简单枚举 人教版（含答案）

第十九课时　简单枚举

第一部分：趣味数学

小欧拉智改羊圈

小朋友们，当周长一定时，怎样围羊圈的面积更大呢？让我们看一看数学家-----欧拉小时候发生了什么有趣的故事？

欧拉是数学史上著名的数学家，他在数论、几何学、天文数学、微积分等好几个数学的分支领域中都取得了出色的成就。

小时候他帮助爸爸放羊，成了一个牧童。爸爸的羊群渐渐增多了，达到了100只。原来的羊圈有点小了，爸爸决定建造一个新的羊圈。他用尺量出了一块长方形的土地，长40米，宽15米，他一算，面积正好是600平方米，平均每一头羊占地6平方米。正打算动工的时候，他发现他的材料只够围100米的篱笆，不够用。若要围成长40米，宽15米的羊圈，其周长将是110米（15+15+40+40=110）。父亲感到很为难，若要按原计划建造，就要再添10米长的材料；要是缩小面积，每头羊的面积就会小于6平方米。小欧拉却向父亲说，不用缩小羊圈，也不用担心每头羊的领地会小于原来的计划，他有办法。父亲不相信小欧拉会有办法，没有理他。小欧拉急了，大声说只要稍稍移动一下羊圈的桩子就行了。父亲听了直摇头，心想：“世界上哪有这样便宜的事情？”但是小欧拉却坚持说他一定能两全齐美，父亲终于同意让儿子试试看。小欧拉见父亲同意了，站起身来，跑到准备动工的羊圈旁忙了起来。他以一个木桩为中心，将原来的40米边长截短，缩短到25米。父亲着急了，说：“那怎么成呢？那怎么成呢？这个羊圈太小了，太小了。”小欧拉也不回答，跑到另一条边上，将原来15米的边长延长，又增加了10米，变成了25米。经这样一改，原来计划中的羊圈变成了一个边长为25米的正方形。然后，小欧拉很自信地对爸爸说：“现在，篱笆也够了，面积也够了。”父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆，100米长的篱笆真的够了，不多不少，全部用光。面积也足够了，而且还稍稍大了一些。父亲心里感到非常高兴。孩子比自己聪明，真会动脑筋，将来一定大有出息。父亲感到，让这么聪明的孩子放羊实在是太可惜了。后来，他想办法让小欧拉认识了一个大数学家伯努利。通过这位数学家的推荐，1720年，小欧拉成了巴塞尔大学的大学生。这一年，小欧拉13岁，是这所大学最年轻的大学生。

十万个为什么

小朋友们，都说“正方形是特殊的长方形”，为什么这样说呢？看看下面的资料吧！

为什么说正方形是特殊的长方形

在教学中，对于为什么正方形是特殊的长方形学生总是不大理解。仔细回想教学过程与细节，长方形的特点是有四个直角、对边相等；正方形的特点是有四个直角、四条边都相等。在正方形中含有长方形的一切特点，怎样理解这句话呢？其实在总结各自特点时可以沟通一句话，正方形的四条边都相等，那么对边也当然相等。这样就可以更好地理解正方形是特殊的长方形（它符合长方形的特征，但又有自己的特别之处），正方形是四条边相等的长方形。

数学谜语（开心一刻）

生就一副格格模样（打一数学名词）

答案：长方形

小幽默：

多一点

爸爸：“这次数学测试，大明考了95分。小明，你考了多少分？”

小明：“我比大明多一点。”

爸爸：“你考了96分还是97分？”

小明：“都不是，我考了9.5分。”

第二部分：奥数小练            

枚举是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般地，要根据问题要求，一一列举问题解答。运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏，因此必须有次序、有规律地进行枚举。

运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意以下两点：一是分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。

【例题1】从小华家到学校有3条路可走，从学校到文峰公园有4条路可走。从小华家到文峰公园，有几种不同的走法？

【思路导航】为了帮助理解题意，我们可以画出如上示意图。

我们把小华的不同走法一一列举如下：

根据列举可知，从小明家经学校到文峰公园，走①路有4种不同走法，走②路有4种不同走法，走③路也有4种不同走法，共有4×3=12种不同走法。

练习1：

1.从甲地到乙地，有3条公路直达，从乙地到丙地有2条铁路直达。从甲地到丙地有多少种不同走法？

 2.新华书店有3种不同的英语书，4种不同的数学读物销售。小明想买一种英语书和一种数学读物，共有多少种不同买法？

 3.明明有2件不同的上衣，3条不同的裤子，4双不同的鞋子。最多可搭配成多少种不同的装束？

【例题2】用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？

【思路导航】要使信号不同，要求每一种信号颜色的顺序不同，我们可以把这些信号进行列举。

可以看出，红色信号灯排在第一个位置时，有两种不同的信号，绿色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号，黄色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号，因而共有3个2种不同排列方法，即2×3=6种。

练习2：

1. 用红、黄、蓝三种颜色涂圆圈，每个圆圈涂一种颜色，一共有多少种不同的涂法？

○○○

2.用数字1、2、3.可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？

 3.用2、3、5、7四个数字，可以组成多少个不同的四位数？

【例题3】一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，那么这个长方形的面积有多少种可能？

【思路导航】由于长方形的周长是22米，可知它的长与宽之和为11米。下面列举出符合这个条件的各种长方形：

练习3：

1.一个长方形的周长是30厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么这个长方形的面积有多少种可能值？

2.把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？

 3.3个自然数的乘积是18，问由这样的3个数所组成的数组有多少个？如（1.2.9）就是其中的一个，而且数组中数字相同但顺序不同的算作同一数组，如（1.2.9）和（2.9，1）是同一数组。

【例题4】有4位小朋友，寒假中互相通一次电话，他们一共打了多少次电话？

【思路导航】把4个小朋友分别编号：A、B、C、D，A与其他小朋友打电话，应该打3次，同样B小朋友也应打3次电话，同样C、D应该各打3次电话。4个小朋友，共打了3×4=12次。但题目要求两个小朋友之间只要通一次电话，那么A打电话给B时，A、B两人已经通过话了，所以B没有必要再打电话给A，照这样计算，12次电话中，有一半是重复计算的，所以实际打电话的次数是3×4÷2=6次。

练习4：

1.6个小队进行排球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少次比赛？

2.有8位小朋友，要互通一次电话，他们一共打了多少次电话？

3.小芳出席由19人参加的联欢会，散会后，每两人都要握一次手，他们一共握了多少次手？

【例题5】一条铁路，共有10个车站，如果每个起点站到终点站只用一种车票（中间至少相隔5个车站），那么这样的车票共有多少种？

【思路导航】我们可以利用列举的方法：

如果起点站是1.那么终点站只能是7、8、9或10；如果起站站是2.那么终点站只能是8、9或10；如果起点站是3.那么终点站只能是9或10；如果起点站是4，终点站只能是10；如果起点站是5、6时，就找不到与它至少相隔5站的终点站了；如果起点站是7，终点站只能是1；如果起点站是8，那么终点站是2或1；如果起点站是9，那么终点站是3、2或1；如果起点站是10，那么终点站是4、3、2或1。所以，起点到终点至少相隔5个车站的车票有：4＋3＋2＋1＋0＋0＋1＋2＋3＋4=20种。

练习5：

1.上海、北京、天津三个城市分别设有一个飞机场，它们之间通航一共需要多少种不同的机票？

2.一条公路上，共有8个站点。如果每个起点到终点只用一种车票（中间至少相隔3个车站），那么共有多少种不同的车票？

3.在长江的某一航线上共有6个码头，如果每个起点终点只许用一种船票（中间至少要相隔2个码头），那么这样的船票共有多少种？

第三部分：数学史话

国旗上的分数

小朋友们，你们知道下面国旗中都隐藏着哪些数学知识吗？

今天小熊和小猴到小牛家里做客，他们正在一起欣赏小牛收集的国旗。

法国             印尼             泰国           丹麦

小熊看着这些五颜六色的国旗，眼睛瞪得大大的，说：“这些国旗可真漂亮，上面还有有关分数的知识呢！”

小牛高兴地说：“是啊，你看，         这面国旗上有三种颜色

每种颜色占它的。”

小猴一听，也来了精神，紧接着说：“           这面国旗上分成了四份，每份是它的。”

小熊连忙摇头，说：“不对不对，这面国旗上没有分数。因为这面国旗上的四份不是平均分的。”

“对呀，我怎么忘了这一点呢”，小猴不好意思地挠了挠了头。

小朋友们，你们再来找一找、看一看，还有哪面国旗上有分数？

答案：         这面国旗上有分数。

参考答案：

练习一：

1.3×2=6（种）   答：从甲地到丙地有6种不同的走法。

2.3×4＝12种

3.2×3×4=24（种）  答：最多可搭配成24种不同的穿法。

练习二：

1.3×2=6（种）

2.3×2=6（种）

3.4×3×2=24（种）

练习三：

1.用列举法，将符合条件的长，宽数值写入表中，可求解：

长（厘米）         14    13    12   11   10   9    8

宽（厘米）          1     2     3    4   5    6    7

面积（平方厘米）   14    26    36   44   50   54   56

答：有7种可能。

2.根据题意可得：

15=1+2+3+9；15=1+2+4+8；15=1+2+5+7；15=1+3+4+7；15=1+3+5+6；15=2+3+4+6；一共有6种。

分析：要把15个小球分成数量不同的4堆，把15拆成4个不同的数相加，然后一一列举出来，然后再进一步解答即可。

3.1×2×9＝18，1×3×6＝18，2×3×3＝18，1×1×18＝18，（1，2，9），（1，3，6），（2，3，3），（1，1，18），所以，一共有四组。

练习四：

1.6×（6－1）÷2＝15（次）

2.7+6+5+4+3+2+1=28（次）   答：他们一共打了28次电话。

3.18+17+16+15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1

＝（18+1）×18÷2

＝171(次)

练习五：

1.可分类讨论，将三个地方分别作为出发点，看没种情况有多少种票，再将结果详解，即可确定答案。

从北京出发要两种机票：北京到上海、北京到天津；

从上海出发要两种机票：上海到北京、上海到天津；

从天津出发要两种机票：天津到北京、天津到上海。

所以一共要准备6种机票。

答：上海、北京、天津之间通航要准备6种不同的机票。

2.（5=4+3+2+1）×2=30 (种)

3.线段的数量：5+4+3+2+1=15（条）

相邻两个端点组成的线段有5条，

所以船票的数量是：15-5=10（种）

答：这样的船票有10种。

分析：这题我们可以把这条航线看成是一条线段，6个码头是这条线段上的6个端点，我们可以数出这条线段上一共有多少条线段.考虑到每种船票中间至少要隔2个码头，所以我们再把相邻的两个端点组成的线段减掉，就可以得到有多少种船票了。