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    【精品奥数】三年级上册数学思维训练讲义-第18讲 重叠问题 人教版(含答案)

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    第十八讲  重叠问题

     

    第一部分:趣味数学

     

    灰太狼的诡计

     

    灰太狼去参加羊村举行的运动会。在百米赛跑中,灰太狼得了第四名,很生气。第二天,灰太狼找到冠军喜羊羊,对他说:“咱俩再比一比,如果这次你还是第一,我才佩服你呢!”他俩来到操场。

     

     

     

     

     

     

     

    灰太狼说:“我沿着整个操场跑一圈是200米。你沿着东操场跑两圈,也是200米。”

     

    “行。开始吧!”喜羊羊说道。

     

    结果灰太狼先跑完全程,得了第一。喜羊羊想不通,说:“我比你跑得快,怎么今天没跑过你呢?”小朋友们,你们知道是怎么回事吗?快来帮帮喜羊羊吧!

    分析:

    灰太狼跑了434米和232米,喜羊羊跑了434米和432米,比灰太狼多跑了232米。

    答案:

    灰太狼:4×34+2×32=136+64=200(米)

    喜羊羊:4×34+4×32=136+128=264(米)

    所以灰太狼跑得快,得了第一。

     

    第二部分:奥数小练

     

    三(1)班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发一份纪念品,当中队长玲玲将28份纪念品发下去时,却多出5份,这是怎么回事?对了,因为有5位同学既参加了绘画比赛,又参加了朗读比赛,所以奖品就多出了5份。数学中,我们将这样的问题称为重叠问题。

    解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理,即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复计数,应从它们的和中排除重复部分。

    解答重叠问题的应用题,必须从条件入手进行认真的分析,有时还要画出图示,借助图形进行思考,找出哪些是重复的,重复了几次?明确求的是哪一部分,从而找出解答方法。

    【例题1六一儿童节,学校门口挂了一行彩旗。小张从前数起,红旗是第8面;从后数起,红旗是第10面。这行彩旗共多少面?

    【思路导航】根据题意,画出下图:

     

     

     

    从图上可以看出,从前数起红旗是第8面,从后数起是第10面,这样红旗就数了两次,重复了一次,所以这行彩旗共有8101=17面。

    练习1

    1.小朋友排队做操,小明从前数起排在第4个,从后数起排在第7个。这队小朋友共有多少人?

     2.学校组织看文艺演出,冬冬的座位从左数起是第12个,从右数起是第21个。这一行座位有多少个?

     3.同学们排队去参观展览,无论从前数还是从后起起,李华都排在第8个。这一排共有多少个同学?

     

    【例题2同学们排队做操,每行人数同样多。小明的位置从左数起是第4个,从右数起是第3个,从前数起是第5个,从后数起是第6个。做操的同学共有多少个?

    【思路导航】根据题意,画出下图:

     

     

     

     

     

    由图可看出:小明的位置从左数第4个,右数第3个,说明横行有431=6个人;从前数第5个,从后数第6个,说明竖行有561=10人,所以做操的同学共有:6×10=60人。

    练习2

    1.同学们排队跳舞,每行、每列人数同样多。小红的位置无论从前数从后数,从左数还是从右数起都是第4个。跳舞的共有多少人?

     2.为庆祝“六一”,同学们排成每行人数相同的鲜花队,小华的位置从左数第2个,从右数第4个;从前数第3个,从后数第5个。鲜花队共多少人?

    3.三(4)班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会,梅梅的位置从前数是第6个,从后数是第5个;从左数、从右数都是第3个。三(4)班共有学生多少人?

     

    【例题3把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。如果这块钉在一起的木板长120厘米,中间重叠部分是16厘米,这两块木板各长多少厘米?

     

     

    【思路导航】把等长的两块木板的一端钉起来,钉在一起的长度就是重叠部分,重叠的部分是16厘米,所以这两块木板的总长度是12016=136厘米,每块木板的长度是136÷2=68厘米。

    练习3

    1.把两段一样长的纸条粘合在一起,形成一段更长的纸条。这段更长的纸条长30厘米,中间重叠部分是6厘米,原来两段纸条各长多少厘米?

     2.把两块一样长的木板钉在一起,钉成一块长35厘米的木板。中间重合部分长11厘米,这两块木板各长多少厘米?

     3.两根木棍放在一起(如图),从头到尾共长66厘米,其中一根木棍长48厘米,中间重叠部分长12厘米。另一根木棍长多少厘米?

     

     

     

     

    【例题4一次数学测试,全班36人中,做对第一道聪明题的有21人,做对第二道聪明题的有18人,每人至少做对一道。问两道聪明题都做对的有几人?

    【思路导航】根据题意,画出下图:

     

     

     

    图中间重叠部分表示两道题都做对的人数,把做第一道题和做对第二道题的人数加起来得2118=39人,这39人比全班总人数36多出了3936=3人,这多出的3人既在做对第一题的人数中算过,也在做对第二道题的人数中算过,即表示两道题都做对的人数。

    练习4

    1.三(1)班有学生55人,每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种。已知参加赛跑的有36人,参加跳绳的有38人。两项比赛都参加的有几人?

    2.两块木板各长75厘米,像下图这样钉成一块长130厘米的木板,中间重合部分是多少厘米?

     

    1.            三(5)班有42名同学,会下象棋的有21名同学,会下围棋的有17名,两种棋都不会的有10名。两种棋都会下的有多少名?

    【例题5三(1)班订《数学报》的有32人,订《阅读报》的有30人,两份报纸都订的有10人,全班每人至少订一种报纸。三(1)班有学生多少人?

    【思路导航】根据题意,画出下图:

     

     

     

     

    从上图可以看出,中间重叠部分表示两份报纸都订的10人,这10人既被包括在订《数学报》的32人内,又被包括在订《阅读报》的30人内,重复算了一次,所以要算出全班人数,必须从3230=62人中去掉被重复算过的10人。所以全班人数应是6210=52人。

    练习5

    1.三(4)班做完语文作业的有37人,做完数学作业的有42人,两种作业都完成的有31人,每人至少完成一种作业。三(4)班共有学生多少人?

     2.两块木板各长90厘米,像下图这样钉成一块木板,中间重合部分是15厘米,这块钉在一起的木板总长多少厘米?

     

     

    3.三年级有107个小朋友去春游,带矿泉水的有78人,带水果的有77人,每人至少带一种。三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有多少人?

     

    第三部分:数学史话

     

     

     

     

    分数之“根”——分数的起源

    在日常生活中进行测量、分物体的时候,往往不能正好得到整数,这时就常用分数来表示。你知道分数是怎么产生的吗?

    分数的产生经历了一个漫长的过程。在原始社会,人们集体劳动要平均分配果实和猎物,逐渐有了分数的概念。在土地计算、土木建筑、水利工程等测量过程中,当所用的长度单位不能量尽所量线段时,便产生了分数。人类在生产劳动的长期实践活动中,只使用了简单的分数,如二分之一用“一半”来表示,四分之一是用“一半的一半”来表示,经过了相当长的一段时间后,才出现了诸如二分之一、三分之二等分数。

    大约在2000年前,古希腊人已经开始用分子和分母表示分数。分数在我国很早就有了,它是在用算筹做除法运算的基础上产生的。当除不尽时,把余数作为分子,除数作为分母,就产生了一个分子在上,分母在下的分数筹算形式。

    继中国的筹算分数之后,又过了五六百年的时间,印度才出现了有关分数理论的论述。印度人记录分数的形式与我国古代的筹算分数是一样的,只不过使用的是阿拉伯数字。再往后,阿拉伯人发明了分数线,分数的表示方法就成为现在这样了。

    200多年前,瑞士数学家欧拉在《通用算术》一书中说,要想把7米长的一根绳子分成3等份是不可能的,因为找不到一个合适的数来表示它。如果我们把它分成3等份,每份是米。像就是一种新的数,我们把它叫做分数。

    为什么叫它分数呢?分数这个名称直观而生动地表示这种数的特征。例如,1个西瓜4个人平均分,不把它分成相等的4块行吗?从这个例子就可以看出,分数是度量和数学本身的需要——除法运算的需要而产生的。

    中国使用分数比其他国家要早出一千多年,所以说中国有着悠久的历史,灿烂的文化。大约在十二世纪后期在阿拉伯人的著作中,首先用一条短横线把分子、分母隔开来,这可以说是世界上最早的分数线,十三世纪初,意大利数学家菲波那契在他的著作中介绍阿拉伯数学,也把分数的记法介绍到了欧洲。

    综上所述,分数是在实际度量和均分中产生的。

    参考答案

    练习一

    1.4+7110(个)

    2.12+21132(个)

    3.6+6111(个)

    练习二

    1.7×7=49(),答:跳舞的共有49人。

    分析:据小红的位置可以分析:小红的前后左右都有3个人,3+3+1=7人;这个方队组成的是一个实心方阵,是一个正方形,最外层每条边上都有7个人,根据实心方阵的总点数=每边点数×每边点数,即可解答问题

    2.2+4-1=5 表示从左到右有5,5+3-1=7前后75×7=35鲜花队总共35

    3.4+3-1=6()5+61=10()6×10=60()所以做操的同学共有60个人。

    分析:由图可看出:小明的位置从左数第4个,右数第3个,说明横行有4+3-1=6个人;从前数第5个,从后数第6个,说明竖行有5+6-1=10人,所以做操的同学共有:6×10=60

    练习三

    1.(30+6)÷2=36÷2=18(厘米)    答:原来两段纸条各长18厘米。

    分析:把两段一样长的纸条粘合在一起,总长度比原来减少了重叠部分的长度即6厘米,所以原来两条的总长度是:30+6=36厘米,那么原来两段纸条各长:36÷2=18厘米;据此解答

    2.35+11)÷2

    =46÷2

    =23(厘米)

    答:原来两块木板各长23厘米.故答案为:23厘米;23厘米

    分析:把两段一样长的木板钉在一起,总长度比原来减少了重叠部分的长度即11厘米,所以原来两块木板的总长度是:35+11=46厘米,那么原来两块木板各长:46÷2=23厘米,据此解答

    3.12+6648

    =7848

    =30(厘米)

    答:另一根木棍长30厘米。

    分析:把两根木棍叠放在一起,总长度比原来减少了重叠部分的长度即12厘米,所以原来两条的总长度是:12+66=78厘米,那么另一根木棍长:78-48=30(厘米);据此解答

    练习四

    1.36+385519(人)

    2.75×2130=150130=20(厘米)    中间重合部分是20厘米。

    分析:如果两块木板首尾相接,则其长度为75×2=150厘米,因为有重叠部分,长度变成130厘米,则重叠部分为150-130=20厘米,于是问题得解

    3.21+17+1042=4842=6()    两种运动都会的有6人。

    分析:先求出会下象棋的人数与会下围棋的人数和,再加上两样都不会的人数,这样就比全班的总人数多算了一次两种都会的人数,所以再减去总人数42,就是两种棋都会的人数

    练习五

    1. 37+4231=7931=48()    三一班有学生48人。

    分析:根据题干分析可得,三(1)班的总人数=完成语文作业的37+完成数学作业的42-两种作业都做完的人数31,据此列式计算即可解答

    2.90×215165(厘米)

    3.78+77107

       =155107

       =48()

    答:既带矿泉水又带水果的小朋友有48人。

    分析:本题考查的是容斥原理的意义和实际应用。

      容斥原理的意义是:在计数时,必须注意无一重复,无一遗漏,为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。

      本题根据容斥原理的意义计算出带矿泉水和带水果的人数之和,最后再根据容斥原理的意义,用带矿泉水和带水果的人数之和减去实际的总人数,得出问题的最终答案。

    1.解答此题的方法依据是容斥原理,回忆容斥原理的意义和解题的方法;

    2.根据容斥原理的意义,计算出带矿泉水的人数与带水果的人数之和;

    3.再用带矿泉水的人数与带水果的人数之和减去实际的总人数,所得的差就是本题的答案。

     

     

     

     

     

     

     

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