【精品奥数】三年级上册数学思维训练讲义-第16讲 周期问题 人教版（含答案）
展开第十六讲 周期问题
第一部分：趣味数学
卖废品
小朋友们，我们学习数学是为了更好地帮助我们解决生活中的问题，所以生活中我们要尽量做到学以致用。
一天，阳阳听到小区里收废品的老爷爷又来了，还不停地拖着长声吆喝着：“收废品了-----”阳阳赶紧提醒妈妈：“妈妈，我们地下室里的废品都快满了，收废品的老爷爷又来了，卖不卖啊？”“卖！”妈妈连忙停下手中的活，让阳阳一起下楼去拿废品。
地下室的废品都搬上来后，阳阳一看，呀！真多！足足摊了一地。收废品的老爷爷笑眯眯地、不紧不慢地把垃圾归类放好，然后拿出他的秤，称了起来：旧报纸35斤，一斤5角；废纸壳28斤，一斤6角；还有8个易拉罐，一个1角。称完后，老爷爷就拿出计算器，慢吞吞地算起来。阳阳在心里暗暗地好笑：这么简单还用着计算器了？他脑子飞快地运转起来：旧报纸35×5=175角，废纸壳28×6=168角，易拉罐8×1=8角；一共35元1角。
于是，阳阳很自信地对爷爷说：“一共能卖35元1角。”老爷爷用计算器算了一会，对阳阳竖起来大拇指：“小家伙真聪明，比我这计算器算得还快呢！”
听了爷爷的话，妈妈也高兴地笑了，对阳阳说：“看来在学校里学的知识派上用场了啊。儿子，好样的！”
第二部分：奥数小练
一、知识要点
在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复的现象，如：人的十二生肖，一年有春夏秋冬四个季节，一个星期七天等等。像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我们称为简单周期问题。这类问题一般要利用余数的知识来解答。
在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。
二、精讲精练
【例题1】小丁把同样大小的红、白、黑珠子按先2个红的、后1个白的、再3个黑的的规律排列（如下图），请你算一算，第32个珠子是什么颜色？
从上图可以看出，珠子是按“两红一白三黑”的规律重复排列，即6个珠子为一周期。32÷6=5（组）……2（个），32个珠子中含有5个周期多2个，所以第32个珠子就是重复5个周期后的第2个珠子，应为红色。
练习1：
1.如图，算出第20个图形是什么？
○△△□□□○△△□□□○△△……
2.“数学趣味题数学趣味题……”依次重复排列，第2001个字是什么？
3.把38面小三角旗按下图排列，其中有多少面白旗？
【例题2】2001年10月1日是星期一，问：10月25日是星期几？
【思路导航】我们知道，每星期有7天，也就是说以7天为一个周期不断地重复。从10月1日到10月25日经过25－1=24天，24÷7=3（星期）……3（天），说明24天中包括3个星期还多3天。所以从10月1日开始过3个星期，最后一天还是星期一，从这最后一天起再过3天就应是星期四。
练习2：
1.2001年5月3日是星期四，5月20日是星期几？
2.2001年8月1日是星期三，8月28日是星期几？
3.2001年6月1日是星期五，7月1日是星期几？
【例题3】100个3相乘，积的个位数字是几？
【思路导航】这道题我们只考虑积的个位数字的排列规律。1个3.积的个位是3；2个3相乘积的个位数字是9；3个3相乘积的个位数字是7；4个3相乘积的个位数字是1；5个3相乘积的个位数字是3……可以发现，积的个位数字分别以3、9、7、1不断重复出现，即每4个3积的个位数字为一周期。100÷4=25（个），因此100个3相乘积的个位数字是第25个周期中的最后一个，即是1。
练习3：
1.23个3相乘，积的个位数字是几？
2.100个2相乘，积的个位数字是几？
3.50个7相乘，积的个位数字是几？
【例题4】有一列数按“432791864327918643279186……”排列，那么前54个数字之和是多少？
【思路导航】上面一列数中，从第1个数字开始重复出现的部分是
“43279186”，周期数是8。要求出这列数字的和，就要先求出这列数里共有多少组“43279186”。
54÷8=6（组）……6（个）
因此，前6组数字和是（4＋3＋2＋7＋9＋1＋8＋6）×6=240，余下6个数字之和是4＋3＋2＋7＋9＋1=26。所以，这列数中前54个数字之和是240＋26=266。
练习4：
1.一列数按“294736294736294……”排列，那么前40个数字之和是多少？
2.有一列数按“9453672945367294……”排列，那么前50个数字之和是多少？
3.有一列数“7231652316523165……”，请问从左起第2个数字到第25个数字之间（含第2个与第25个数字）所有数字的和是多少？
【例题5】小红买了一本童话书，每两页文字之间有3页插图，也就是说3页插图前后各有1页文字。如果这本书有128页，而第1页是文字，这本童话书共有插图多少页？
【思路导航】已知这本童话书3页插图前后各有1页文字，也就是说这本书是按“1页文字3页插图“的规律重复排列的，把“1页文字3页插图”看作一周期，128页中含有128÷（1＋3）=32个周期，所以这本童话书共有插图3×32=96页。
练习5：
1.校门口摆了一排花，每两盆菊花之间摆3盆月季，共摆了112盆花。如果第一盆花是菊花，那么共摆了多少盆月季花？
2.同学们做早操，36个同学排成一列，每两个女生中间是两个男生，第一个是女生，这列队伍中男生有多少人？
3.一个圆形花圃周围长30米，沿周围每隔3米插一面红旗，每两面红旗中间插两面黄旗。花圃周围共插了多少面黄旗？
第三部分：数学史话
十万个为什么
小朋友们，都说“正方形是特殊的长方形”，为什么这样说呢？看看下面的资料吧！
为什么说正方形是特殊的长方形
在教学中，对于为什么正方形是特殊的长方形学生总是不大理解。仔细回想教学过程与细节，长方形的特点是有四个直角、对边相等；正方形的特点是有四个直角、四条边都相等。在正方形中含有长方形的一切特点，怎样理解这句话呢？其实在总结各自特点时
可以沟通一句话，正方形的四条边都相等，那么对边也当然相等。这样就可以更好地理解正方形是特殊的长方形（它符合长方形的特征，但又有自己的特别之处），正方形是四条边相等的长方形。
数学谜语（开心一刻）
生就一副格格模样（打一数学名词） 长方形
参考答案：
练习一：
1. 如图，算出第20个图形是△
2. 2001÷5=400（组）……1，第2001个字是“数”。
3. 38÷4=9（组）……2（面）
9×3+2=29（面）
练习二：
1.（20-3）÷7=2（周）……3（天）则5月20日是星期四。
2.（28-1）÷7=3（周）……6（天）则8月28日是星期二。
3. 6月份是30天，30÷7=4（周）……2（天）余数是2，所以7月1日是星期日。
练习三：
1. 23个3相乘，即（23-1）÷4=5……2，所以个位数是7。
2. 若干个2相乘的积的个位数按2、4、8、6这4个数进行循环。
100÷4=25，即100个2相乘所得积的个位数是6。
3. 个位数是按7、9、3、1依次出现，50÷4=12……2，即50个7相乘所得积的个位数字与2个7相乘所得积的个位数数字相同，是9。
练习四：
- 40÷6=6（个）……4（个）
2+9+4+7+3+6=31
31×6+2+9+4+7=208
- 50÷7=7……1
(9+4+5+3+6+7+2)×7+9=261
3. 有限循环小数，把每个循环节的数字相加的和×循环节的个数即可。（2+3+1+6+5）×5-5=80
练习五：
- 112÷（1+3）=28（个）
28×3=84（盆）
2. 每个人循环一次，依次按照女生、男生、男生的顺序循环排列，36÷3=12，所以36人一共有12个循环周期；一共有男生：12×2=24（人） 。
3. 在一个周长30米的圆形花圃周围插上彩旗，每隔3米插一面红旗，一共插红旗：30÷3=10（面）；在相邻的2面红旗之间插2面黄旗，一共有10个空，所以共插黄旗10×2面。
列式：30 ÷ 3 ×2 = 20（面）
