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    2020江苏高考理科数学二轮讲义:专题一第1讲 集合与常用逻辑用语
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    2020江苏高考理科数学二轮讲义:专题一第1讲 集合与常用逻辑用语

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    1讲 集合与常用逻辑用语

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    1集合间的关系及运算

    1

    1

    1

      江苏高考对集合的考查一般包含两个方面:一是集合的运算二是集合间的关系.试题难度为容易题若以集合为载体与其他知识交汇,则可能为中档题.逻辑知识是高考冷点复习时要抓住基本概念.

    2.四种命题及其真假判断

     

     

     

    3充分条件与必要条件

     

     

     

    4.逻辑联结词、全称量词和存在量词

     

     

     

    1必记的概念与定理

    (1)四种命题中原命题与逆否命题同真同假逆命题与否命题同真同假遇到复杂问题正面解决困难的采用转化为反面情况处理.

    (2)充分条件与必要条件

    pqpq的充分条件qp的必要条件;

    pqpq互为充要条件.

    2记住几个常用的公式与结论

    (1)(AB)(AB)

    (2)ABABAABABB

    (3)集合与集合之间的关系:ABBCAC空集是任何集合的子集含有n个元素的集合的子集数为2n真子集数为2n1非空真子集数为2n2

    (4)集合的运算:

    U(AB)(UA)(UB)U(AB)(UA)(UB)U(UA)A

    3需要关注的易错易混点

    (1)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验.

    (2)有些全称命题并不含有全称量词这时我们要根据命题涉及的意义去判断.对命题的否定首先弄清楚是全称命题还是存在性命题再针对不同形式加以否定.

    (3)pq的充分不必要条件p的一个充分不必要条件是q两者不同前者是pqqp而后者是qpp q”.

    集合间的关系及运算

    [典型例题]

    (1)(2019·高考江苏卷)已知集合A{1016}B{x|x>0xR}AB________

    (2)已知集合A{12}B{aa23}.若AB{1}则实数a的值为________

    (3)(2019·苏州第二次质量预测)已知集合P{x|yxN}Q{x|ln x1}PQ________

    解析】 (1)由交集定义可得AB{16}

    (2)因为a233所以由AB{1}a1即实数a的值为1

    (3)由-x2x20得-1x2因为xN所以P{012}因为ln x1所以0xe所以Q(0e)PQ{12}

    答案】 (1){16} (2)1 (3){12}

    解集合运算问题应注意以下两点

    (1)看元素组成.集合是由元素组成的从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键.

    (2)对集合化简.有些集合是可以化简的先化简再研究其关系并进行运算可使问题简单明了、易于解决. 

    [对点训练]

    1(2018·高考江苏卷)已知集合A{0128}B{1168}那么AB________

    [解析] 由集合的交运算可得AB{18}

    [答案] {18}

    2(2018·江苏省名校高三入学摸底)已知集合A{13m2}集合B{32m1}BA则实数m________

    [解析] 因为BA所以m2=-2m1或-1=-2m1解得m=-1m0经检验均满足题意

    m=-10

    [答案] 10

    四种命题及其真假判断

    [典型例题]

    (1)(2019·苏州第一次质量预测)下列说法正确的是________

    ①“a1a21的否命题是a1a21

    ②“am2bm2ab的逆命题为真命题;

    存在x0(0)使3x04x0成立;

    ④“sin αα是真命题.

    (2)给出命题:若函数yf(x)是幂函数则函数yf(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中真命题的个数是________

    解析】 (1)对于a1a21的否命题是a1a21错误;对于am2bm2ab的逆命题为abam2bm2因为当m0am2bm2所以其逆命题为假命题错误;对于由指数函数的图象知对任意的x(0)都有4x3x错误;对于sin αα的逆否命题为αsin α且其逆否命题为真命题所以原命题为真命题正确.

    (2)易知原命题是真命题则其逆否命题也是真命题而逆命题、否命题是假命题故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中真命题只有一个.

    答案】 (1) (2)1

    一个命题的否命题、逆命题、逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后得到的形式上的命题解这类试 

    题时要注意对于一些关键词的否定等于的否定是不等于而不是单纯的大于、也不是单纯的小于.都是的否定是不都是不都是包含都不是至少有一个的否定是一个都没有所有的的否定是某些任意的的否定是某个至多有一个的否定是至少有两个至多有n的否定是至少有n1任意两个的否定是某两个”.像这类否定同学们不妨探究一下.

    [对点训练]

    3已知命题若函数f(x)exmx(0)上是增函数m1则下列结论正确的是________(只填序号)

    否命题若函数f(x)exmx(0)上是减函数m>1是真命题 逆命题m1则函数f(x)exmx(0)上是增函数是假命题 逆否命题m>1则函数f(x)exmx(0)上是减函数是真命题 逆否命题m>1则函数f(x)exmx(0)上不是增函数是真命题

    [解析] 命题若函数f(x)exmx(0)上是增函数m1是真命题所以其逆否命题m>1则函数f(x)exmx(0)上不是增函数是真命题.

    [答案]

    4命题面积相等的三角形是全等三角形的否定为________否命题为________

    [答案] 面积相等的三角形不是全等三角形

    面积不相等的三角形不是全等三角形

    充分条件与必要条件

    [典型例题]

    (1)abRa(ab)<0>1____________(填写充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件中的一个)

    (2)已知条件p:-1x21qxapq的充分不必要条件则实数a的取值范围是________

    解析】 (1)因为>11>0>0a(ab)<0所以a(ab)<0>1的充要条件.

    (2)因为pq的充分不必要条件pqqp即不等式-1x21的解集是{x|xa}的真子集从而a3

    答案】 (1)充要条件 (2)(3]

    断充要条件的方法一是结合充要条件的定义;二是在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法. 

    [对点训练]

    5(2019·湖南湘东五校联考)不等式x2xm0R上恒成立的一个必要不充分条件是________

    m0m1m0m1

    [解析] 若不等式x2xm0R上恒成立Δ(1)24m0解得m因此当不等式x2xm0R上恒成立时必有m0但当m0不一定推出不等式在R上恒成故所求的必要不充分条件可以是m0

    [答案]

    6(2019·徐州模拟)a2xblogxa>bx>1”________条件.

    [解析] 如图所示

    xx0ab

    ab则得到xx0

    x01

    所以由ab不一定得到x1

    所以ab不是x1的充分条件;

    x1则由图象得到ab

    所以abx1的必要条件.

    abx1的必要不充分条件.

    [答案] 必要不充分

    逻辑联结词、全称量词和存在量词

    [典型例题]

    (1)命题x0(0)ln x0x01的否定下列正确的是________

    x0(0)ln x0x01

    x0(0)ln x0x01

    x(0)ln xx1

    x(0)ln xx1

    (2)已知命题px[01]a2x;命题qxR使得x24xa0.若命题pq是真命题pq是假命题则实数a的取值范围为________

    解析】 (1)改变原命题中的两个地方即可得其否定改为否定结论ln xx1

    (2)命题p为真a2x(x[01])恒成立

    因为y2x[01]上单调递增所以2x212

    a2即命题p为真时实数a的取值集合为P{a|a2}

    若命题q为真则方程x24xa0有解所以Δ424×1×a0解得a4

    故命题q为真时实数a的取值集合为Q{a|a4}

    若命题pq是真命题那么命题pq至少有一个是真命题;

    pq是假命题可得pq至少有一个是假命题.

    p为真命题p为假命题q可真可假

    此时实数a的取值范围为[2)

    p为假命题q必为真命题此时pq为真命题不合题意.

    综上实数a的取值范围为[2)

    答案】 (1) (2)[2)

    全称命题(存在性命题)的否定是其全称量词改为存在量词(存在量词改为全称量词)并把结论否定而命题的否定则是直接否定结论.

    [对点训练]

    7(2019·无锡市高三上学期期末考试)命题x2x24的否定是________x24”.

    [解析] 由全称命题的否定是存在性命题得命题x2x24的否定是x2x24故填x2

    [答案] x2

    8下列四个命题:

    xR使sin xcos x2

    xRsin x2

    xtan x2

    xR使sin xcos x

    其中正确命题的序号为________

    [解析] 因为sin xcos xsin[ ]

    xR使sin xcos x2错误;

    xR使sin xcos x正确;

    因为sin x2sin x2

    xRsin x2错误;

    xtan x>0>0由基本不等式可得tan x2正确.

    [答案] ③④ 

    1(2019·江苏名校高三入学摸底)设集合A{22}B{x|x23x40}A(RB)______

    [解析] B{x|x23x40}{x|x1x4}RB{x|1<x<4}A{22}所以A(RB){2}

    [答案] {2}

    2命题存在一个无理数它的平方是有理数的否定是____________

    [答案] 任意一个无理数它的平方不是有理数

    3已知abcR命题abc3a2b2c23的否命题是________________

    [解析] 命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题所以应填abc3a2b2c2<3

    [答案] abc3a2b2c2<3

    4(2019·无锡模拟)下列命题中真命题的序号是________

    xRx2

    xRsin x=-1

    xRx2>0

    xR2x>0

    [解析] 对于x1成立对于x成立对于x0时显然不成立对于根据指数函数性质显然成立.

    [答案] ①②④

    5已知URA{1a}B{a22a2}aR(UA)Ba______

    [解析] 由题意知BA所以a22a21a22a2a.当a22a21解得a1;当a22a2a解得a1a2.当a1不满足集合中元素的互异性舍去;当a2满足题意.所以a2

    [答案] 2

    6若命题ax22ax3>0不成立是真命题则实数a的取值范围是________

    [解析] ax22ax30恒成立a030成立;当a0得-3a<0

    所以-3a0

    [答案] 3a0

    7(2019·南京调研)设函数f(x)lg(1x2)集合A{x|yf(x)}B{y|yf(x)}则图中阴影部分表示的集合为________

    [解析] 因为A{x|yf(x)}{x|1x2>0}{x|1<x<1}(11)RA(1][1)u1x2(01]

    所以B{y|yf(x)}{y|y0}(0]RB(0)

    所以题图阴影部分表示的集合为(ARB)(BRA)(01)(1]

    [答案] (01)(1]

    8(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)已知集合P{x|xa}QPQQ则实数a的取值范围是________

    [解析] QQ{12}PQQ所以a2即实数a的取值范围是[2)

    [答案] [2)

    9θR使sin θ1成立cos的值为________

    [解析] 由题意得sin θ10.又-1sin θ1

    所以sin θ1

    所以θ2kπ(kZ).故cos

    [答案]

    10(2019·江苏省高考名校联考信息卷())已知x0xR<1“3x>9______条件.(充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要)

    [解析] <1x>2x<0.由3x>9x>2所以由3x>9可以得<1反之却无法得到所以<13x>9的必要不充分条件.

    [答案] 必要不充分

    11给出以下三个命题:

    ab0a0b0

    ABCsin Asin BAB

    在一元二次方程ax2bxc0b24ac<0则方程有实数根.

    其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是________(填序号)

    [解析] ABC由正弦定理得sin Asin BabAB.故填

    [答案]

    12(2019·南京高三模拟)下列说法正确的序号是________

    命题x21x1的否命题为x21x1

    ②“x=-1x25x60的必要不充分条件;

    命题xysin xsin y的逆否命题为真命题;

    命题x0Rxx01<0的否定是xRx2x10”.

    [解析] 命题x21x1的否命题为x21x1所以不正确.由x=-1能够得到x25x60反之x25x60得到x=-1x6所以x=-1x25x60的充分不必要条件所以不正确.命题xysin xsin y为真命题所以其逆否命题也为真命题所以正确.命题x0Rxx010的否定是xRx2x10所以不正确.

    [答案]

    13若命题x[11]12xa·4x<0是假命题则实数a的最小值为 __________

    [解析] 变形得a<=-

    ta<

    因为x[11]所以t

    所以f(t)=-上是减函数

    所以[f(t)]minf(2)=-=-6

    又因为该命题为假命题

    所以a6

    故实数a的最小值为-6

    [答案] 6

    14(2019·江苏四星级学校高三联考)PQ为两个非空实数集合定义集合P*Q{z|zabaPbQ}P{12}Q{101}则集合P*Q中元素的个数为________

    [解析] 法一(列举法):当b0无论a取何值zab1;当a1无论b取何值ab1;当a2b=-1z21;当a2b1z212.故P*Q该集合中共有3个元素.

    法二(列表法):因为aPbQ所以a的取值只能为12b的取值只能为-101zab的不同运算结果如下表所示:

    b

    a

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    2

    1

    2

    由上表可知P*Q然该集合中共有3个元素.

    [答案] 3

     

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