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    2020浙江高考数学二轮讲义:专题二第1讲 三角函数的图象与性质
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    2020浙江高考数学二轮讲义:专题二第1讲 三角函数的图象与性质

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    第1讲 三角函数的图象与性质

    三角函数的定义、诱导公式及基本关系
    [核心提炼]
    1.三角函数:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin α=y,cos α=x,tan α=.各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
    2.同角关系:sin2α+cos2α=1,=tan α.
    3.诱导公式:在+α,k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限”.
    [典型例题]
    (1)(2019·湖州市高三期末)点P从点A(1,0)出发,沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动弧长到达点Q,则点Q的坐标是(  )
    A. B.
    C. D.
    (2)(2019·长春一模)已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)=1,则sin β的值为________.
    (3)(2018·高考浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P.
    ①求sin的值;
    ②若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值.
    【解】 (1)选A.点P从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点,所以∠QOx=,
    所以Q,
    即Q点的坐标为.故选A.
    (2)2tan(π-α)-3cos+5=0化简为-2tan α+3sin β+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)=1化简为tan α-6sin β=1,因而sin β=.故填.
    (3)①由角α的终边过点P得sin α=-,
    所以sin(α+π)=-sin α=.
    ②由角α的终边过点P得cos α=-,
    由sin(α+β)=得cos(α+β)=±.
    由β=(α+β)-α得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,
    所以cos β=-或cos β=.

    应用三角函数的概念和诱导公式的注意事项
    (1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决,机械地使用三角函数的定义就会出现错误.
    (2)应用诱导公式与同角关系开方运算时,一定注意三角函数的符号;利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则,如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等. 
    [对点训练]
    1.已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边上一点P(-4,3),则的值为________.
    解析:原式==tan α.
    根据三角函数的定义,得tan α==-,
    所以原式=-.
    答案:-
    2.已知θ是第四象限角,且sin=,则tan
    =________.
    解析:法一:因为sin =,所以cos=sin=sin=,因为θ为第四象限角,
    所以-+2kπ<θ<2kπ,k∈Z,所以-+2kπ<θ-<2kπ-,k∈Z,所以sin=-=-,
    所以tan==-.
    法二:因为θ是第四象限角,且sin=,所以θ+为第一象限角,所以cos=,所以tan===-=-.
    答案:-

    三角函数的图象及应用
    [核心提炼]
    函数y=Asin(ωx+φ)的图象
    (1)“五点法”作图
    设z=ωx+φ,令z=0,,π,,2π,求出x的值与相应的y的值,描点、连线可得.
    (2)图象变换
    y=sin xy=sin(x+φ)
    y=sin(ωx+φ)
    y=Asin(ωx+φ).
    [典型例题]
    (1)函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则(  )

    A.y=2sin B.y=2sin
    C.y=2sin D.y=2sin
    (2)(2019·温州瑞安七中高考模拟)函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能的值为(  )
    A.    B. C.0    D.-
    (3)(2019·浙江五校联考数学模拟)设函数f(x)=,若函数g(x)=f(x)-m在[0,2π]内恰有4个不同的零点,则实数m的取值范围是(  )
    A.(0,1)   B.[1,2] C.(0,1]   D.(1,2)
    【解析】 (1)由题图易知A=2,因为周期T满足=-,所以T=π,ω==2.由x=时,y=2可知2×+φ=+2kπ(k∈Z),所以φ=-+2kπ(k∈Z),结合选项可知函数解析式为y=2sin.
    (2)令y=f(x)=sin(2x+φ),
    则f=sin=sin,
    因为f为偶函数,
    所以+φ=kπ+,
    所以φ=kπ+,k∈Z,
    所以当k=0时,φ=.
    故φ的一个可能的值为.
    故选B.
    (3)画出函数f(x)在[0,2π]的图象,如图所示:

    若函数g(x)=f(x)-m在[0,2π]内恰有4个不同的零点,
    即y=f(x)和y=m在[0,2π]内恰有4个不同的交点,
    结合图象,知0<m<1.
    【答案】 (1)A (2)B (3)A

    解决三角函数图象问题的方法及注意事项
    (1)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象求解析式时,常采用待定系数法,由图中的最高点、最低点或特殊点求A;由函数的周期确定ω;确定φ常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置.
    (2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变换,变换只是相对于其中的自变量x而言的,如果x的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向. 
    [对点训练]
    1.(2019·兰州市诊断考试)函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,若x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)=(  )

    A. B.
    C. D.1
    解析:选C.由图知,=,即T=π,则ω=2,
    所以f(x)=sin(2x+φ),
    因为点在函数f(x)的图象上,
    所以sin=0,
    即+φ=kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,
    所以f(x)=sin,
    因为x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),
    所以=,
    所以x1+x2=,
    所以f(x1+x2)=sin=.
    2.已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则下面结论正确的是(  )
    A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
    B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
    C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
    D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
    解析:选D.易知C1:y=cos x=sin,把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=sin的图象,再把所得函数的图象向左平移个单位长度,可得函数y=sin=sin的图象,即曲线C2,故选D.

    三角函数的性质
    [核心提炼]
    1.三角函数的单调区间
    y=sin x的单调递增区间是(k∈Z),
    单调递减区间是(k∈Z);
    y=cos x的单调递增区间是[2kπ-π,2kπ](k∈Z),单调递减区间是[2kπ,2kπ+π](k∈Z);
    y=tan x的递增区间是(k∈Z).
    2.y=Asin(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数;
    当φ=kπ+(k∈Z)时为偶函数;
    对称轴方程可由ωx+φ=kπ+(k∈Z)求得.
    y=Acos(ωx+φ),当φ=kπ+(k∈Z)时为奇函数;
    当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数;
    对称轴方程可由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得.
    y=Atan(ωx+φ),当φ=(k∈Z)时为奇函数.
    [典型例题]
    已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sin xcos x(x∈R).
    (1)求f的值;
    (2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.
    【解】 (1)由sin =,cos =-,f=--2××,得f=2.
    (2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin x·cos x得
    f(x)=-cos 2x-sin 2x=-2sin.
    所以f(x)的最小正周期是π.
    由正弦函数的性质得
    +2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
    解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
    所以,f(x)的单调递增区间是
    (k∈Z).

    三角函数的单调性、周期性及最值的求法
    (1)三角函数单调性的求法
    求形如y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))(A、ω、φ为常数,A≠0,ω>0)的单调区间的一般思路是令ωx+φ=z,则y=Asin z(或y=Acos z),然后由复合函数的单调性求解.
    (2)三角函数周期性的求法
    函数y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))的最小正周期T=.应特别注意y=|Asin(ωx+φ)|的最小正周期为T=.
    (3)三角函数最值(或值域)的求法
    在求最值(或值域)时,一般要先确定函数的定义域,然后结合三角函数性质可得函数f(x)的最值. 
    [对点训练]
    1.(2019·杭州市高三期末检测)设A,B是函数f(x)=sin|ωx|与y=-1的图象的相邻两个交点,若|AB|min=2π,则正实数ω=(  )
    A. B.1    C.    D.2
    解析:选B.函数f(x)=sin|ωx|=,ω为正数,所以f(x)的最小值是-1,如图所示:

    设A,B是函数f(x)=sin|ωx|与y=-1的图象的相邻两个交点,
    且|AB|min=T==2π,
    解得ω=1.故选B.
    2.(2019·台州调研)设函数f(x)=cos(ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立,则ω的最小值为________.
    解析:由于对任意的实数x都有f(x)≤f成立,故当x=时,函数f(x)有最大值,故f=1,-=2kπ(k∈Z),所以ω=8k+(k∈Z),又ω>0,所以ωmin=.
    答案:
    3.(2019·高考浙江卷)设函数f(x)=sin x,x∈R.
    (1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值;
    (2)求函数y=+的值域.
    解:(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以对任意实数x都有
    sin(x+θ)=sin(-x+θ),
    即sin xcos θ+cos xsin θ=-sin xcos θ+cos xsin θ,
    故2sin xcos θ=0,
    所以cos θ=0.
    又θ∈[0,2π),因此θ=或.
    (2)y=+
    =sin2+sin2
    =+
    =1-
    =1-cos.
    因此,函数的值域是.

    三角函数与其他知识的交汇
    [核心提炼]
    三角函数的图象与性质是高考考查的重点,近年来,三角函数与其他知识交汇命题成为高考的热点,由原来三角函数与平面向量的交汇渗透到三角函数与函数的零点、数列、不等式、复数、方程等知识的交汇.
    [典型例题]
    (1)(2019·台州市高考一模)已知θ∈[0,π),若对任意的x∈[-1,0],不等式x2cos θ+(x+1)2sin θ+x2+x>0恒成立,则实数θ的取值范围是(  )
    A.  B.  C.  D.
    (2)(2019·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象过点,若f(x)≤f对x∈R恒成立,则ω的值为________;当ω最小时,函数g(x)=f-在区间[0,22]的零点个数为________.
    【解析】 (1)设f(x)=x2cos θ+(x+1)2sin θ+x2+x=(1+sin θ+cos θ)x2+(2sin θ+1)x+sin θ,
    因为θ∈[0,π),
    所以1+cos θ+sin θ≠0,且其对称轴为x=-.
    因为f(x)在[-1,0]的最小值为f(0)或f(1)或f,
    所以,即,
    所以.所以<θ<.
    (2)由题意得φ=,且当x=时,函数f(x)取到最大值,故ω+=+2kπ,k∈Z,解得ω=1+12k,k∈N,又因为ω>0,所以ω的最小值为1,因此,g(x)=f-=sin x-的零点个数是8个.
    【答案】 (1)A (2)1+12k(k∈N) 8

    解决三角函数与其他知识的交汇问题,可利用数形结合思想.利用“数形结合”思想还可以解决以下问题:
    (1)讨论含有参数的方程的解的个数问题. 
    (2)求三角函数解析式中含有参数的最值问题.
    (3)求一些特殊函数的周期.
    (4)利用三角函数图象对实际问题作出分析等.
    [对点训练]
    1.(2019·湖州市高三期末考试)若α,β∈,且αsin α-βsin β>0,则必有(  )
    A.α2<β2 B.α2>β2
    C.α<β D.α>β
    解析:选B.α,β∈,且αsin α-βsin β>0,即αsin α>βsin β,再根据y=xsin x为偶函数,且在上单调递增,可得|α|>|β|,即α2>β2,故选B.
    2.(2019·合肥市第二次教学质量检测)已知关于x的方程(t+1)cos x-tsin x=t+2在(0,π)上有实根,则实数t的最大值是________.
    解析:由题意可得,-==1-,
    令P(cos x,sin x),A(2,1),
    则kPA=,因为x∈(0,π),所以-1
    答案:-1
    专题强化训练
    1.(2019·嵊州模拟)已知sin(π+α)=-,则cos的值为(  )
    A. B.-    C.    D.-
    解析:选B.因为sin(π+α)=-=-sin α,
    所以cos=-sin α=-.
    2.(2019·湖州市高三期末考试)为了得到函数y=sin的图象,只需将y=cos 2x的图象上每一点(  )
    A.向右平移个单位长度
    B.向右平移个单位长度
    C.向左平移个单位长度
    D.向左平移个单位长度
    解析:选B.因为y=cos 2x=sin=sin,所以y=sin=sin
    =sin,
    所以为了得到函数y=sin的图象,只需将y=cos 2x的图象上每一点向右平移个单位长度即可.故选B.
    3.已知tan=3,则sin 2α的值为(  )
    A.- B. C.- D.
    解析:选B.因为tan==3,所以tan α=.
    所以sin 2α=2sin αcos α====.
    4.(2019·金华模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f的值为(  )

    A.- B.- C.- D.-1
    解析:选D.由图象可得A=,最小正周期T=4×=π,则ω==2.又f=sin=-,得φ=,则f(x)=sin,f=sin=sin=-1,故选D.
    5.(2019·宁波市高考模拟)已知函数f(x)=sin xcos 2x,则下列关于函数f(x)的结论中,错误的是(  )
    A.最大值为1
    B.图象关于直线x=-对称
    C.既是奇函数又是周期函数
    D.图象关于点中心对称
    解析:选D.因为函数f(x)=sin xcos 2x,当x=时,f(x)取得最大值为1,故A正确;当x=-时,函数f(x)=1,为函数的最大值,故图象关于直线x=-对称;故B正确;函数f(x)满足f(-x)=sin(-x)·cos(-2x)=-sin xcos 2x=-f(x),故函数f(x)为奇函数,再根据f(x+2π)=sin(x+2π)cos[-2(x+2π)]=sin xcos 2x,故f(x)的周期为2π,故C正确;由于f+f(x)=-cos x·cos(3π-2x)+sin xcos 2x=cos xcos 2x+sin xcos 2x=cos 2x(sin x+cos x)=0不一定成立,故f(x)图象不一定关于点中心对称,故D不正确,故选D.
    6.已知函数f(x)=2sin(ω>0)的最大值与最小正周期相同,则函数f(x)在[-1,1]上的单调递增区间为(  )
    A. B.
    C. D.
    解析:选D.由T==,又f(x)的最大值为2,所以=2,
    即ω=,
    所以f(x)=2sin.
    当2kπ-≤πx-≤2kπ+,
    即2k-≤x≤2k+,k∈Z时函数f(x)单调递增,
    则f(x)在[-1,1]上的单调递增区间为.
    7.(2019·温州调研)已知函数f(x)=sin(ω>0)在区间上单调递增,则ω的取值范围为(  )
    A. B.
    C. D.
    解析:选B.因为x∈,所以ωx+∈,因为函数f(x)=sin(ω>0)在区间上单调递增,
    所以
    又ω>0,所以0<ω≤,选B.
    8.(2019·宁波市高三调研)已知函数f(x)=(sin x+cos x)-|sin x-cos x|,则f(x)的值域是(  )
    A.[-1,1] B.
    C. D.
    解析:选C.f(x)=
    作出[0,2π]区间内f(x)的图象,如图所示,
    由f(x)的图象,可得f(x)的值域为.

    9.(2019·宁波市高考模拟)已知函数f(x)=asin 2x+(a+1)cos 2x,a∈R,则函数f(x)的最小正周期为______,振幅的最小值为________.
    解析:函数f(x)=asin 2x+(a+1)cos 2x,a∈R,
    化简可得:f(x)=sin(2x+θ)=·sin(2x+θ),其tan θ=.
    函数f(x)的最小正周期T==π.
    振幅为 ,
    当a=-时,可得振幅的最小值.
    答案:π 
    10.已知-<α<0,sin α+cos α=,则sin α-cos α=________.
    解析:sin α+cos α=,平方可得sin2α+2sin α·cos α+cos2α=,即2sin α·cos α=-,因为(sin α-cos α)2=1-2sin α·cos α=,又-<α<0,所以sin α<0,cos α>0,所以sin α-cos α<0,
    所以sin α-cos α=-.
    答案:-
    11.已知f(x)=sin 2x-cos 2x,若对任意实数x∈,都有|f(x)| 解析:因为f(x)=sin 2x-cos 2x=
    2sin,x∈,所以∈,所以2sin∈(-,1],所以|f(x)|=<,所以m≥.
    答案:[,+∞)
    12.函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是________,单调递减区间是________.
    解析:因为 f(x)=sin2x+sin xcos x+1=+sin 2x+1=sin 2x-cos 2x+=sin(2x-)+,所以函数f(x)的最小正周期T=π.令+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,解之可得函数f(x)的单调递减区间为
    (k∈Z).
    答案:π (k∈Z)
    13.(2019·太原市模拟试题)已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0),若方程f(x)=-1在(0,π)上有且只有四个实数根,则实数ω的取值范围为________.
    解析:因为f(x)=2sin,方程2sin=-1在(0,π)上有且只有四个实数根,即sin=-在(0,π)上有且只有四个实数根.设t=ωx-,因为0 答案:
    14.(2019·温州市高考数学模拟)设奇函数f(x)=,则a+c的值为________,不等式f(x)>f(-x)在x∈[-π,π]上的解集为________.
    解析:因为f(x)是奇函数,
    所以f(0)=0,
    即f(0)=acos 0-sin 0+c=a+c=0,
    即a+c=0,
    则f(x)=,
    若x<0,则-x>0,
    则f(-x)=acos x+sin x-a
    =-cos x-bsin x-a,
    则a=-1,b=-,c=1.
    则f(x)=,
    若0≤x≤π,
    则由f(x)>f(-x)得-cos x-sin x+1>cos x+sin x-1,
    即cos x+sin x<1,即cos<,
    因为0≤x≤π,所以-≤x-≤,
    则<x-≤,即<x≤π.
    若-π≤x<0,
    则由f(x)>f(-x)得cos x-sin x-1>
    -cos x+sin x+1,
    即cos x-sin x>1,即cos>,
    因为-π≤x<0,所以-≤x+<,
    则-<x+<,即-<x<0,
    综上不等式的解集为∪.
    答案:0 ∪
    15.(2019·台州市高三期末评估)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π,且x=为f(x)图象的一条对称轴.
    (1)求ω和φ的值;
    (2)设函数g(x)=f(x)+f,求g(x)的单调递减区间.
    解:(1)因为f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π,
    由T==π,所以ω=2,
    由2x+φ=kπ+,k∈Z,
    所以f(x)的图象的对称轴为x=+-,k∈Z.
    由=+-,得φ=kπ+.又|φ|≤,则φ=.
    (2)函数g(x)=f(x)+f=sin+sin 2x=
    sin 2x+cos 2x+sin 2x=sin.
    所以g(x)的单调递减区间为,k∈Z.
    16.(2019·宁波诺丁汉大学附中高三期中)已知函数f(x)=sin(x∈R,ω>0)的图象如图,P是图象的最高点,Q是图象的最低点,且|PQ|=.

    (1)求函数y=f(x)的解析式;
    (2)将函数y=f(x)的图象向右平移1个单位后得到函数y=g(x)的图象,当x∈[0,2]时,求函数h(x)=f(x)·g(x)的最大值.
    解:(1)过P作x轴的垂线PM,过Q作y轴的垂线QM,则由已知得|PM|=2,|PQ|=,由勾股定理得|QM|=3,所以T=6,
    又T=,所以ω=,
    所以函数y=f(x)的解析式为f(x)=sin.
    (2)将函数y=f(x)图象向右平移1个单位后得到函数y=g(x)的图象,
    所以g(x)=sinx.
    函数h(x)=f(x)·g(x)=sinsin x
    =sin2x+sinxcos x
    =+sin x
    =sin+.
    当x∈[0,2]时,x-∈,
    所以当x-=,
    即x=1时,h(x)max=.
    17.(2019·“绿色联盟”模拟)已知函数f(x)=sin x·(cos x+sin x).
    (1)求f(x)的最小正周期;
    (2)若关于x的方程f(x)=t在区间内有两个不相等的实数解,求实数t的取值范围.
    解:(1)f(x)=sin 2x-cos 2x+=sin+,故函数f(x)的最小正周期为T==π.
    (2)关于x的方程f(x)=t在区间内有两个不相等的实数解,等价于y=f(x)与y=t的图象在区间内有两个不同的交点.因为x∈,所以2x-∈.
    因为y=sin x在上是增函数,在上是减函数,
    所以f(x)在上是增函数,在上是减函数.
    又因为f(0)=0,f=1+,
    f=,
    所以≤t<1+,故实数t的取值范围为.
    18.已知定义在区间上的函数y=f(x)的图象关于直线x=对称,当x≥时,f(x)=-sin x.
    (1)作出y=f(x)的图象;

    (2)求y=f(x)的解析式;
    (3)若关于x的方程f(x)=a有解,将方程中的a取一确定的值所得的所有解的和记为Ma,求Ma的所有可能的值及相应的a的取值范围.
    解:(1)y=f(x)的图象如图所示.

    (2)任取x∈,
    则-x∈,
    因为函数y=f(x)的图象关于直线x=对称,
    则f(x)=f,又当x≥时,f(x)=-sin x,
    则f(x)=f=-sin=-cos x,
    即f(x)=
    (3)当a=-1时,f(x)=a的两根为0,,则Ma=;当a∈时,f(x)=a的四根满足x1 f(x)=a的三根满足x1 综上,当a∈时,Ma=π;
    当a=-时,Ma=;
    当a∈∪{-1}时,Ma=.

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