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2020浙江高考数学二轮讲义:专题二第1讲 三角函数的图象与性质

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1 三角函数的图象与性质

三角函数的定义、诱导公式及基本关系

[核心提炼]

1三角函数:α是一个任意角它的终边与单位圆交于点P(xy)sin αycos αxtan α.各象限角的三角函数值的符号:一全正二正弦三正切四余弦

2同角关系:sin2αcos2α1tan α.

3诱导公式:αkZ的诱导公式中奇变偶不变符号看象限

[典型例题]

(1)(2019·湖州市高三期末)P从点A(10)出发沿单位圆x2y21逆时针方向运动弧长到达点Q则点Q的坐标是(  )

A. B.

C. D.

(2)(2019·长春一模)已知α为锐角2tan(πα)3cos50tan(πα)6sin(πβ)1sin β的值为________

(3)(2018·高考浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合始边与x轴的非负半轴重合它的终边过点P.

sin的值;

若角β满足sin(αβ)cos β的值

 (1)A.P(10)出发沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q所以QOx

所以Q

Q点的坐标为.故选A.

(2)2tan(πα)3cos50化简为-2tan α3sin β50tan(πα)6sin(πβ)1化简为tan α6sin β1因而sin β.故填.

(3)由角α的终边过点Psin α=-

所以sin(απ)=-sin α.

由角α的终边过点Pcos α=-

sin(αβ)cos(αβ)±.

β(αβ)αcos βcos(αβ)cos αsin(αβ)sin α

所以cos β=-cos β.

应用三角函数的概念和诱导公式的注意事项

(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决机械地使用三角函数的定义就会出现错误

(2)应用诱导公式与同角关系开方运算时一定注意三角函数的符号;利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等 

[对点训练]

1已知角α的顶点与原点重合始边与x轴的正半轴重合终边上一点P(43)的值为________

解析:原式=tan α.

根据三角函数的定义tan α=-

所以原式=-.

答案:

2已知θ是第四象限角sintan

________

解析:法一:因为sin  所以cossinsin因为θ为第四象限角

所以-2kπθ2kπkZ所以-2kπθ2kπkZ所以sin=-=-

所以tan=-.

法二:因为θ是第四象限角sin所以θ为第一象限角所以cos所以tan=-=-.

答案:

三角函数的图象及应用

[核心提炼]

函数yAsin(ωxφ)的图象

(1)五点法作图

zωxφz0π2π求出x的值与相应的y的值描点、连线可得

(2)图象变换

ysin xysin(xφ)

ysin(ωxφ)

yAsin(ωxφ)

[典型例题]

(1)函数yAsin(ωxφ)的部分图象如图所示(  )

Ay2sin By2sin

Cy2sin Dy2sin

(2)(2019·温州瑞安七中高考模拟)函数ysin(2xφ)的图象沿x轴向左平移个单位后得到一个偶函数的图象φ的一个可能的值为(  )

A.    B.        C0    D

(3)(2019·浙江五校联考数学模拟)设函数f(x)若函数g(x)f(x)m[02π]内恰有4个不同的零点则实数m的取值范围是(  )

A(01)   B[12]       C(01]   D(12)

解析 (1)由题图易知A2因为周期T满足所以Tπω2.xy2可知2×φ2kπ(kZ)所以φ=-2kπ(kZ)结合选项可知函数解析式为y2sin.

(2)yf(x)sin(2xφ)

fsinsin

因为f为偶函数

所以φkπ

所以φkπkZ

所以当k0φ.

φ的一个可能的值为.

故选B.

(3)画出函数f(x)[02π]的图象如图所示:

若函数g(x)f(x)m[02π]内恰有4个不同的零点

yf(x)ym[02π]内恰有4个不同的交点

结合图象0m1.

答案 (1)A (2)B (3)A

解决三角函数图象问题的方法及注意事项

(1)已知函数yAsin(ωxφ)(A0ω0)的图象求解析式时常采用待定系数法由图中的最高点、最低点或特殊点求A;由函数的周期确定ω;确定φ常根据五点法中的五个点求解其中一般把第一个零点作为突破口可以从图象的升降找准第一个零点的位置

(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换还是先周期变换变换只是相对于其中的自变量x而言的如果x的系数不是1就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向 

[对点训练]

1(2019·兰州市诊断考试)函数f(x)sin(ωxφ)(ω>0|φ|<)的部分图象如图所示x1x2f(x1)f(x2)f(x1x2)(  )

A. B.

C. D1

解析:C.由图知Tπω2

所以f(x)sin(2xφ)

因为点在函数f(x)的图象上

所以sin0

φkπkZ|φ|<所以φ

所以f(x)sin

因为x1x2f(x1)f(x2)

所以

所以x1x2

所以f(x1x2)sin.

2已知曲线C1ycos xC2ysin则下面结论正确的是(  )

AC1上各点的横坐标伸长到原来的2纵坐标不变再把得到的曲线向右平移个单位长度得到曲线C2

BC1上各点的横坐标伸长到原来的2纵坐标不变再把得到的曲线向左平移个单位长度得到曲线C2

CC1上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变再把得到的曲线向右平移个单位长度得到曲线C2

DC1上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变再把得到的曲线向左平移个单位长度得到曲线C2

解析:D.易知C1ycos xsin把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变得到函数ysin的图象再把所得函数的图象向左平移个单位长度可得函数ysinsin的图象即曲线C2故选D.

三角函数的性质

[核心提炼]

1三角函数的单调区间

ysin x的单调递增区间是(kZ)

单调递减区间是(kZ)

ycos x的单调递增区间是[2kππ2kπ](kZ)单调递减区间是[2kπ2kππ](kZ)

ytan x的递增区间是(kZ)

2yAsin(ωxφ)φkπ(kZ)时为奇函数;

φkπ(kZ)时为偶函数;

对称轴方程可由ωxφkπ(kZ)求得

yAcos(ωxφ)φkπ(kZ)时为奇函数;

φkπ(kZ)时为偶函数;

对称轴方程可由ωxφkπ(kZ)求得

yAtan(ωxφ)φ(kZ)时为奇函数

[典型例题]

已知函数f(x)sin2xcos2x2sin xcos x(xR)

(1)f的值;

(2)f(x)的最小正周期及单调递增区间

 (1)sin cos =-f2××f2.

(2)cos 2xcos2xsin2xsin 2x2sin x·cos x

f(x)=-cos 2xsin 2x=-2sin.

所以f(x)的最小正周期是π.

由正弦函数的性质得

2kπ2x2kπkZ

解得kπxkπkZ

所以f(x)的单调递增区间是

(kZ)

三角函数的单调性、周期性及最值的求法

(1)三角函数单调性的求法

求形如yAsin(ωxφ)(yAcos(ωxφ))(Aωφ为常数A0ω0)的单调区间的一般思路是令ωxφzyAsin z(yAcos z)然后由复合函数的单调性求解

(2)三角函数周期性的求法

函数yAsin(ωxφ)(yAcos(ωxφ))的最小正周期T.应特别注意y|Asin(ωxφ)|的最小正周期为T.

(3)三角函数最值(或值域)的求法

在求最值(或值域)一般要先确定函数的定义域然后结合三角函数性质可得函数f(x)的最值 

[对点训练]

1(2019·杭州市高三期末检测)AB是函数f(x)sin|ωx|y=-1的图象的相邻两个交点|AB|min2π则正实数ω(  )

A.         B1    C.    D2

解析:B.函数f(x)sin|ωx|ω为正数所以f(x)的最小值是-1如图所示:

AB是函数f(x)sin|ωx|y=-1的图象的相邻两个交点

|AB|minT2π

解得ω1.故选B.

2(2019·台州调研)设函数f(x)cos(ω>0)f(x)f对任意的实数x都成立ω的最小值为________

解析:由于对任意的实数x都有f(x)f成立故当x函数f(x)有最大值f12kπ(kZ)所以ω8k(kZ)ω>0所以ωmin.

答案:

3(2019·高考浙江卷)设函数f(x)sin xxR.

(1)已知θ[02π)函数f(xθ)是偶函数θ的值;

(2)求函数y的值域

解:(1)因为f(xθ)sin(xθ)是偶函数所以对任意实数x都有

sin(xθ)sin(xθ)

sin xcos θcos xsin θ=-sin xcos θcos xsin θ

2sin xcos θ0

所以cos θ0.

θ[02π)因此θ.

(2)y

sin2sin2

1

1cos.

因此函数的值域是.

三角函数与其他知识的交汇

[核心提炼]

三角函数的图象与性质是高考考查的重点近年来三角函数与其他知识交汇命题成为高考的热点由原来三角函数与平面向量的交汇渗透到三角函数与函数的零点、数列、不等式、复数、方程等知识的交汇

[典型例题]

(1)(2019·台州市高考一模)已知θ[0π)若对任意的x[10]不等式x2cos θ(x1)2sin θx2x0恒成立则实数θ的取值范围是(  )

A.    B.   C.    D.

(2)(2019·浙江七彩阳光联盟高三联考)已知函数f(x)sin(ωxφ)的图象过点f(x)fxR恒成立ω的值为________;当ω最小时函数g(x)f在区间[022]的零点个数为________

解析 (1)f(x)x2cos θ(x1)2sin θx2x(1sin θcos θ)x2(2sin θ1)xsin θ

因为θ[0π)

所以1cos θsin θ0且其对称轴为x=-.

因为f(x)[10]的最小值为f(0)f(1)f

所以

所以.所以θ.

(2)由题意得φ且当x函数f(x)取到最大值ω2kπkZω112kkN又因为ω0所以ω的最小值为1因此g(x)fsin x的零点个数是8

答案 (1)A (2)112k(kN) 8

解决三角函数与其他知识的交汇问题可利用数形结合思想利用数形结合思想还可以解决以下问题:

(1)讨论含有参数的方程的解的个数问题 

(2)求三角函数解析式中含有参数的最值问题

(3)求一些特殊函数的周期

(4)利用三角函数图象对实际问题作出分析等

[对点训练]

1(2019·湖州市高三期末考试)αβαsin αβsin β0则必有(  )

Aα2β2 Bα2β2

Cαβ Dαβ

解析:B.αβαsin αβsin β0αsin αβsin β再根据yxsin x为偶函数且在上单调递增可得|α||β|α2β2故选B.

2(2019·合肥市第二次教学质量检测)已知关于x的方程(t1)cos xtsin xt2(0π)上有实根则实数t的最大值是________

解析:由题意可得1

P(cos xsin x)A(21)

kPA因为x(0π)所以-1<cos x<10<sin x1acos xbsin x则点P是上半圆a2b21(0<b1)上任意一点如图可知0kPA<1所以0<110<1t1实数t的最大值是-1.

答案:1

专题强化训练

1(2019·嵊州模拟)已知sin(πα)=-cos的值为(  )

A.       B    C.    D

解析:B.因为sin(πα)=-=-sin α

所以cos=-sin α=-.

2(2019·湖州市高三期末考试)为了得到函数ysin的图象只需将ycos 2x的图象上每一点(  )

A向右平移个单位长度

B向右平移个单位长度

C向左平移个单位长

D向左平移个单位长度

解析:B.因为ycos 2xsinsin所以ysinsin

sin

所以为了得到函数ysin的图象只需将ycos 2x的图象上每一点向右平移个单位长度即可故选B.

3已知tan3sin 2α的值为(  )

A          B.          C D.

解析:B.因为tan3所以tan α.

所以sin 2α2sin αcos α.

4(2019·金华模拟)函数f(x)Asin(ωxφ)的部分图象如图所示f的值为(  )

A        B       C D1

解析:D.由图象可得A最小正周期T4×πω2.fsin=-φf(x)sinfsinsin=-1故选D.

5(2019·宁波市高考模拟)已知函数f(x)sin xcos 2x则下列关于函数f(x)的结论中错误的是(  )

A最大值为1

B图象关于直线x=-对称

C既是奇函数又是周期函数

D图象关于点中心对称

解析:D.因为函数f(x)sin xcos 2xxf(x)取得最大值为1A正确;当x=-函数f(x)1为函数的最大值故图象关于直线x=-对称;故B正确;函数f(x)满足f(x)sin(x)·cos(2x)=-sin xcos 2x=-f(x)故函f(x)为奇函数再根据f(x2π)sin(x2π)cos[2(x2π)]sin xcos 2xf(x)的周期为2πC正确;由于ff(x)=-cos x·cos(3π2x)sin xcos 2xcos xcos 2xsin xcos 2xcos 2x(sin xcos x)0不一定成立f(x)图象不一定关于点中心对称D不正确故选D.

6已知函数f(x)2sin(ω>0)的最大值与最小正周期相同则函数f(x)[11]上的单调递增区间为(  )

A. B.

C. D.

解析:D.Tf(x)的最大值为2所以2

ω

所以f(x)2sin.

2kππx2kπ

2kx2kkZ时函数f(x)单调递增

f(x)[11]上的单调递增区间为.

7(2019·温州调研)已知函数f(x)sin(ω>0)在区间上单调递增ω的取值范围为(  )

A. B.

C. D.

解析:B.因为x所以ωx因为函数f(x)sin(ω>0)在区间上单调递增

ω>0所以0<ωB.

8(2019·宁波市高三调研)已知函数f(x)(sin xcos x)|sin xcos x|f(x)的值域是(  )

A[11] B.

C. D.

解析:C.f(x)

作出[02π]区间内f(x)的图象如图所示

f(x)的图象可得f(x)的值域为.

9(2019·宁波市高考模拟)已知函f(x)asin 2x(a1)cos 2xaR则函数f(x)的最小正周期为______振幅的最小值为________

解析:函数f(x)asin 2x(a1)cos 2xaR

化简可得:f(x)sin(2xθ)·sin(2xθ)tan θ.

函数f(x)的最小正周期Tπ.

振幅为

a=-可得振幅的最小值.

答案:π 

10已知-<α<0sin αcos αsin αcos α________

解析:sin αcos α平方可得sin2α2sin α·cos αcos2α2sin α·cos α=-因为(sin αcos α)212sin α·cos α又-<α<0所以sin α<0cos α>0所以sin αcos α<0

所以sin αcos α=-.

答案:

11已知f(x)sin 2xcos 2x若对任意实数x都有|f(x)|<m则实数m的取值范围是________

解析:因为f(x)sin 2xcos 2x

2sinx所以所以2sin(1]所以|f(x)|<所以m.

答案:[)

12函数f(x)sin2xsin xcos x1的最小正周期是________单调递减区间是________

解析:因为 f(x)sin2xsin xcos x1sin 2x1sin 2xcos 2xsin(2x)所以函数f(x)的最小正周期Tπ.2kπ2x2kπkZ解之可得函数f(x)的单调递减区间为

(kZ)

答案:π (kZ)

13(2019·太原市模拟试题)已知函数f(x)sin ωxcos ωx(ω>0)若方程f(x)=-1(0π)上有且只有四个实数根则实数ω的取值范围为________

解析:因为f(x)2sin方程2sin=-1(0π)上有且只有四个实数根sin=-(0π)上有且只有四个实数根tωx因为0<x<π所以-<t<ωπ所以<ωπ解得<ω.

答案:

14(2019·温州市高考数学模拟)设奇函数f(x)ac的值为________等式f(x)f(x)x[ππ]上的解集为________

解析:因为f(x)是奇函数

所以f(0)0

f(0)acos 0sin 0cac0

ac0

f(x)

x0则-x0

f(x)acos xsin xa

=-cos xbsin xa

a=-1b=-c1.

f(x)

0xπ

则由f(x)f(x)得-cos xsin x1cos xsin x1

cos xsin x1cos

因为0xπ所以-x

xxπ.

若-πx0

则由f(x)f(x)cos xsin x1

cos xsin x1

cos xsin x1cos

因为-πx0所以-x

则-x即-x0

综上不等式的解集为.

答案:0 

15(2019·台州市高三期末评估)已知函数f(x)sin(ωxφ)的最小正周期为πxf(x)图象的一条对称轴

(1)ωφ的值;

(2)设函数g(x)f(x)fg(x)的单调递减区

解:(1)因为f(x)sin(ωxφ)的最小正周期为π

Tπ所以ω2

2xφkπkZ

所以f(x)的图象的对称轴为xkZ.

φkπ.|φ|φ.

(2)函数g(x)f(x)fsinsin 2x

sin 2xcos 2xsin 2xsin.

所以g(x)的单调递减区间为kZ.

16(2019·宁波诺丁汉大学附中高三期中)已知函数f(x)sin(xRω0)的图象如图P是图象的最高点Q是图象的最低点|PQ|.

(1)求函数yf(x)的解析式;

(2)将函数yf(x)的图象向右平移1个单位后得到函数yg(x)的图x[02]求函数h(x)f(x)·g(x)的最大值

解:(1)Px轴的垂线PMQy轴的垂线QM则由已知得|PM|2|PQ|由勾股定理得|QM|3所以T6

T所以ω

所以函数yf(x)的解析式为f(x)sin.

(2)将函数yf(x)图象向右平移1个单位后得到函数yg(x)的图象

所以g(x)sinx.

函数h(x)f(x)·g(x)sinsin x

sin2xsinxcos x

sin x

sin.

x[02]x

所以当x

x1h(x)max.

17(2019·绿色联盟模拟)已知函数f(x)sin x·(cos xsin x)

(1)f(x)的最小正周期;

(2)若关于x的方程f(x)t在区间内有两个不相等的实数解求实数t的取值范围

解:(1)f(x)sin 2xcos 2xsin故函数f(x)的最小正周期为Tπ.

(2)关于x的方程f(x)t在区间内有两个不相等的实数解等价于yf(x)yt的图象在区间内有两个不同的交点因为x所以2x.

因为ysin x上是增函数上是减函数

所以f(x)上是增函数上是减函数

又因为f(0)0f1

f

所以t1故实数t的取值范围为.

18已知定义在区间上的函数yf(x)的图象关于直线x对称xf(x)=-sin x.

(1)作出yf(x)的图象;

(2)yf(x)的解析式;

(3)若关于x的方程f(x)a有解将方程中的a取一确定的值所得的所有解的和记为MaMa的所有可能的值及相应的a的取值范围

解:(1)yf(x)的图象如图所示

(2)任取x

x

因为函数yf(x)的图象关于直线x对称

f(x)f又当xf(x)=-sin x

f(x)f=-sin=-cos x

f(x)

(3)a=-1f(x)a的两根为0Ma;当af(x)a的四根满足x1<x2<<x3<x4由对称性得x1x20x3x4πMaπ;当a=-

f(x)a的三根满足x1<x2<x3由对称性得x3x1Ma;当af(x)a的两根为x1x2由对称性得Ma.

综上aMaπ

a=-Ma

a{1}Ma.

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