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    2020浙江高考数学二轮讲义:特色专题 高考新元素
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    2020浙江高考数学二轮讲义:特色专题 高考新元素

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    一 创新型问题
    新课程标准要求学生“对新颖的信息、情景和设问,选择有效的方法和手段收集信息,综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法,进行独立思考、探索和研究,提出解决问题的思路,创造性地解决问题.”随着改革的深入和推进,高考的改革使知识立意转向能力立意,推出了一批新颖而又别致的、具有创新意识和创新思维的新题.
    创新型试题是考查学生创新意识最好的题型之一,它对考查学生的阅读理解能力、知识迁移能力、类比猜想能力、数学探究能力等都有良好的作用.高考数学创新型试题主要是指突出能力考查的新颖问题(主要指命题的立意新、试题的背景新、问题的情景新、设问的方式新等).此类问题没有固定的模式,很难有现成的方法和套路,要求思维水平高,思维容量大,但运算量较小,求解此类问题,要求学生有临场阅读,提取信息和进行信息加工、处理的能力,灵活运用基础知识的能力和分析问题、解决问题的综合能力.

          “新定义”问题
    新定义问题是指在特定情景下,用新的数学符号或文字叙述对研究的问题进行科学的、合乎情理的定义,并在此定义下结合已学过的知识解决给出的问题——新定义问题的解题技法.求解此类问题,首先应明确新定义的实质,利用新定义中包含的内容,结合所学知识,将问题向熟悉的、已掌握的知识进行转化.
    [典型例题]
    (1)定义“规范01数列”{an}如下:{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有(  )
    A.18个   B.16个   C.14个   D.12个
    (2)设D是函数y=f(x)定义域内的一个区间,若存在x0∈D,使得f(x0)=-x0,则称x0是f(x)的一个“次不动点”,也称f(x)在区间D上存在“次不动点”.若函数f(x)=ax2-3x-a+在区间[1,4]上存在“次不动点”,则实数a的取值范围是(  )
    A.(- ∞,0] B.
    C. D.
    【解析】 (1)法一:不妨设a1=0,a8=1,a2,a3,…,a7中有3个0、3个1,且满足对任意k≤8,都有a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数,利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101,共14个.
    法二:设a1,a2,a3,…,ak中0的个数为t,则1的个数为k-t,
    由2m=8知,k≤8且t≥k-t≥0,则.
    当t=1时,k=1,2,当t=2时,k=2,3,4,
    当t=3时,k=3,4,5,6,当t=4时,k=4,5,6,7,8,
    所以“规范01数列”共有2+3+4+5=14(个).
    法三:前同法二.
    问题即是表示的区域内的整点(格点)的个数,
    如图整点(格点)为2+3+4+5=14(个),即“规范01数列”共有14个.

    (2)方程ax2-3x-a+=-x在区间[1,4]上有解,显然x≠1,所以方程ax2-3x-a+=-x在区间(1,4]上有解,即求函数a=在区间(1,4]上的值域,
    令t=4x-5,则t∈(-1,11],a=,当t∈(-1,0]时,a≤0;
    当t∈(0,11]时,0 综上,实数a的取值范围是,故选C.
    【答案】 (1)C (2)C
    [对点训练]
    1.定义“上升数”是一个数中右边的数字比左边的数字大的自然数(如123,568,2479等),任取一个两位数,这个两位数为“上升数”的概率为(  )
    A. B. C. D.
    解析:选B.两位数10,11,12,…,99共90个,其中十位数为1的“上升数”为12,13,…,19共8个,十位数为2的“上升数”为23,24,…,29共7个,…十位数为8的“上升数”为89,只有1个,则所有两位数中的“上升数”共8+7+6+…+1==36个,则两位数为“上升数”的概率P==,选B.
    2.(经典考题)定义“函数y=f(x)是D上的a级类周期函数”如下:函数y=f(x),x∈D,对于给定的非零常数a,总存在非零常数T,使得定义域D内的任意实数x都有af(x)=f(x+T)恒成立,此时T为f(x)的周期.若y=f(x)是[1,+∞)上的a级类周期函数,且T=1,当x∈[1,2)时,f(x)=2x(2x+1),且y=f(x)是[1,+∞)上的单调递增函数,则实数a的取值范围为(  )
    A. B.[2,+∞)
    C. D.[10,+∞)
    解析:选C.因为x∈[1,2)时,f(x)=2x(2x+1),
    所以当x∈[2,3)时,f(x)=af(x-1)=a·2x-1(2x-1),当x∈[n,n+1)时,f(x)=af(x-1)=a2f(x-2)=…=an-1f(x-n+1)=an-1·2x-n+1(2x-2n+3),即x∈[n,n+1)时,f(x)=an-1·2x-n+1(2x-2n+3),n∈N*,同理,当x∈[n-1,n)时,f(x)=an-2·2x-n+2(2x-2n+5),n∈N*.因为f(x)在[1,+∞)上单调递增,所以a>0且an-1·2n-n+1(2n-2n+3)≥an-2·2n-n+2·(2n-2n+5),解得a≥.故选C.
    3.(经典考题)设S为实数集R的非空子集,若对任意x,y∈S,都有x+y,x-y,xy∈S,则称S为封闭集.下列命题:①集合S={a+b|a,b为整数}为封闭集;②若S为封闭集,则一定有0∈S;③封闭集一定是无限集;④若S为封闭集,则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集.其中的真命题是__________.(写出所有真命题的序号)
    解析:对于整数a1,b1,a2,b2,有a1+b1+a2+b2=(a1+a2)+(b1+b2)∈S,a1+b1-(a2+b2)=(a1-a2)+(b1-b2)∈S,(a1+b1)·(a2+b2)=(a1a2+3b1b2)+(a1b2+a2b1)∈S,所以①正确.
    若S为封闭集,且存在元素x∈S,那么必有x-x=0∈S,即一定有0∈S,所以②正确.
    当S={0}时,S为封闭集,所以③错误.
    取S={0},T={0,1,2,3}时,显然2×3=6∉T,所以④错误.
    答案:①②

    “新运算”问题
    新运算问题是在原有运算的基础上定义了一种新运算,在准确把握信息本质的基础上,将这种新运算转化为早已熟悉的运算,从而进一步运用已有的知识去分析、解决问题.
    [典型例题]
    (经典考题)当x≠1且x≠0时,数列{nxn-1}的前n项和Sn=1+2x+3x2+…+nxx-1(n∈N*)可以用数列求和的“错位相减法”求得,也可以由x+x2+x3+…+xn(n∈N*)按等比数列的求和公式,先求得x+x2+x3+…+xn=,两边都是关于x的函数,两边同时求导,(x+x2+x3+…+xn)′=′,从而得到Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1=,按照同样的方法,请从二项展开式(1+x)n=1+Cx+Cx2+…+Cxn出发,可以求得,Sn=1×2×C+2×3×C+3×4×C+…+n(n+1)×C(n≥4)的值为________.(请填写最简结果).
    【解析】 依题意,对(1+x)n=1+Cx+Cx2+Cx3+…+Cxn两边同时求导,得n(1+x)n-1=C+2Cx+3Cx2+…+nCxn-1,①
    取x=1,得C+2C+3C+…+nC=n×2n-1,②
    ②×2得,2C+2×2C+2×3C+…+2nC=n×2n,③
    再对①式两边同时求导, 得n(n-1)(1+x)n-2=1×2C+2×3Cx+…+n(n-1)Cxn-2,取x=1,得1×2C+2×3C+…+n(n-1)C=n(n-1)×2n-2,④
    ③+④得1×2C+2×3C+3×4C+…+n(n+1)C=n×2n+n(n-1)×2n-2=n(n+3)×2n-2.
    【答案】 n(n+3)×2n-2
    [对点训练]
    1.(经典考题)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令a⊙b=mq-np.下面说法错误的是(  )
    A.若a与b共线,则a⊙b=0
    B.a⊙b=b⊙a
    C.对任意的λ∈R,有(λa)⊙b=λ(a⊙b)
    D.(a⊙b)2+(a·b)2=|a|2|b|2
    解析:选B.若a=(m,n)与b=(p,q)共线,则mq-np=0,依运算“⊙”知a⊙b=0,故A正确,由于a⊙b=mq-np,又b⊙a=np-mq,因此a⊙b=-b⊙a,故B不正确.由于λa=(λm,λn),因此(λa)⊙b=λmq-λnp,又λ(a⊙b)=λ(mq-np)=λmq-λnp,故C正确.(a⊙b)2+(a·b)2=m2q2-2mnpq+n2p2+(mp+nq)2=m2(p2+q2)+n2(p2+q2)=(m2+n2)(p2+q2)=|a|2|b|2,故D正确.
    2.(经典考题)设数列{an}的前n项和为Sn.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得Sn=am,则称{an}是“H数列”.
    (1)若数列{an}的前n项和Sn=2n(n∈N*),证明:{an}是“H数列”;
    (2)设{an}是等差数列,其首项a1=1,公差d<0.若{an}是“H数列”,求d的值.
    解:(1)证明:由已知,当n≥1时,an+1=Sn+1-Sn=2n+1-2n=2n.
    于是对任意的正整数n,总存在正整数m=n+1,使得Sn=2n=am.
    所以{an}是“H数列”.
    (2)由已知,得S2=2a1+d=2+d.
    因为{an}是“H数列”,
    所以存在正整数m,使得S2=am,
    即2+d=1+(m-1)d,于是(m-2)d=1.
    因为d<0,所以m-2<0,故m=1.从而d=-1.
    当d=-1时,an=2-n,Sn=是小于2的整数,n∈N*.于是对任意的正整数n,总存在正整数m=2-Sn=2-,使得Sn=2-m=am,所以{an}是“H数列”.因此d的值为-1.
    二 古代算术与现代高考
    我国是有着五千年文明的古国,具有丰富的文化基础,在数学领域里具有深厚的数学渊源,其中《九章算术》中的一些理论推动着当今科学和数学的发展,随着我国经济建设蓬勃发展,现今部分高考数学试题也在古代算术的基础上,结合现代高考元素应运而生,这些试题是古代算术与现代高考结合的经典范例,是传统文化与现代科学的有机融合.
    [典型例题]
    (1)(2018·高考浙江卷)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题:“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x,y,z,则当z=81时,x=______,y=______.
    (2)(经典考题)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6=________.
    【解析】 (1)因为z=81,所以解得
    (2)如图,单位圆内接正六边形由六个边长为1的正三角形组成,所以,正六边形的面积S6=6××1×=.
    【答案】 (1)8 11 (2)
    [对点训练]
    1.(名师原创)《九章算术》是我国古代数学名著,在其中有道 “竹九问题”:“今有竹九节,下三节容量四升,上四节容量三升.问中间二节欲均容各多少?”意思为:今有竹九节,下三节容量之和为4升,上四节容量之和为3升,且每一节容量变化均匀(即每节容量成等差数列).问每节容量各为多少?在这个问题中,中间一节的容量为(  )
    A.           B.
    C. D.
    解析:选C.设从最下节往上的容量构成等差数列{an}, 公差为d.则,
    即,
    解得a1=,d=-.
    中间为第五节,
    即a5=a1+4d=+4×(-)=.故选C.
    2.(名师原创)《九章算术》是我国古代著名数学经典.其中对勾股定理的论述比西方早一千多年,其中有这样一个问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?”其意为:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯该材料,锯口深1寸,锯道长1尺.问这块圆柱形木料的直径是多少?长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中,截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦AB=1尺,弓形高CD=1寸,估算该木材镶嵌在墙中的体积约为(  )
    (注:1丈=10尺=100寸,π≈3.14,sin 22.5°≈)
    A.600立方寸 B.610立方寸
    C.620立方寸 D.633立方寸
    解析:选D.连接OA、OB,OD,

    设⊙Ο的半径为R,
    则(R-1)2+52=R2,
    所以R=13.
    sin∠AOD==.
    所以∠AOD=22.5°,
    即 ∠AOB=45°.
    所以S弓形ACB=S扇形OACB-S△OAB=-×10×12≈6.33平方寸.
    所以该木材镶嵌在墙中的体积为
    V=S弓形ACB×100≈633立方寸.选D.
    3.(名师原创)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:寸)

    若π取3,其体积为12.6(立方寸),则图中的x为________.
    解析:由三视图知,商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成.由题意得:(5.4-x)×3×1+π·()2x=12.6,解得x=1.6.
    答案: 1.6
    三 学科间的渗透
    数学是自然科学的皇后,这是德国大数学家高斯提出的,说明了数学与自然科学的关系十分密切,数学知识经常渗透到各学科领域,彰显出数学学科应用于人们生活生产中的伟大魅力.
    [典型例题]
    放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M(单位:太贝克)与时间t(单位:年)满足函数关系:M(t)=M02-,其中M0为t=0时铯137的含量.已知t=30时,铯137含量的变化率是-10ln 2(太贝克/年),则M(60)=(  )
    A.5太贝克        B.75ln 2太贝克
    C.150ln 2太贝克 D.150太贝克
    【解析】 因为M′(t)=-ln 2×M02-,
    所以M′(30)=-ln 2×M02-=-10ln 2,
    解得M0=600,所以M(t)=600×2-,
    所以t=60时,铯137的含量为M(60)=600×2-=600×=150(太贝克),故选D.
    【答案】 D
    [对点训练]
    1.(名师原创)核糖核酸(RNA)分子是在生物细胞中发现的化学成分,一个RNA分子是一个有着数百个至数千个位置的长链,长链中每一个位置上都由四种不同的碱基A,C,G,U占据,各种碱基能够以任意次序出现,若有一类RNA分子由100个碱基组成,则共有多少种不同的RNA分子(  )
    A.400种  B.1004种 C.4100种  D.A种
    解析:选C.100个碱基组成的长链共有100个位置,每个位置从A、C、G、U中任选一个填入,有4种方法.
    所以共有不同的RNA分子的个数为=4100.故选C.
    2.正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,AE=BF=.动点P从E出发沿直线向F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为(  )
    A.8    B.6 C.4    D.3
    解析:选B.利用图形进行求解.因为反弹时反射角等于入射角,所以∠1=∠2.
    又因为tan∠1==2,
    所以tan∠2=2.
    又tan∠2=,所以HC=,所以DG=.从此以后,小球的反射线必与EF或FG平行,由图可知,P与正方形的边碰撞的次数为6.
    3.里氏震级M的计算公式为:M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为__________级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的__________倍.
    解析:当A0=0.001,A=1 000时,
    M=lg A-lg A0=lg 1 000-lg 0.001=lg=lg 106=6;
    设9级地震的最大振幅是A9,5级地震的最大振幅是A5,则9=lg A9-lg A0,5=lg A5-lg A0,所以lg A9-lg A5=4,即lg=4,所以=104=10 000. 
    答案:6 10 000

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