2020新课标高考数学二轮讲义：第三部分回顾6解析几何


回顾6　解析几何
[必记知识]
1．直线方程的五种形式
(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．
(2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．
(3)两点式：＝(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．
(4)截距式：＋＝1(a，b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．
(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)．
2．直线的两种位置关系
当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：
(1)两直线平行l1∥l2⇔k1＝k2.
(2)两直线垂直l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.

[提醒]　当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略.

3．三种距离公式
(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离
|AB|＝.
(2)点到直线的距离d＝(其中点P(x0，y0)，直线方程为Ax＋By＋C＝0)．
(3)两平行线间的距离d＝(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l1：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2)．

[提醒]　应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系数应对应相等.

4．圆的方程的两种形式
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．
5．直线与圆、圆与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法．
(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法．


6．椭圆的标准方程及几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
几
何
性
质
图形


范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性
对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)；
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)；
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
线段A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴；长轴长为2a，短轴长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
焦距与长轴长的比值：e∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2


[提醒]　椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的圆扁程度.因为a2＝b2＋c2，所以＝，因此，当e越趋近于1时，越趋近于0，椭圆越扁；当e越趋近于0时，越趋近于1，椭圆越接近于圆.所以e越大椭圆越扁；e越小椭圆越圆，当且仅当a＝b，c＝0时，椭圆变为圆，方程为x2＋y2＝a2（a＞0）.

7．双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
－＝1
(a＞0，b＞0)
－＝1
(a＞0，b＞0)
图形


几
何
性
质
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称性
对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
焦距与实轴长的比值：e∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±x
y＝±x
a，b，c的关系
a2＝c2－b2


[提醒]　(1)离心率e的取值范围为(1，＋∞).当e越接近于1时，双曲线开口越小；当e越接近于＋∞时，双曲线开口越大.
(2)满足||PF1|－|PF2||＝2a的点P的轨迹不一定是双曲线，当2a＝0时，点P的轨迹是线段F1F2的中垂线；当0＜2a＜|F1F2|时，点P的轨迹是双曲线；当2a＝|F1F2|时，点P的轨迹是两条射线；当2a＞|F1F2|时，点P的轨迹不存在.


8．抛物线的标准方程及几何性质
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
图形




几何性质
对称轴
x轴
y轴
顶点
O(0，0)
焦点
F
F
F
F
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
离心率
e＝1

[必会结论]
1．与圆的切线有关的结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则过A，B两点的直线方程为x0x＋y0y＝r2.
(4)过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)外一点P(x0，y0)引圆的切线，切点为T，则|PT|＝.
(5)过圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)外一点P(x0，y0)作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在的直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(6)若圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，则过圆外一点P(x0，y0)的切线长d＝.
2．椭圆中焦点三角形的相关结论
由椭圆上一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正、余弦定理．
以椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c，0)，F2(c，0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则
(1)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0(焦半径公式)，|PF1|＋|PF2|＝2a.(e为椭圆的离心率)
(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ.
(3)S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取得最大值，为bc.
(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
3．双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1)若双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则渐近线的方程为－＝0，即y＝±x.
(2)若渐近线的方程为y＝±x(a＞0，b＞0)，即±＝0，则双曲线的方程可设为－＝λ.
(3)若所求双曲线与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有公共渐近线，其方程可设为－＝λ(λ＞0，焦点在x轴上；λ＜0，焦点在y轴上)．
4．双曲线常用的结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.
(4)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则kPA·kPB＝，S△PF1F2＝，其中θ为∠F1PF2.
(5)P是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标恒为a.
5．抛物线焦点弦的相关结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为直线AB的倾斜角，则
(1)焦半径|AF|＝x1＋＝，|BF|＝x2＋＝.
(2)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝.
(4)＋＝.
(5)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(6)S△OAB＝(O为抛物线的顶点)．
[必练习题]
1．过圆x2＋y2－x－y＋＝0的圆心，且倾斜角为的直线方程为(　　)
A．x－2y＝0　　　　　 B．x－2y＋3＝0
C．x－y＝0 D．x－y＋1＝0
解析：选C.由题意知圆的圆心坐标为，所以过圆的圆心，且倾斜角为的直线方程为y＝x，即x－y＝0.
2．圆心为(4，0)且与直线x－y＝0相切的圆的方程为(　　)
A．(x－4)2＋y2＝1 B．(x－4)2＋y2＝12
C．(x－4)2＋y2＝6 D．(x＋4)2＋y2＝9
解析：选B.由题意，知圆的半径为圆心到直线x－y＝0的距离，即r＝＝2，结合圆心坐标可知，圆的方程为(x－4)2＋y2＝12，故选B.
3．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近方程为(　　)
A．y＝±2x B．y＝±4x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选C.由题意得e＝＝，又a2＋b2＝c2，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，选C.
4．设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且∠CBA＝，若|AB|＝4，|BC|＝，则椭圆的两个焦点之间的距离为(　　)
A． B．
C． D．

解析：选A.不妨设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，如图，由题意知，2a＝4，a＝2，因为∠CBA＝，|BC|＝，所以点C的坐标为(－1，1)，因为点C在椭圆上，所以＋＝1，所以b2＝，所以c2＝a2－b2＝4－＝，c＝，则椭圆的两个焦点之间的距离为.
5．已知⊙M经过双曲线S：－＝1的一个顶点和一个焦点，圆心M在双曲线S上，则圆心M到原点O的距离为(　　)
A．或 B．或
C． D．
解析：选D.因为⊙M经过双曲线S：－＝1的一个顶点和一个焦点，圆心M在双曲线S上，所以⊙M不可能过异侧的顶点和焦点，不妨设⊙M经过双曲线的右顶点和右焦点，则圆心M到双曲线的右焦点(5，0)与右顶点(3，0)的距离相等，所以xM＝4，代入双曲线方程可得yM＝± ＝±，所以|OM|＝＝，故选D.
6．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选D.易知直线AB的方程为y＝，与y2＝3x联立并消去x得4y2－12y－9＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝3，y1y2＝－，S△OAB＝|OF|·|y1－y2|＝×＝＝.故选D.
7．已知双曲线－＝1(a＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为4，则双曲线的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解析：选D.根据对称性，不妨设点A在第一象限，A(x，y)，则解得因为四边形ABCD 的面积为4，所以4xy＝＝4，解得a＝2，故双曲线的方程为－＝1，选D.
8．已知圆C1：(x－1)2＋y2＝2与圆C2：x2＋(y－b)2＝2(b＞0)相交于A，B两点，且|AB|＝2，则b＝________．
解析：由题意知C1(1，0)，C2(0，b)，半径r1＝r2＝，所以线段AB和线段C1C2相互垂直平分，则|C1C2|＝2，即1＋b2＝4，又b＞0，故b＝.
答案：
9．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，以原点O为圆心，短半轴长为半径作圆O，过椭圆的长轴的一端点P作圆O的两条切线，切点为A，B，若四边形PAOB为正方形，则椭圆的离心率为________．


解析：如图，因为四边形PAOB为正方形，且PA，PB为圆O的切线，所以△OAP是等腰直角三角形，故a＝b，所以e＝＝.
答案：
10．已知抛物线C1：y＝x2(p＞0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝________．
解析：由题意知，经过第一象限的双曲线的渐近线方程为y＝x.抛物线的焦点为F1，双曲线的右焦点为F2(2，0)．又y′＝x，故抛物线C1在点M处的切线的斜率为，即x0＝，所以x0＝p，又点F1，F2(2，0)，M三点共线，所以＝，即p＝.
答案：