2020新课标高考数学二轮讲义：第三部分回顾7概率与统计

回顾7　概率与统计

[必记知识]

1．分类加法计数原理

完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，…，在第n类办法中有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法(也称加法原理)．

2．分步乘法计数原理

完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，…，做第n步有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种方法(也称乘法原理)．

3．排列数、组合数公式及其相关性质

(1)排列数公式

A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(m≤n，m，n∈N*)，A＝n！＝n(n－1)(n－2)…·2·1(n∈N*)．

[提醒]　（1）在这个公式中m，n∈N*，且m≤n，并且规定0！＝1，当m＝n时，A＝n！.

（2）A＝主要有两个作用：①利用此公式计算排列数；②对含有字母的排列数的式子进行变形时常使用此公式.)

(2)组合数公式

C＝＝＝(m≤n，n，m∈N*)．

[提醒]　(1)公式C＝主要有两个作用：①利用此公式计算组合数；②对含有字母的组合数的式子进行变形和证明时，常用此公式.

(2)组合数的性质,C＝C（m≤n，n，m∈N*），C＝C＋C（m≤n，n，m∈N*）.

(3)排列数与组合数的联系,A＝CA.

4．二项式定理

(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中各项的系数C(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数．式中的Can－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项：Tk＋1＝Can－kbk(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*)．

5．二项展开式形式上的特点

(1)项数为n＋1.

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.

(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.

(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.

[提醒]　对于二项式定理应用时要注意

(1)区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正.

(2)运用通项求展开的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出k，再求所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和k的取值范围及它们之间的大小关系.

(3)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.

(4)在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待a，b.

6．概率的计算公式

(1)古典概型的概率公式

P(A)＝；

(2)互斥事件的概率计算公式

P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；

(3)对立事件的概率计算公式

P(A)＝1－P(A)．

7．统计中四个数据特征

(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据；

(2)中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数；

(3)平均数：样本数据的算术平均数，

即＝(x1＋x2＋…＋xn)；

(4)方差与标准差

方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．

标准差：

s＝.

8．二项分布

(1)相互独立事件的概率运算

①事件A，B相互独立⇔P(AB)＝P(A)P(B)．

②若事件A1，A2，…，An相互独立，则这些事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．

③事件A，B相互独立，则和，A与，与B也相互独立．

(2)条件概率P(B|A)＝的性质

①0≤P(B|A)≤1.

②若B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．

③若A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．

(3)二项分布

如果在每次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(ξ＝k)＝Cpkqn－k，其中k＝0，1，…，n，q＝1－p，于是得到随机变量ξ的概率分布列如下：

我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并称p为成功概率．

[提醒]　在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，此时称随机变量X服从超几何分布.

9．正态分布

(1)正态分布的定义及表示

如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝φμ，σ(x)dx(即直线x＝a，直线x＝b，正态曲线及x轴围成的曲边梯形的面积)，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.

(2)正态曲线的特点

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交．

②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．

③曲线在x＝μ处达到峰值 .

④曲线与x轴之间的面积为1.

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．

⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．

[提醒]　P（X≤a）＝1－P（X＞a）；P（X≤μ－a）＝P（X≥μ＋a）；P（a＜X＜b）＝P（X＜b）－P（X≤a）.

[必会结论]

1．求解排列问题常用的方法

2.二项式系数的性质

(1)对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C.

(2)增减性与最大值：二项式系数C，当k＜时，二项式系数逐渐增大；当k＞时，二项式系数逐渐减小．当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数最大．

(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋…＋C＝2n.

(4)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1.

3．均值与方差的性质结论

(1)均值的性质结论

①E(k)＝k(k为常数)．

②E(aX＋b)＝aE(X)＋b.

③E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．

④若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．

(2)方差的相关性质结论

①D(k)＝0(k为常数)．

②D(aX＋b)＝a2D(X)．

③D(X)＝E(X2)－[E(X)]2.

④若X1，X2，…，Xn两两独立，则D(X1＋X2＋…＋Xn)＝D(X1)＋D(X2)＋…＋D(Xn)．

(3)两点分布与二项分布的均值与方差

①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．　

②若随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．

[必练习题]

1．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值为(　　)

A．62，62.5　　　　　　 B．65，62

C．65，63.5 D．65，65

解析：选D.由图易知最高的矩形为第三个矩形，所以时速的众数为65.前两个矩形的面积为(0.01＋0.02)×10＝0.3，由于0.5－0.3＝0.2，则×10＝5，所以中位数为60＋5＝65.故选D.

2．在的展开式中，x的幂指数是非整数的项共有(　　)

A．18项 B．19项

C．20项 D．21项

解析：选C.展开式的通项公式为Tr＋1＝C(x)24－r·(x－)r＝Cx12－r(0≤r≤24，r∈N)，若x的幂指数是整数，则12－r为整数，所以r＝0，6，12，18，24，共可取5个值，因为的展开式中有25项，所以x的幂指数是非整数的项共有25－5＝20项，故选C.

3．如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是(　　)

A．7 B．－7

C．21 D．－21

解析：选C.因为的展开式中各项系数之和为128，所以令x＝1，则2n＝128，解得n＝7，所以的展开式中第r＋1项为Tr＋1＝C(3x)7－r＝(－1)rC37－rx7－，令7－r＝－3，解得r＝6，所以的系数为(－1)6C×3＝21.故选C.

4．(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)

A．－80 B．－40

C．40 D．80

解析：选C.由二项式定理可得，展开式中含x3y3的项为x·C(2x)2(－y)3＋y·C(2x)3(－y)2＝40x3y3，则x3y3的系数为40.

5．从6个盒子中选出3个来装东西，且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有(　　)

A．16种 B．18种

C．22种 D．37种

解析：选A.可分为两类，第一类：甲、乙两个盒子恰有一个被选中，有CC＝12种；第二类：甲、乙两个盒子都被选中，有CC＝4种，所以共有12＋4＝16种不同的情况，故选A.

6．某彩票公司每天开奖一次，从1，2，3，4四个号码中随机开出一个作为中奖号码，开奖时如果开出的号码与前一天的相同，就要重开，直到开出与前一天不同的号码为止．如果第一天开出的号码是4，那么第五天开出的号码也同样是4的所有可能的情况有(　　)

A．14种 B．21种

C．24种 D．35种

解析：选B.第一天开出4，第五天同样开出4，则第二天开出的号码有3种情况，如果第三天开出的号码是4，则第四天开出的号码有3种情况；如果第三天开出的号码不是4，则第四天开出的号码有2种情况，所以满足条件的情况有3×1×3＋3×2×2＝21种．

7．编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在4号，5号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，则不同的放法的种数为________．

解析：根据A球所在的位置可分三类：(1)若A球放在1号盒子内，则B球只能放在2号盒子内，余下的三个盒子放C，D，E球，有3×2×1＝6种不同的放法．(2)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在2号盒子内，余下的三个盒子放C，D，E球，有3×2×1＝6种不同的放法．(3)若A球放在2号盒子内，则B球可以放在1号，3号，4号中的任何一个盒子内，余下的三个盒子放C，D，E球，有3×3×2×1＝18种不同的放法．综上可得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．

答案：30

8．已知某口袋中装有除颜色外其余完全相同的2个白球和3个黑球，现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球(即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球)．记换好后袋中的白球个数为X，则X的数学期望E(X)＝________，方差D(X)＝________．

解析：依题意可知X的可能取值为1，3，且P(X＝1)＝，P(X＝3)＝.故X的分布列为

所以E(X)＝1×＋3×＝，D(X)＝×＋×＝.

答案：