2021年中考数学二轮专题培优 一元二次方程50题（含答案）

2021年中考数学二轮专题培优 一元二次方程50题

一、选择题

1.若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24=0的一个根，则该菱形ABCD的周长为(　　)

A．16     B．24        C．16或24       D．48

2.已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2=0的两根，则m的值是(　　)

A．34      B．30        C．30或34       D．30或36

3.关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0的两个实数根的平方和为12，则m的值为(　　)

A．m=﹣2       B．m=3      C．m=3或m=﹣2      D．m=﹣3或m=2

4.若一元二次方程x2-2x-m=0无实数根，则一次函数y=(m+1)x+m-1的图象不经过第(　 　)象限.

A.四       B.三 　　              C.二     　      　D.一

5.小明、小亮、小梅、小花四人共同探究代数式x2-4x+5的值的情况，他们作了如下分工：小明负责找值为1时的x值，小亮负责找值为0时的x值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值。几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是(    )

A.小明认为只有当x=2时，x2-4x+5的值为1；

B.小亮认为找不到实数x，使x2-4x+5的值为0；

C.小花发现当取大于2的实数时，x2-4x+5的值随x的增大而增大，因此认为没有最大值

D.小梅发现x2-4x+5的值随x的变化而变化，因此认为没有最小值；

6.若实数a，b(a≠b)分别满足方程a2﹣7a+2=0，b2﹣7b+2=0，则的值为(　　)

A.22.5                 B.24.5              C.22.5或2             D.24.5或2

7.若关于x的一元二次方程x2－3x＋p=0(p≠0)的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2－ab＋b2=18，则＋的值是(   )

A.3              B.－3                   C.5                    D.－5

8.已知a≥2，m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，则(m﹣1)2+(n﹣1)2最小值是（     ）

A．6            B．3             C．﹣3               D．0

9.三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2－6x+8=0的解,则这个三角形的周长是（         ）．

A.8            B.8或10              C.10               D.8和10

10.已知方程x2+(2k+1)x+k2-2=0的两实根的平方和等于11,则k的取值是(  )

A.-3或1                                          B.-3   C.1                                          D.3

11.若α，β是方程x2+2x﹣2019=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（  ）

A．2019                    B．2017                    C．﹣2019                      D．4038

12.根据下列表格对应值：

判断关于x的方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是（     ）

A.x＜3.24                  B.3.24＜x＜3.25  C.3.25＜x＜3.26   D.3.25＜x＜3.28

13.如果关于x的一元二次方程k2x2﹣(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（       ）

A.k＞-0.25                  B.k＞-0.25且k≠0                  C.k＜-0.25                 D.k≥-0.25且k≠0

14.已知函数y=kx+b的图象如图所示,则一元二次方程x2+x+k-1=0根的存在情况是 (  )

A.没有实数根   B.有两个相等的实数根  C.有两个不相等的实数根  D.无法确定

15.若a•b≠1，且有2a2+5a+1=0，b2+5b+2=0，则的值为（      ）

    A.          B.          C.           D.

16.已知m,n是关于 的一元二次方程x2-3x+a=0的两个解，若(m-1)(n-1)=-6,则的值为（    ）

  A.-10         B.4             C.-4                 D.10   

17.若实数a≠b,且a，b满足a2﹣8a+5=0,b2﹣8b+5=0,则代数式的值为（    ）

   A.﹣20               B.2               C.2或﹣20               D.2或20

18.已知x为实数，且满足(x2＋3x)2＋2(x2＋3x)-3=0，那么x2＋3x的值为(   ）    

  A.1          B.-3或1        C.3             D.-1或3

19.已知a，b是方程x2+2013x+1=0的两个根，则(1+2015a+a2)(1+2015b+b2)的值为（     ）

     A.1            B.2           C.3            D.4

20.设关于x的一元二次方程(x-1)(x-2)=m(m>0)的两实根分别为ɑ,β，且ɑ<β,则ɑ,β满足（    ）

  A.1＜α＜β＜2     B.1＜α＜2＜β         C.α＜1＜β＜2      D.α＜1且β＞2

二、填空题

21.已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则(x1﹣1)2+(x2﹣1)2的最小值是　   　.

22.关于x的方程x2﹣(2m﹣1)x+m2﹣1=0的两实数根为x1，x2，且x12+x22=3，则m=________.  

23.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2-7x+12=0 的一个根，则菱形ABCD周长为    .

24.若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为　   　．

25.已知α、β是一元二次方程x2﹣2x﹣2=0的两实数根，则代数式（α﹣2）（β﹣2）=　　　　．

26.已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，则代数式3m2﹣n2﹣8m+1的值等于　　　　　　．

27.若关于x的方程有两个实数根x1、x2，则的最小值为   .

28.如图，将矩形沿图中虚线（其中x＞y）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形．若y=2，则x的值等于              ．

29.设x1、x2是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个根，2x1（x22+5x2﹣3）+a=2，则a=______．

30.对于实数a，b，定义运算“⊗”：，例如：5⊗3，因为5＞3，所以5⊗3=5×3﹣32=6．若x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+8=0的两个根，则x1⊗x2=        ．

31.已知关于x的方程x2-(a+b)x+ab-1=0,x1,x2是此方程的两个实数根,现给出三个结论:①x1≠x2;②x1x2<ab;③x12+x22< a2+ b2.则正确结论的序号是     .(填上你认为正确结论的所有序号)

32.若+|b﹣1|=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有实数根，则k的取值范围是   ．

33.已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2=          

34.已知实数m、n满足m2=2﹣2m，n2=2﹣2n，则+=        ．

35.关于的方程x2+2(k+1)x+k2=0两实根之和为m,且满足m=﹣2(k+1),关于y的不等式组有实数解,则k的取值范围是          ．

36.若一元二次方程ax2+bx+1=0有两个相同的实数根，则a2-b2+5的最小值为__________.

37.设α，β是方程x2﹣x﹣2019=0的两个实数根，则α3﹣2021α﹣β的值为　   　；

38.若关于x的方程（3+a）x2﹣5x+1=0有实数根，则整数a的最大值      ．

39.关于x的方程(m-2)x2+2x+1=0有实数根，则偶数m的最大值为      .

40.已知平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+0.5m-0.25=0的两个实数根．当m=    时，四边形ABCD是菱形．

三、解答题

41.如图，九年级学生要设计一幅幅宽20cm、长30cm的图案，其中有宽度相等的一横两竖的彩条.如果要使彩条所占的面积是图案的一半.求彩条的宽度.

42.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元 ，但一天产量减少5件．

（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；

（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．

43.某校在基地参加社会实践话动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境：

请根据上面的信息，解决问题：

（1）设AB=x米（x＞0），试用含x的代数式表示BC的长；

（2）请你判断谁的说法正确，为什么？

44.某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．

（1）若商场要求该服装部每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

（2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多．

45.如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．

（1）设通道的宽度为x米，则a=      （用含x的代数式表示）；

（2）若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米．请问通道的宽度为多少米？

46.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如右图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．

⑴若苗圃园的面积为72平方米，求x；

⑵若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；

⑶当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．

47.某农户计划利用现有的一面墙(墙长8米),再修四面墙,建造如图所示的长方体水池,培育不同品种的鱼苗.他已备足可以修高为1.5m、长18m的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为xm，即AD=EF=BC=xm.(不考虑墙的厚度)

(1)若想水池的总容积为36m3，x应等于多少？

(2)求水池的总容积V与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；

(3)若想使水池的总容积V最大，x应为多少？最大容积是多少？

48.如图,利用一面足够长的墙,用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD,在AB和BC边各有一个2米宽的小门(不用铁栅栏),设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB(且AB>AD)．

（1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB；在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则 AD、AB 的长应分别为多少米？

49.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm．

（1）若花园的面积为192m2，求x的值；

（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求x取何值时，花园面积S最大，并求出花园面积S的最大值．

50.为了推进节能减排，发展低碳经济，温州市某公司以 25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品的成本价为每件20元，经过市场调研发现，该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y=25﹣0.5x，其中销售单价不低于25元且不高于45元．（第一年年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本，第二年年获利=年销售收入﹣生产成本）

（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？

（2）求该公司第一年的年获利w（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，由于投资金额较大，投资的第一年，该公司最小亏损是多少万元？并求此时的销售单价为多少元？

参考答案

1.答案为：B

2.答案为：A.

3.答案为：A.

4.答案为：D

5.答案为：D

6.答案为：A.

7.D

8.A

9.C

10.C

11.B

12.B

13.B

14.C

15.A

16.C

17.A

18.A

19.D

20.D

21.答案为：8.

22.答案为：0.

23.答案为：16

24.答案为：．

25.答案为：﹣2．

26.答案为：﹣1．

27.答案为：

28.答案为： +1．

29.答案为：8．

30.4

【解析】由于x1+x2=3，x1•x2=-2，∴（x1-2）（x2-2）=x1x2-2（x1+x2）+4=-2-2×3+4=-4．

31.正确的结论序号是①②.

32.解：∵ +|b﹣1|=0，∴a=4，b=1，则原方程为kx2+4x+1=0，

∵该一元二次方程有实数根，∴△=16﹣4k≥0，解得，k≤4．

∵方程kx2+ax+b=0是一元二次方程，∴k≠0，故答案为k≤4且k≠0．

33.答案为：25__．

34.答案为：﹣4或2．

35.答案：﹣0.5≤k＜1．

36.答案为：1；

37.答案为：2018.

38.答案为：3．

39.答案为：2；

40.答案为：1．

41.解：设彩条的宽为xcm，

则有(30﹣2x)(20﹣x)=20×30÷2，

解得x1=5，x2=30(舍去).

答：彩条宽5cm.

42.解：

（1）∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天生产量减少5件．

∴第x档次，提高的档次是x﹣1档．

∴y=[6+2（x﹣1）][95﹣5（x﹣1）]，

即y=﹣10x2+180x+400（其中x是正整数，且1≤x≤10）；

（2）由题意可得：﹣10 x2+180x+400=1120

整理得：x2﹣18x+72=0

解得：x1=6，x2=12（舍去）．

答：该产品的质量档次为第6档．

43.解：

（1）设AB=x米，可得BC=69+3﹣2x=72﹣2x；

（2）小英说法正确；

矩形面积S=x（72﹣2x）=﹣2（x﹣18）2+648，

∵72﹣2x＞0，

∴x＜36，

∴0＜x＜36，

∴当x=18时，S取最大值，此时x≠72﹣2x，

∴面积最大的不是正方形．

44.解：

（1）设每件应降价x元，由题意可列方程为（40－x）·（30+2x）=1200，

    解得x1=0，x2=25，

    当x=0时，能卖出30件；

    当x=25时，能卖出80件．

    根据题意，x=25时能卖出80件，符合题意．

    故每件衬衫应降价25元．

（2）设商场每天盈利为W元．

W=（40－x）（30+2x）

=－2x2+50x+1200

=－2（x2－25x）+1200

=－2（x－12.5）2+1512.5

当每件衬衫降价为12.5元时，商场服装部每天盈利最多，为1512.5元．

45.解：（1）设通道的宽度为x米，

则a=；故答案为：

（2）根据题意得，（50﹣2x）（60﹣3x）﹣x•=2430，

解得x1=2，x2=38（不合题意，舍去）．

46.解：(1)苗圃园与墙平行的一边长为(30－2x)米．依题意可列方程

   x(30－2x)＝72，即x2－15x＋36＝0．

解得x1＝3，x2＝12．

(2)依题意，得8≤30－2x≤18．解得6≤x≤11．

面积S＝x(30－2x)＝－2(x－)2＋(6≤x≤11)．

①当x＝时，S有最大值，S最大＝；

②当x＝11时，S有最小值，S最小＝11×(30－22)＝88．

(3)令x(30－2x)＝100，得x2－15x＋50＝0．

解得x1＝5，x2＝10．

∴x的取值范围是5≤x≤10．

47.解：(1)∵AD=EF=BC=x，∴AB=18-3x

∴水池的总容积为1.5x(18-3x)=36

即，解得x=2或4

答：x应为2或4.

（2）由（1）知V与x的函数关系式为：

V=1.5x(18-3x)=-4.5x2+27x

x的取值范围是

(3)V=-4.5x2+27x=-(x-3)2+

由二次函数的性质知：

当时，总容积V最大＝40.

48.解：（1）∵AD+BC﹣2+AB﹣2=40，AD=BC=x，

∴AB=﹣2x+44；

由题意得，（﹣2x+44）•x=192，

即 2x2﹣44x+192=0，

解得 x1=6，x2=16，

∵x2=16＞（舍去），

∴AD=6，

∴AB=﹣2×6+44=32．

答：AD 长为 6 米，AB 长为 32 米．

49.解：（1）∵AB=xm，则BC=（28﹣x）m，

∴x（28﹣x）=192，

解得：x1=12，x2=16，

答：x的值为12m或16m；
（2）由题意可得出：，

解得：.

又S=x（28﹣x）=﹣x2+28x=﹣（x﹣14）2+196，
∴当x≤14时，S随x的增大而增大.

∴x=13时，S取到最大值为：S=﹣（13﹣14）2+196=195
答：x为13m时，花园面积S最大，最大面积为195m2．

50.解：（1）∵25＜28＜45，

∴把x=28代入y=25﹣0.5x得，

∴y=11（万件），

答：当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为11万件；

（2）①当 25≤x≤45时，

W=（25﹣0.5x）（x﹣20）﹣25﹣100

=﹣x2+35x﹣625

=﹣（x﹣35）2﹣12.5

故当x=35时，W最大为﹣12.5，即公司最少亏损12.5万；

答：投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；