【高考复习】2020年高考数学(文数) 空间几何体的三视图、表面积及体积 小题练（含答案解析）
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空间几何体的三视图、表面积及体积 小题练
一 、选择题
1.多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )
A．10 B．12 C．14 D．16
2.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )
3.一个几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，已知该几何体的各个面中有n个面是矩形，体积为V，则( )
A．n=4，V=10 B．n=5，V=12 C．n=4，V=12 D．n=5，V=10
5.某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的表面积为( )
A．24＋(－1)π B．24＋(2－2)π
C．24＋(－1)π D．24＋(2－2)π
6.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于( )
A．10 cm3 B．20 cm3 C．30 cm3 D．40 cm3
7.若球的半径扩大为原来的2倍，则它的体积扩大为原来的( )
A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍
8.平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为( )
A.π B．4π C．4π D．6π
9.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A．36π B．64π C．144π D．256π
10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体表面积为（ ）
A. B. C. D.
11.设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为( )
A．12 B．18 C．24 D．54
12.已知四面体PABC的四个顶点都在球O的球面上，PA=8，BC=4，PB=PC=AB=AC，且平面PBC⊥平面ABC，则球O的表面积为( )
A．64π B．65π C．66π D．128π
二 、填空题
13.用一张16×10的长方形纸片，在四个角剪去四个边长为x的正方形(如图)，然后沿虚线折起，得到一个无盖的长方体纸盒，则这个纸盒的最大容积是________．
14.如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．
15.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)
16.已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的底面半径与母线长的比为________．
17.如图，BD是边长为3的正方形ABCD的对角线，将△BCD绕直线AB旋转一周后形成的几何体的体积等于________．
18.如图，已知球O的面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于________．
答案解析
1.答案为：B；
解析：由多面体的三视图还原直观图如图．
该几何体由上方的三棱锥A－BCE和下方的三棱柱BCE－B1C1A1构成，
其中面CC1A1A和面BB1A1A是梯形，则梯形的面积之和为2×=12.故选B.
2.答案为：A；
解析：由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为，所以原图形为平行四边形，
位于y轴上的对角线长为2.
3.答案为：B；
4.答案为：D；
解析：
由三视图可知，该几何体为直五棱柱，其直观图如图所示，故n=5，
体积V=2×22＋×2×1=10．故选D．
5.答案为：B；
解析：
如图，由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体挖出两个圆锥体所得．
由图中知圆锥的半径为1，母线为，
该几何体的表面积为S=6×22－2π×12＋2××2π×1×=24＋(2－2)π，故选B．
6.答案为：B
解析：
由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱ABC－A1B1C1截去一个三棱锥B1－ABC，
则该几何体的体积为V=×3×4×5－××3×4×5=20(cm3)．故选B．
7.答案为：C；
8.答案为：B；
解析：设球的半径为R，由球的截面性质得R==，所以球的体积V=πR3=4π.
9.答案为：C.
解析：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大，
设球O的半径为R，此时VOABC=VCAOB=×R2×R=R3=36，故R=6，
则球O的表面积为S=4πR2=144π.
10.B.
解题思路：该几何体是棱长为2的正方体内的四面体.的面积为2，的面积均为，的面积为，故该四面体的表面积为，故选B.
11.答案为：B；
解析：由等边△ABC的面积为9，可得AB2=9，所以AB=6，
所以等边△ABC的外接圆的半径为r=AB=2.设球的半径为R，
球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d===2.
所以三棱锥DABC高的最大值为2＋4=6，所以三棱锥DABC体积的最大值为×9×6=18.
12.答案为：B.
解析：如图，D，E分别为BC，PA的中点，易知球心O在线段DE上．
∵PB=PC=AB=AC，∴PD⊥BC，AD⊥BC，PD=AD.
又平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，
∴PD⊥平面ABC.∴PD⊥AD.∴PD=AD=4.
∵点E是PA的中点，∴ED⊥PA，且DE=EA=PE=4.
设球O的半径为R，OE=x，则OD=4－x.在Rt△OEA中，有R2=16＋x2，
在Rt△OBD中，有R2=4＋(4－x)2，解得R2=，所以S=4πR2=65π，故选B.
13.答案为：144；
解析：沿虚线折出纸盒后，该纸盒的长为16－2x，宽为10－2x，高为x，则0＜x＜5，
其容积为V=x(16－2x)·(10－2x)=4x3－52x2＋160x，
所以V′=12x2－104x＋160=4(x－2)(3x－20)，令V′=0，得x=2或x=>5(舍去)，
当x∈(0，2)时，V′＞0，即在(0，2)上，V(x)是增函数；
当x∈(2，5)，V′＜0，即在(2，5)上，V(x)是减函数，
所以当x=2时，V(x)有最大值为144．
14.答案为：；
解析：
易知该几何体是正四棱锥．连接BD，设正四棱锥P－ABCD，由PD=PB=1，BD=，则PD⊥PB．
设底面中心O，则四棱锥高PO=，则其体积是V=Sh=×12×=．
15.答案为：3；
解析：
由题意知，圆台中截面圆的半径为十寸，圆台内水的体积为V=πh(r＋r＋r中r下)
=×9×(102＋62＋10×6)=588π(立方寸)，降雨量为==3(寸)．
16.答案为：；
解析：设圆锥的母线长是R，则扇形的弧长是=，
设底面半径是r，则=2πr，所以r=，
所以圆锥的底面半径与母线长的比为1∶4.
17.答案为：18π；
解析：对角线BD绕着AB旋转，形成圆锥的侧面；边BC绕着AB旋转形成圆面；边CD绕着AB旋转，形成圆柱的侧面，所以该几何体是由圆柱挖去一个同底面的圆锥，
所以V=π·32·3－·π·32·3=18π.
18.答案为：π；
解析：如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球O的半径为R，
则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以
|CD|==2R，所以R=，故球O的体积V==π．
