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【高考复习】2020年高考数学(文数) 函数模型及其应用 小题练(含答案解析)

试卷
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【高考复习】2020年高考数学(文数) 函数模型及其应用

小题练

         、选择题

1.函数f(x)=ex+2x-3的零点所在的一个区间为(  )

A(-1,0)         B.00.5          C.0.51          D.11.5

 

 

2.函数f(x)=ln 2x-1的零点所在区间为(  )

A(2,3)        B.(3,4)         C.(0,1)         D.(1,2)

 

 

3.已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧则实数m的取值范围是(  )

A.(0,1)            B.(0,1]        C.(-∞,1)         D.(-∞,1]

 

 

4.根据表格中的数据,可以判定方程exx2=0的一个根所在的区间为(  )                                          

A.(1,0)                B.(0,1)                       C.(1,2)                       D.(2,3)

5.方程log2x+x=3的解所在区间是(  )                                         

A.(0,1)       B.(1,2)             C.(3,+)          D.[2,3)

6.当生物死亡后其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到则它经过的“半衰期”个数至少是(  )

A8           B.9           C.10             D.11

 

 

7.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数kb为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时22 ℃的保鲜时间是48小时则该食品在33 ℃的保鲜时间是(  )

A16小时         B.20小时       C.24小时        D.28小时

 

 

8.某公司为激励创新计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元在此基础上每年投入的研发资金比上一年增长12%则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(  )(参考数据:lg 1.12≈0.05lg 1.3≈0.11lg 2≈0.30)

A2018年       B.2019年       C.2020年       D.2021年

 

 

 

 

9.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的表格是某公司前5天监测到的数据:

则下列函数模型中能较好地反映在第x天被感染的数量y与x之间的关系的是(  )

Ay=12x       B.y=6x2-6x+12      Cy=6·2x      D.y=12log2x+12

 

 

10.设甲乙两地的距离为a(a>0)小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20 min在乙地休息10 min后他又以匀速从乙地返回到甲地用了30 min则小王从出发到返回原地所经过的路程y与其所用的时间x的函数的图象为(  )

 

11.设函数f(x)是定义在R上的偶函数且f(x+2)=f(2-x)当x[-2,0]f(x)=x-1

则在区间(-2,6)上关于x的方程f(x)-log8(x+2)=0的解的个数为(  )

A1          B.2            C.3             D.4

 

 

12.某公司为了实现1000万元销售利润的目标准备制订一个激励销售人员的奖励方案:在销售利润达到10万元时按照销售利润进行奖励且奖金y(单位:万元)随销售利润x的增加而增加但奖金不超过5万元同时奖金不超过销售利润的25%则下列函数最符合要求的是(  )

Ay=x        B.y=lg x+1       Cy=x         D.y=

 

         、填空题

13.函数f(x)=有两个不同的零点则实数a的取值范围为________.

 

 

14.已知f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点比1大一个零点比1小则实数a的取值范围是________.

 

 

15.已知a>0函数f(x)=若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解则a的取值范围是________.

 

 

16.已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3000元时这70套公寓房能全部租出去;当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)就会多一套房子不能出租.设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)则要使公司获得最大利润每套房月租金应定为________元.

 

 

17.调查表明酒后驾驶是导致交通事故的主要原因交通法规规定驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.某人喝酒后其血液中酒精含量将上升到3 mg/mL在停止喝酒后血液中酒精含量以每小时50%的速度减少则至少经过________小时他才可以驾驶机动车.(精确到小时)

 

 

18.已知一容器中有A,B两种菌且在任何时刻A,B两种菌的个数乘积为定值1010为了简单起见科学家用PA=lg (nA)来记录A菌个数的资料其中nA为A菌的个数现有以下几种说法:

PA1

若今天的PA值比昨天的PA值增加1则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多了10个;

假设科学家将B菌的个数控制为5万个则此时5<PA<5.5.

其中正确的说法为________.(写出所有正确说法的序号)

 

 


答案解析

1.答案为:C

 

 

2.答案为:D

解析:

由f(x)=ln 2x-1得函数是增函数并且是连续函数f(1)=ln 2-1<0f(2)=ln 4-1>0

根据函数零点存在性定理可得函数f(x)的零点位于区间(1,2)上故选D.

 

 

3.答案为:D;

解析:选D.令m=0由f(x)=0得x=满足题意可排除选项AB.令m=1

由f(x)=0得x=1满足题意排除选项C.故选D.

 

 

4.C.

解析:令f(x)=exx2,由图表知,f(1)=2.723=0.28<0,f(2)=7.394=3.39>0,

方程exx2=0的一个根所在的区间为  (1,2),

5.D.

6.答案为:C

解析:

设死亡生物体内原有的碳14含量为1则经过n(nN*)个“半衰期”后的含量为n

n得n≥10.所以若探测不到碳14含量则至少经过了10个“半衰期”.故选C.

 

 

7.答案为:C

解析:

由题意得

所以该食品在33 ℃的保鲜时间是y=e33k+b=(e11k)3·eb=3×192=24(小时).

 

 

8.答案为:B

解析:

设第n(nN*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.

根据题意得130(1+12%)n-1>200则lg [130(1+12%)n-1]>lg 200

lg 130+(n-1)·lg 1.12>lg 2+2

2+lg 1.3+(n-1)lg 1.12>lg 2+2

0.11+(n-1)×0.05>0.30解得n>.

nN*n≥5

该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年.故选B.

 

 

9.答案为:C

解析:

由表格可知每一天的计算机被感染台数大约是前一天的2倍

故增长速度符合指数型函数故选C.

 

 

10.答案为:D

解析:

由题意知小王在0~20 min,30~60 min这两段时间运动的路程都在不断增加

在20~30 min时运动的路程不变.故选D.

 

 

11.答案为:C

解析:

原方程等价于y=f(x)与y=log8(x+2)的图象的交点个数问题由f(x+2)=f(2-x)

可知f(x)的图象关于x=2对称再根据f(x)是偶函数这一性质

可由f(x)在[-2,0]上的解析式作出f(x)在(0,2)上的图象

进而作出f(x)在(-2,6)上的图象如图所示.

再在同一坐标系下画出y=log8(x+2)的图象注意其图象过点(6,1)由图可知

两图象在区间(-2,6)内有三个交点从而原方程有三个根故选C.

 

 

12.答案为:B

解析:

由题意知x[10,1000],符合公司要求的模型需同时满足:

函数为增函数;函数的最大值不超过5;y≤x·25%.对于y=x

易知满足但当x>20时y>5不满足要求;对于y=x易知满足

因为4>5故当x>4时不满足要求;对于y=易知满足

但当x>25时y>5不满足要求;对于y=lg x+1易知满足

当x[10,1000]2≤y≤4满足再证明lg x+1≤x·25%即4lg x+4-x≤0

设F(x)=4lg x+4-x则F′(x)=-1<0x[10,1000],

所以F(x)为减函数F(x)max=F(10)=4lg 10+4-10=-2<0满足故选B.

 

13.答案为:

解析:

由于当x≤0时f(x)=|x2+2x-1|的图象与x轴只有1个交点即只有1个零点

故由题意只需方程2x-1+a=0有1个正根即可变形为2x=-2a

结合图形只需-2a>1a<-即可.

 

 

14.答案为:(-2,1)

解析:

函数f(x)的大致图象如图所示则f(1)<0即1+(a2-1)+a-2<0-2<a<1.故实数a的取值范围是(-2,1).

 

 

15.答案:(4,8)

解析:当x≤0时由x2+2ax+a=ax得a=-x2-ax;

当x>0时由-x2+2ax-2a=ax2a=-x2+ax.

令g(x)=作出直线y=ay=2a函数g(x)的图象如图所示

g(x)的最大值为-=由图象可知若f(x)=ax恰有2个互异的实数解

则a<2a得4<a<8.

 

 

16.答案为:3300

解析:

设利润为y元租金定为3000+50x(0≤x≤70xN)元.

则y=(3000+50x)(70-x)-100(70-x)=(2900+50x)(70-x)

=50(58+x)(70-x)≤502

当且仅当58+x=70-x即x=6时等号成立

故每月租金定为3000+300=3300(元)时公司获得最大利润.

 

 

17.答案为:4

解析:

设n小时后他才可以驾驶机动车由题意得3(1-0.5)n≤0.2即2n≥15

故至少经过4小时他才可以驾驶机动车.

 

 

18.答案为:

解析:当nA=1时PA=0故①错误;

若PA=1则nA=10若PA=2则nA=100故②错误;

设B菌的个数为nB=5×104nA==2×105PA=lg(nA)=lg 2+5.

又∵lg 20.35<PA<5.5故③正确.

 

 

 

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