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    课时作业(十五) 导数与函数的极值、最值 练习
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    课时作业(十五) 导数与函数的极值、最值 练习

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    课时作业(十五) 导数与函数的极值、最值

    一、选择题

    1(2017·岳阳一模)下列函数中,既是奇函数又存在极值的是(  )

    Ayx3        Byln(x)

    Cyxex              Dyx

    解析:由题可知,BC选项中的函数不是奇函数,A选项中,函数yx3单调递增(无极值),而D选项中的函数既为奇函数又存在极值.

    答案:D

    2.函数y的最大值为(  )

    Ae1  Be    Ce2   D.

    解析:y0,解得xe.x>e时,y<0;当0<x<e时,y>0,所以y极大值f(e),在定义域内只有一个极值,所以ymax.

    答案:A

    3.设函数f(x)R上可导,其导函数为f(x),且函数y(1x)f(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(  )

    A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

    B.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

    C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)

    D.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)

    解析:由图可知,当x<2时,f(x)>0;当-2<x<1时,f(x)<0;当1<x<2时,f(x)<0;当x>2时,f(x)>0.由此可以得到函数f(x)x=-2处取得极大值,在x2处取得极小值.

    答案:D

    4.已知函数f(x)x3ax2bxa27ax1处取得极大值10,则的值为(  )

    A.-             B.-2

    C.-2或-       D2或-

    解析:由题意知,f(x)3x22axbf(1)0f(1)10

    解得,经检验满足题意,故=-.

    答案:A

    5.已知yf(x)是奇函数,当x(0,2)时,f(x)ln xax,当x(2,0)时,f(x)的最小值为1,则a(  )

    A.  B.

    C.  D1

    解析:因为f(x)是奇函数,所以f(x)(0,2)上的最大值为-1.x(0,2)时,f(x)a,令f(x)0,得x,又a>,所以0<<2.x<时,f(x)>0f(x)上单调递增;当x>时,f(x)<0f(x)上单调递减,所以f(x)maxflna·=-1,解得a1.

    答案:D

    6.若函数f(x)x3x2在区间(aa5)上存在最小值,则实数a的取值范围是(  )

    A[5,0)  B(5,0)

    C[3,0)  D(3,0)

    解析:由题意,f(x)x22xx(x2),故f(x)(,-2)(0,+)上是增函数,在(2,0)上是减函数,作出其图象如图所示,令x3x2=-得,x0x=-3,则结合图象可知,,解得a[3,0),故选C.

    答案:C

    二、填空题

    7已知函数f(x)x3ax2bxa2x1处有极值10,则f(2)________.

    解析:函数f(x)x3ax2bxa2x1处有极值10

    f(1)10,且f(1)0

    解得

    而当时,函数在x1处无极值,故舍去.

    f(x)x34x211x16f(2)18.

    答案:18

    8.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20 cm,要使体积最大,则其高为________cm.

    解析:设圆锥的体积为V cm3,高为h cm

    Vπ(400h2)hπ(400hh3)

    Vπ(4003h2)

    V0,得h.

    所以当h cm时,V最大.

    答案:

    9(2016·北京,14)设函数f(x)

    a0,则f(x)的最大值为________

    f(x)无最大值,则实数a的取值范围是________

    解析:a0,则f(x)x>0时,f(x)=-2x<0;当x0时,f(x)3x233(x1)·(x1),当x<1时,f(x)>0f(x)是增函数,当-1<x<0时,f(x)<0f(x)是减函数,f(x)f(1)2.f(x)的最大值为2.

    在同一平面直角坐标系中画出y=-2xyx33x的图象,如图所示,当a<1时,f(x)无最大值;当-1a2时,f(x)max2;当a>2时,f(x)maxa33a.

    综上,当a(,-1)时,f(x)无最大值.

    答案:2 (,-1)

    三、解答题

    10(2017·山东潍坊二模)已知函数f(x)bln x,曲线yf(x)在点(1f(1))处的切线方程为yx.

    求函数f(x)的单调区间及极值.

    解析:f(x)的定义域为(0,+)f(x)

    f(1)ba1

    f(1)a,点(1a)在直线yx上,

    a1,则b2.

    f(x)2ln xf(x)

    0<x<时,f(x)<0,当x>时,f(x)>0

    故函数f(x)的单调增区间为,单调减区间为

    f(x)极小值f22ln 2,无极大值.

    11已知函数f(x)ex(a>0)

    (1)求函数f(x)的单调区间;

    (2)求函数f(x)[1,2]上的最大值.

    解析:(1)f(x)ex(a>0),则f(x)ex.

    ex0,则xln.


    x

    ln

    f(x)

    0

    f(x)

    极大值

    故函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.

    (2)ln 2,即0<a时,f(x)maxf(2)e2;当1<ln <2,即<a<时,f(x)maxfln .ln1af(x)maxf(1)e.

    12(2016·全国丙,理21)设函数f(x)αcos 2x(α1)·(cos x1),其中α0,记|f(x)|的最大值为A.

    (1)f(x)

    (2)A

    (3)证明:|f(x)|2A.

    解析:(1)f(x)=-2αsin 2x(α1)sin x.

    (2)(分类讨论)α1时,

    |f(x)||αcos 2x(α1)(cos x1)|α2(α1)3α2f(0).故A3α2.

    0α1时,将f(x)变形为

    f(x)2αcos2x(α1)cos x1.

    (构造函数)

    g(t)2αt2(α1)t1

    A|g(t)|[1,1]上的最大值,

    g(1)αg(1)3α2

    且当t时,g(t)取得极小值,

    极小值为g=-1=-.

    令-11,解得α<(舍去)α.

    ()0α时,g(t)(1,1)内无极值点,

    |g(1)|α|g(1)|23α|g(1)||g(1)|

    所以A23α.

    ()α1时,由g(1)g(1)2(1α)0

    g(1)g(1)g.

    |g(1)|0

    所以A.

    综上,A

    (3)证明:由(1)|f(x)||2αsin 2x(α1)sin x|2α|α1|.

    0α时,|f(x)|1α24α2(23α)2A.

    α1时,A1

    所以|f(x)|1α2A.

    α1时,|f(x)|3α16α42A.

    所以|f(x)|2A.

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