2020数学（理）二轮教师用书：第3部分策略12.数形结合思想

2.数形结合思想

应用1　在求最值、零点等问题中的应用

【典例1】(1)记实数x1，x2，…，xn中最小数为min{x1，x2，…，xn}，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f(x)＝min{x2＋1，x＋3,13－x}的最大值为(　　)

A．5　　　　　　　 B．6

C．8 D．10

(2)已知函数f(x)＝其中m＞0.

若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．

切入点：(1)画出函数f(x)的图象，借助图象，直观可得最值．

(2)画出y＝f(x)及y＝b的图象，数形结合求解．

(1)C　(2)(3，＋∞)　[(1)在同一坐标系中作出三个函数y＝x2＋1，y＝x＋3，y＝13－x的图象如图．

由图可知，在实数集R上，min{x2＋1，x＋3,13－x}为y＝x＋3上A点下方的射线，抛物线AB之间的部分，线段BC，与直线y＝13－x点C下方的部分的组合图，显然，在区间[0，＋∞)上，在C点时，y＝min{x2＋1，x＋3,13－x}取得最大值．

解方程组得点C(5,8)．

所以f(x)max＝8.

(2)作出f(x)的图象如图所示．当x＞m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2.

∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，

则有4m－m2＜m，即m2－3m＞0.又m＞0，解得m＞3.]

【对点训练1】(1)(2019·天津高考)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝－x＋a(a∈R)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为(　　)

A.   B.

C.∪{1}   D.∪{1}

(2)(2019·乌鲁木齐高三质量检测)函数f(x)＝的图象与函数g(x)＝2sin x在区间[0,4]上的所有交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则f(y1＋y2＋…＋yn)＋g(x1＋x2＋…＋xn)＝________.

(1)D　(2)　[(1)如图，分别画出两函数y＝f(x)和y＝－x＋a的图象．

①先研究当0≤x≤1时，直线y＝－x＋a与y＝x的图象只有一个交点的情况．

当直线y＝－x＋a过点B(1,2)时，

2＝－＋a，解得a＝.

所以0≤a≤.

②再研究当x＞1时，直线y＝－x＋a与y＝的图象只有一个交点的情况：

相切时，由y′＝－＝－，得x＝2，此时切点为2，，则a＝1.

相交时，由图象可知直线y＝－x＋a从过点A向右上方移动时与y＝的图象只有一个交点．过点A(1,1)时，1＝－＋a，解得a＝.所以a≥.

结合图象可得，所求实数a的取值范围为，∪{1}．故选D.

(2)如图，画出函数f(x)和g(x)在[0,4]上的图象，

可知有4个交点，并且关于点(2,0)对称，

所以y1＋y2＋y3＋y4＝0，x1＋x2＋x3＋x4＝8，所以f(y1＋y2＋y3＋y4)＋g(x1＋x2＋x3＋x4)＝f(0)＋g(8)＝＋0＝.]

应用2　在求解不等式或参数范围中的应用

【典例2】　已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　　)

A．(－∞，0] B．(－∞，1]

C．[－2,1] D．[－2,0]

切入点：先画出函数的图象，数形结合求解．

D　[作出函数y＝|f(x)|的图象，如图，当|f(x)|≥ax时，必有k≤a≤0，其中k是y＝x2－2x(x≤0)在原点处的切线斜率，显然，k＝－2.∴a的取值范围是[－2,0]．]

【对点训练2】(1)(2019·武昌模拟)设x，y满足约束条件，则z＝2x＋y的取值范围是(　　)

A．[2,6] B．[3,6]

C．[3,12] D．[6,12]

(2)(2019·全国卷Ⅱ)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

(1)C　(2)B　[(1)不等式组表示的平面区域如图中三角形ABC(包括边界)所示，作出直线2x＋y＝0并平移，可知当直线z＝2x＋y经过点A时，z取得最小值，解方程组得，即A(1,1)，所以zmin＝2×1＋1＝3，当直线z＝2x＋y经过点B时，z取得最大值，解方程组得，即B(5,2)，所以zmax＝2×5＋2＝12，所以z的取值范围为[3,12]，故选C.

(2)当－1＜x≤0时，0＜x＋1≤1，则f(x)＝f(x＋1)＝(x＋1)x；当1＜x≤2时，0＜x－1≤1，则f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(x－2)；当2＜x≤3时，0＜x－2≤1，则f(x)＝2f(x－1)＝22f(x－2)＝22(x－2)(x－3)，…由此可得

f(x)＝由此作出函数f(x)的图

象，如图所示．由图可知当2＜x≤3时，令22(x－2)(x－3)＝－，整理，得(3x－7)(3x－8)＝0，解得x＝或x＝，将这两个值标注在图中．要使对任意x∈(－∞，m]都有f(x)≥－，必有m≤，即实数m的取值范围是，故选B.

]

应用3　在平面向量中的应用

【典例3】　已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为(　　)

A.－1   B.

C.＋1   D.＋2

切入点：a，b是单位向量，a·b＝0可联想坐标法，以a，b所在直线建系求解．

C　[∵|a|＝|b|＝1，且a·b＝0，∴可设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)．∴c－a－b＝(x－1，y－1)．

∵|c－a－b|＝1，

∴＝1，

即(x－1)2＋(y－1)2＝1.

又|c|＝，如图所示．

由图可知，当c对应的点(x，y)在点C处时，|c|有最大值且|c|max＝＋1＝＋1.]

【对点训练3】　已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是(　　)

A.－1   B.＋1

C．2 D．2－

A　[设O为坐标原点，a＝，b＝＝(x，y)，e＝(1,0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C(2,0)为圆心，1为半径的圆．因为a与e的夹角为，所以不妨令点A在射线y＝x(x＞0)上，如图，数形结合可知

|a－b|min＝||－||＝－1.故选A.]

应用4　在解析几何中的应用

【典例4】(1)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(　　)

A．7 B．6

C．5 D．4

(2)已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________．

切入点：(1)∠APB＝90°，则点P落在以AB为直径的圆上，画出图形，结合点与圆的位置关系求解．

(2)画出图形，结合图形知△APF的周长取得最小值时P点的位置．

(1)B　(2)　[(1)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝|AB|＝m.

要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.

(2)因为(－2)2＜8×4，所以点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ，由抛物线的定义可知△APF的周长为

|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.

因为A(－2,4)，

所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，

代入x2＝8y，得y0＝，

故使△APF的周长最小的抛物线上的点P的坐标为.]

【对点训练4】　已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为________．

2　[从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积S△PAC＝|PA|·|AC|＝|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时

|PC|＝＝3，

从而|PA|＝＝2.所以(S四边形PACB)min＝2××|PA|×|AC|＝2.]