初中数学苏科版九年级上册1.3 一元二次方程的根与系数的关系学案设计

这是一份初中数学苏科版九年级上册1.3 一元二次方程的根与系数的关系学案设计，共5页。

*1.3 一元二次方程的根与系数的关系


知识点 1 一元二次方程根与系数关系的直接应用


1．已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的两根，则x1＋x2的值是( )


A．0 B．2 C．－2 D．4


2．[2017·怀化] 若x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则x1·x2的值是( )


A．2 B．－2 C．4 D．－3


3．[2016·金华] 若一元二次方程x2－3x－2＝0的两根为x1，x2，则下列结论中正确的是( )


A．x1＝－1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝－2


C．x1＋x2＝3 D．x1＝x2＝2


4．[2016·溧水区一模] 已知方程x2－6x＋k＝0的一个根是2，则它的另一个根是________．


知识点 2 利用根与系数的关系求值


5．教材例题变式已知x1，x2是一元二次方程3x2＋2x－6＝0的两个根，则x1－x1x2＋x2的值是( )


A．－eq \f(4,3) B.eq \f(8,3) C．－eq \f(8,3) D.eq \f(4,3)


6. [2016·苏州中考预测卷二] 已知x1，x2是方程x2－3x－2＝0的两个实数根，则(x1－1)(x2－1)的值为( )


A．－2 B．－4 C．－6 D．－8


7．若关于x的方程x2＋(a＋1)x＋a＝0的两根互为倒数，则a＝________．


8．若关于x的一元二次方程x2＋(k＋3)x＋k＝0的一个根是－2，则另一个根是________．


9．教材“尝试与交流”变式如果一元二次方程x2＋ax＋b＝0的两个根分别是2＋eq \r(3)和2－eq \r(3)，求a，b的值．





























10．已知关于x的方程x2－6x＋k＝0的两个根分别是x1，x2，且eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)＝3，求k的值．
































11．已知关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2，m，求m，n的值．











12．[2017·绵阳] 若关于x的方程2x2＋mx＋n＝0的两个根是－2和1，则nm的值为( )


A．－8 B．8 C．16 D．－16


13．已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是( )


A．x2－7x＋12＝0 B．x2＋7x＋12＝0


C．x2＋7x－12＝0 D．x2－7x－12＝0


14．[2017·仙桃] 若α，β为方程2x2－5x－1＝0的两个实数根，则2α2＋3αβ＋5β的值为( )


A．－13 B．12 C．14 D．15


15．设x1，x2是方程x2＋3x－3＝0的两个实数根，则eq \f(x2,x1)＋eq \f(x1,x2)的值为( )


A．5 B．－5 C．1 D．－1


16．设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两根，利用根与系数的关系求下列各式的值：


(1)(x1＋1)(x2＋1)；























(2)x12x2＋x1x22；


























(3)x12＋x1x2＋2x1.


























17．已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0.


(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；


(2)若方程两实数根分别为x1，x2，且满足5x1＋2x2＝2，求实数m的值．






































18．[2017·绥化] 已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－4＝0.


(1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？


(2)若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．








19．设x1，x2是方程x2－x－2018＝0的两实数根，求x13＋2019x2－2018的值．


详解详析


1．B 2.D


3．C [解析] ∵方程x2－3x－2＝0的两根为x1，x2，


∴x1＋x2＝－eq \f(b,a)＝3，x1·x2＝eq \f(c,a)＝－2，


∴C选项正确．故选C.


4．4


5．D 6.B


7．1 [解析] 设已知方程的两根分别为m，n.


由题意，得m与n互为倒数，即mn＝1.


又∵mn＝a，∴a＝1.


8．1 [解析] 把x＝－2代入方程，得4－2(k＋3)＋k＝0，解得k＝－2.所以原方程为x2＋x－2＝0.设另一个根为x1，则－2x1＝－2，所以x1＝1.


9．解：根据根与系数的关系可知(2＋eq \r(3))＋(2－eq \r(3))＝－a，(2＋eq \r(3))×(2－eq \r(3))＝b，


∴a＝－4，b＝1.


10．∵关于x的方程x2－6x＋k＝0的两个根分别是x1，x2，


∴x1·x2＝k，x1＋x2＝6.


∵eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)＝3，∴eq \f(x1＋x2,x1x2)＝3，


∴eq \f(6,k)＝3，


∴k＝2.


经检验，k＝2是此分式方程的解．


11．∵关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2，m，


∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2m＝n，,－2＋m＝－1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝－2，))


即m，n的值分别是1，－2.


12．C 13.A 14.B


15．B [解析] 由已知，得x1＋x2＝－3，x1·x2＝－3，则原式＝eq \f(（x1＋x2）2－2x1x2,x1x2)＝eq \f(（－3）2－2×（－3）,－3)＝－5.故选B.


16．解：∵x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两根，


∴x1＋x2＝－2，x1·x2＝－eq \f(3,2).


(1)原式＝x1x2＋x1＋x2＋1＝－eq \f(3,2)－2＋1＝－eq \f(5,2).


(2)原式＝x1x2(x1＋x2)＝－eq \f(3,2)×(－2)＝3.


(3)∵x1是方程2x2＋4x－3＝0的一个根，


∴2x12＋4x1－3＝0，∴x12＋2x1＝eq \f(3,2)，


∴x12＋x1x2＋2x1＝eq \f(3,2)－eq \f(3,2)＝0.


17．解：(1)∵方程x2－4x＋m＝0有实数根，


∴b2－4ac＝(－4)2－4m≥0，∴m≤4.


(2)∵方程x2－4x＋m＝0的两实数根为x1，x2，


∴x1＋x2＝4.①


又∵5x1＋2x2＝2，②


联立①②解方程组，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝－2，,x2＝6，))


∴m＝x1·x2＝－2×6＝－12.


18．解：(1)∵方程x2＋(2m＋1)x＋m2－4＝0有两个不相等的实数根，


∴(2m＋1)2－4(m2－4)＝4m＋17＞0，


解得m＞－eq \f(17,4).


∴当m＞－eq \f(17,4)时，方程有两个不相等的实数根．


(2)设方程的两根分别为a，b.


根据题意，得a＋b＝－2m－1，ab＝m2－4.


∵2a，2b为边长为5的菱形的两条对角线的长，


∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(－2m－1)2－2(m2－4)＝2m2＋4m＋9＝52＝25，


解得m＝－4或m＝2.


∵a＞0，b＞0，


∴a＋b＝－2m－1＞0，ab＝m2－4>0，


∴m＝－4.


19．解：由题意可知x1＋x2＝1，x1x2＝－2018，且x12－x1－2018＝0，


∴x12＝x1＋2018，①


将①式两边同时乘x1，得x13＝x12＋2018x1.②


将①代入②，得x13＝2019x1＋2018.


∴x13＋2019x2－2018＝2019x1＋2018＋2019x2－2018＝2019(x1＋x2)＝2019.