人教版第二十二章 二次函数综合与测试一课一练

这是一份人教版第二十二章 二次函数综合与测试一课一练，共18页。试卷主要包含了下列函数中y是x的二次函数的是，已知点，二次函数y＝，抛物线y＝x2+4x+a2+5，如图，抛物线y＝a等内容，欢迎下载使用。

时间：100分钟 满分：100分





一．选择题（每小题3分，共30分）


1．下列函数中y是x的二次函数的是（ ）


A．y＝B．y＝


C．y＝（x+1）（x﹣2）D．y＝


2．已知点（﹣9，y1），（4，y2），（﹣2，y3）都在抛物线y＝ax2+m（a＞0）上，则（ ）


A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3


3．二次函数y＝（x+1）2﹣2的最小值是（ ）


A．﹣2B．﹣1C．1D．2


4．下列图象中，能反映函数y随x增大而减小的是（ ）


A．B．


C．D．


5．抛物线y＝x2+4x+a2+5（a是常数）的顶点在（ ）


A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限


6．已知y关于x的函数表达式是y＝ax2﹣4x﹣a，下列结论不正确的是（ ）


A．若a＝﹣1，函数的最大值是5


B．若a＝1，当x≥2时，y随x的增大而增大


C．无论a为何值时，函数图象一定经过点（1，﹣4）


D．无论a为何值时，函数图象与x轴都有两个交点


7．二次函数y＝ax2+2ax+c的图象如图所示，当x＝t时，y＞0，则x＝t+2时函数值（ ）





A．c＜y＜0B．y＜cC．y＞0D．y＜0


8．如图，抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴正半轴交于点C，点D为抛物线的顶点．点P为线段BC上的动点，以AC，AP为邻边构造▱APEC，连结BE．若△ACP的面积与△BEP的面积之比为1：2时，ED⊥BD，则a的值为（ ）





A．﹣1B．﹣C．﹣D．﹣2


9．如图，已知抛物线y1＝x2﹣2x，直线y2＝﹣2x+b相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2．当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2，取m＝（|y1﹣y2|+y1+y2）．则（ ）





A．当x＜﹣2时，m＝y2B．m随x的增大而减小


C．当m＝2时，x＝0D．m≥﹣2


10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞0；③b＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤a+c＜，其中正确结论的个数是（ ）





A．②③④B．①②⑤C．①②④D．②③⑤





二．填空题（每小题4分，共20分）


11．已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第二象限，且过点（1，0）．当a﹣b为整数时，ab＝ ．


12．关于x的二次函数y＝x2﹣mx+5，当x≥1时，y随取x的增大而增大，则实数m的取值范围是 ．


13．在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到抛物线y＝x2+4x+5，则原抛物线的解析式是 ．


14．服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为 元．


15．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，则下列结论①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③ac﹣b+1＝0；④OA•OB＝．其中正确结论的个数是 ．








三．解答题（每题10分，共50分）


16．如图1，抛物线y＝a（x+2）（x﹣6）（a＞0）与x轴交于C，D两点（点C在点D的左边），与y轴负半轴交于点A．


（1）若△ACD的面积为16．


①求抛物线解析式；


②S为线段OD上一点，过S作x轴的垂线，交抛物线于点P，将线段SC，SP绕点S顺时针旋转任意相同的角到SC1，SP1的位置，使点C，P的对应点C1，P1都在x轴上方，C1C与P1S交于点M，P1P与x轴交于点N．求的最大值；


（2）如图2，直线y＝x﹣12a与x轴交于点B，点M在抛物线上，且满足∠MAB＝75°的点M有且只有两个，求a的取值范围．








17．汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后，还要向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40/小时以内的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对后同时刹车，但还是相碰了．事后现场测得甲车的刹车距离为12，乙车的刹车距离超过10但小于12．查有关资料知，甲车的刹车距离y（米）与车速x（千米/小时）的关系为y＝0.1x+0.01x2，乙种车的刹车距离s（米）与车速x千米/小时）的关系如图所示．请你就两车的速度方面分析这起事故是谁的责任．














18．有一个二次函数满足以下条件：


①函数图象与x轴的交点坐标分别为A（1，0），B（x2，y2）（点B在点A的右侧）；


②对称轴是x＝3；


③该函数有最小值是﹣2．


（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；


（2）将该函数图象x＞x2的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”，平行于x轴的直线与图象“G”相交于点C（x3，y3）、D（x4，y4）、E（x5，y5）（x3＜x4＜x5），结合画出的函数图象求x3+x4+x5的取值范围．








19．某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克．


（1）写出月销售利润y与售价x之间的函数关系式．


（2）销售单价定为55元时，计算月销售量与销售利润．


（3）当售价定为多少元时，会获得最大利润？求出最大利润．











20．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）．


（1）求抛物线的函数解析式；


（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC＝DE，求出点D的坐标；


（3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．








参考答案


一．选择题


1．解：A、是正比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；


B、等式的右边分母中含有x，是分式，不是整式，不是二次函数，故本选项不符合题意；


C、是二次函数，故本选项符合题意；


D、等式的右边分母中含有x，是分式，不是整式，不是二次函数，故本选项不符合题意；


故选：C．


2．解：∵抛物线y＝ax2+m（a＞0），


∴该抛物线开口向上，对称轴是y轴，


∵点（﹣9，y1），（4，y2），（﹣2，y3）都在抛物线y＝ax2+m（a＞0）上，0﹣（﹣9）＝9，4﹣0＝4，0﹣（﹣2）＝2，


∴y3＜y2＜y1，


故选：C．


3．解：二次函数y＝（x+1）2﹣2的顶点坐标为（﹣1，﹣2），因此当x＝﹣1时，y最小＝﹣2，


故选：A．


4．解：选项A中的函数图象y随x的增大而增大，故选项A不符合题意；


选项B中的函数图象是抛物线，在对称轴右侧y随x的增大而增大，故选项B不符合题意；


选项C中的函数图象是双曲线，在每个象限内，y随x的增大增大，但x不等为0，故选项C不符合题意；


选项D中的函数图象y随x的增大而减小，故选项D符合题意；


故选：D．


5．解：∵y＝x2+4x+a2+5＝（x+2）2+a2+1，


∴顶点坐标为：（﹣2，a2+1），


∵﹣2＜0，a2+1＞0，


∴顶点在第二象限．


故选：B．


6．解：∵y＝ax2﹣4x﹣a，


∴当a＝﹣1时，y＝﹣x2﹣4x+1＝﹣（x﹣2）2+5，则当x＝2时，函数取得最大值，此时y＝5，故选项A不符合题意；


当a＝﹣1时，该函数图象开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝2，则当x≥2时，y随x的增大而增大，故选项B不符合题意；


由y＝ax2﹣4x﹣a＝a（x2﹣1）﹣4x知，x2﹣1＝0时，x＝±1，则y＝±4，即无论a为何值时，函数图象一定经过点（1，±4），故选项C不符合题意；


当a＝0，函数为y＝﹣4x，图象与x轴都只有1个交点，故选项D符合题意；


故选：D．


7．解：函数的对称轴为：x＝﹣＝﹣1，


设：抛物线与x轴交点为A、B，则OA＜2，





当x＝t时，y＞0，即x在AB之间，


当x＝t在点A处时，x＝t+2在y轴右侧，


即y＜c，


故选：B．


8．解：在y＝a（x+1）（x﹣3）中，令x＝0，得x＝﹣1或3


∴A（﹣1，0），B（3，0）


令x＝0，得y＝﹣3a


∴C（0，﹣3a），


∵y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x﹣1）2﹣4a


∴D（1，﹣4a），


∵四边形APEC是平行四边形


∴AP∥CE，AP＝CE，S△ACP＝S△EPC


∵△ACP的面积与△BEP的面积之比为1：2


∴＝


∴＝


∴P（1，﹣2a）


∴E（2，﹣5a），如图，连接BD，则∠BDE＝90°


∴BD2+DE2＝BE2


∴（3﹣1）2+（4a）2+（1﹣2）2+（﹣4a+5a）2＝（3﹣2）2+（5a）2，


解得：a＝±，


∵a＜0


∴a＝﹣．


故选：B．





9．解：点A在抛物线上，则y1＝×4﹣2×2＝﹣2，


故点A（2，﹣2），


将点A的坐标代入y2＝﹣2x+b得：


﹣2＝﹣2×2+b，解得：b＝2，


故：y2＝﹣2x+2，


m＝（|y1﹣y2|+y1+y2）＝y1或y2，


①当x2﹣2≥0时，即x≥2或x≤﹣2


m＝x2﹣2x，函数的对称轴为x＝2，


函数的最小值为﹣2；


②当x2﹣2＜0时，即：﹣2＜x＜2，


m＝2﹣2x，函数m的值大于﹣2，


故选：D．


10．解：由图可知，x＝1时，a+b+c＜0，故①正确；


∵抛物线与x轴有两个交点，


∴△＝b2﹣4ac＞0，故②正确；


∵抛物线开口向下，


∴a＜0，


∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，


∴b＝2a＜0，故③错误；


由图可知，x＝﹣2时，4a﹣2b+c＞0，故④错误；


当x＝0时，y＝c＝1，


∵a+b+c＜0，b＝2a，


∴3a+1＜0，


∴a＜﹣


∴a+c＜，故⑤正确；


综上所述，结论正确的是①②⑤．


故选：B．


二．填空题（共5小题）


11．解：依题意知a＜0，，


故b＜0，且b＝﹣a﹣1，a﹣b＝a﹣（﹣a﹣1）＝2a+1，


于是﹣1＜a＜0，


又∵a﹣b为整数，


∴2a+1＝0，


解得，a＝﹣，


∴b＝﹣a﹣1＝﹣（﹣）﹣1＝﹣，


∴ab＝（﹣）×（﹣）＝，


故答案为：．


12．解：函数的对称轴为：x＝m，


x≥1时，y随取x的增大而增大，


则m≤1，


解得：m≤2，


故答案为：m≤2．


13．解：y＝x2+4x+5＝（x+2）2+1，将其向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到原抛物线的解析式为：y＝（x+2﹣3）2+1﹣2＝（x﹣1）2﹣1，即y＝x2﹣2x．


故答案是：y＝x2﹣2x．


14．解：设获得的利润为y元，由题意得：


y＝（x﹣100）（200﹣x）


＝﹣x2+300x﹣20000


＝﹣（x﹣150）2+2500


∵a＝﹣1＜0


∴当x＝150元时，y取得最大值2500元，


故答案为150．


15．解：∵抛物线开口向下，


∴a＜0，


∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，


∴b＞0，


∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，


∴c＞0，


∴abc＜0，所以①正确；


∵抛物线与x轴有2个交点，


∴△＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；


∵OA＝OC，C（0，c），


∴A（﹣c，0），


∴ac2﹣bc+c＝0，


∴ac﹣b+1＝0，所以③正确；


设A、B两点的横坐标为x1、x2，则OA＝﹣x1，OB＝x2，


∵x1•x2＝，


∴OA•OB＝﹣，所以④错误．


故正确结论有①②③3个，


故答案为3．


三．解答题（共5小题）


16．解：（1）①由题意，令y＝0，解得x1＝﹣2，x2＝6


∴C（﹣2，0），D（6，0）


∴CD＝8．


令x＝0，解得y＝﹣12a，且a＞0


∴A（0，﹣12a），即OA＝12a


∴S△ACD＝＝48a＝16，


解得：


所求抛物线的解析式为＝


②由题意知，∠SP1P﹣∠SC1C＝∠SCC1，且∠MSC＝∠NSP1


∴△MSC∽△NSP1


∴


设S（t，0）（0≤t≤6），则SP＝，SC＝t+2


∴


∵0≤t≤6


∴t＝0时，最大值为2；


（2）由题意，直线y＝x﹣12a与x轴交于点B得B（12a，0），OA＝OB＝12a，∠OAB＝∠OBA＝45°


如图2





当点M在y轴的左侧时，此时∠MAO＝30°


设直线AM与x轴交于点E，则OE＝


∴


又∵A（0，﹣12a），


∴直线AM的解析式为：


由得：


解得：


∴点M的横坐标为


∵


②当点M在y轴的右侧时，过点B作x轴的垂线与①中直线AE关于AB的对称直线交于点F，


易证：△EBA≌△FBA，


得∠BAF＝75°，BF＝BE＝，∠FBO＝90°


∴


∴直线AF的解析式为：


由，解得：


∴点G横坐标为，


点A关于抛物线对称轴x＝2的对称点的坐标为：（4，﹣12a），


则，得a＞，


故要使满足∠MAB＝75°的点M有且只有两个，则a的取值范围为：．


17．解：因为y＝0.1x+0.01x2，而y＝12，


∴0.1x+0.01x2＝12，


解得x1＝﹣40，x2＝30．（2分）


舍去x＝﹣40，x＝30＜40． （3分）


设s＝kx，把（60，15）代入得，15＝60k，k＝，


故s＝x．（4分）


由题意知10＜x＜12，40＜x＜48


∴车超速行驶．（6分）


综上所述，这次事故责任在乙方．


18．解：（1）由上述信息可知该函数图象的顶点坐标为：（3，﹣2）


设二次函数表达式为：y＝a（x﹣3）2﹣2．


∵该图象过A（1，0）


∴0＝a（1﹣3）2﹣2，解得a＝．


∴表达式为y＝（x﹣3）2﹣2


（2）如图所示：





由已知条件可知直线与图形“G”要有三个交点


1当直线与x轴重合时，有2个交点，由二次函数的轴对称性可求x3+x4＝6，


∴x3+x4+x5＞11．


当直线过y＝（x﹣3）2﹣2的图象顶点时，有2个交点，


由翻折可以得到翻折后的函数图象为y＝﹣（x﹣3）2+2


∴令（x﹣3）2+2＝﹣2时，解得x＝3+2或x＝3﹣2（舍去）


∴x3+x4+x5＜9+2．


综上所述11＜x3+x4+x5＜9+2．


19．解：（1）根据题意，可卖出千克数为500﹣10（x﹣50）＝1000﹣10x，


y与x的函数表达式为y＝（x﹣40）（1000﹣10x）＝﹣10x2+1400x﹣40000；





（2）∵当销售单价定为每千克55元时，


则销售单价每涨（55﹣50）元，少销售量是（55﹣50）×10千克，


∴月销售量为：500﹣（55﹣50）×10＝450（千克），


所以月销售利润为：（55﹣40）×450＝6750元；





（3）∵y＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000


∴当售价定为70元时，会获得最大利润，最大利润9000元．


20．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（0，﹣3），


∴，


解得，


故抛物线的函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3；





（2）令x2﹣2x﹣3＝0，


解得x1＝﹣1，x2＝3，


则点C的坐标为（3，0），


∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，


∴点E坐标为（1，﹣4），


设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F，


∵DC2＝OD2+OC2＝m2+32，DE2＝DF2+EF2＝（m+4）2+12，


∵DC＝DE，


∴m2+9＝m2+8m+16+1，


解得m＝﹣1，


∴点D的坐标为（0，﹣1）；





（3）∵点C（3，0），D（0，﹣1），E（1，﹣4），


∴CO＝DF＝3，DO＝EF＝1，


根据勾股定理，CD＝＝＝，


在△COD和△DFE中，


∵，


∴△COD≌△DFE（SAS），


∴∠EDF＝∠DCO，


又∵∠DCO+∠CDO＝90°，


∴∠EDF+∠CDO＝90°，


∴∠CDE＝180°﹣90°＝90°，


∴CD⊥DE，


①分OC与CD是对应边时，


∵△DOC∽△PDC，


∴＝，


即＝，


解得DP＝，


过点P作PG⊥y轴于点G，


则＝＝，


即＝＝，


解得DG＝1，PG＝，


当点P在点D的左边时，OG＝DG﹣DO＝1﹣1＝0，


所以点P（﹣，0），


当点P在点D的右边时，OG＝DO+DG＝1+1＝2，


所以，点P（，﹣2）；


②OC与DP是对应边时，


∵△DOC∽△CDP，


∴＝，


即＝，


解得DP＝3，


过点P作PG⊥y轴于点G，


则＝＝，


即＝＝，


解得DG＝9，PG＝3，


当点P在点D的左边时，OG＝DG﹣OD＝9﹣1＝8，


所以，点P的坐标是（﹣3，8），


当点P在点D的右边时，OG＝OD+DG＝1+9＝10，


所以，点P的坐标是（3，﹣10），


综上所述，满足条件的点P共有4个，其坐标分别为（﹣，0）、（，﹣2）、（﹣3，8）、（3，﹣10）．