搜索
    上传资料 赚现金
    人教版九年级数学上册 22.1二次函数的图像和性质 同步练习(含答案)
    立即下载
    加入资料篮
    人教版九年级数学上册   22.1二次函数的图像和性质 同步练习(含答案)01
    人教版九年级数学上册   22.1二次函数的图像和性质 同步练习(含答案)02
    人教版九年级数学上册   22.1二次函数的图像和性质 同步练习(含答案)03
    还剩16页未读, 继续阅读
    下载需要5学贝
    使用下载券免费下载
    加入资料篮
    立即下载

    初中数学22.1 二次函数的图象和性质综合与测试课后测评

    展开
    这是一份初中数学22.1 二次函数的图象和性质综合与测试课后测评,共19页。试卷主要包含了1二次函数的图像和性质等内容,欢迎下载使用。




    一.选择题


    1.下列函数中,y随x的增大而减小的是( )


    A.y=xB.y=x2C.y=x2(x≤0)D.y=x﹣3


    2.已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如表:


    则当x≥1时,y的最小值是( )


    A.2B.1C.D.0


    3.已知二次函数y=(x﹣)2+1,则下列说法:①其图象的开口向上;②其图象的对称轴为直线x=﹣;③其图象顶点坐标为(,﹣1);④当x<时,y随x的增大而减小,其中说法正确的有( )


    A.1个B.2个C.3个D.4个


    4.已知二次函数?=??2﹣??﹣2(?≠0)的图象的顶点在第四象限,且过点(﹣1,0),当?﹣?为整数时,ab的值是( )


    A.或1B.或1C.或D.或


    5.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:①a+b+c<0;②b2﹣4ac>0;③b>0;④4a﹣2b+c<0;⑤a+c<,其中正确结论的个数是( )





    A.②③④B.①②⑤C.①②④D.②③⑤


    6.对于题目“一段抛物线L:y=﹣x(x﹣3)+c(0≤x≤3)与直线l:y=x+2有唯一公共点,若c为整数,确定所有c的值,”甲的结果是c=1,乙的结果是c=3或4,则( )


    A.甲的结果正确


    B.乙的结果正确


    C.甲、乙的结果合在一起才正确


    D.甲、乙的结果合在一起也不正确


    7.已知两点A(﹣5,y1),B(﹣1,y2)均在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上,点C(x0,y0)是该抛物线的顶点,若y1>y2≥y0,则x0的取值范围是( )


    A.x0>﹣5B.x0>﹣1C.x0>﹣3D.﹣5<x0<﹣1


    8.二次函数y=ax2﹣8ax(a为常数)的图象不经过第三象限,在自变量x的值满足2≤x≤3时,其对应的函数值y的最大值为﹣3,则a的值是( )


    A.B.﹣C.2D.﹣2


    9.如图,已知将抛物线y=x2﹣1沿x轴向上翻折与所得抛物线围成一个封闭区域(包括边界),在这个区域内有5个整点(点M满足横、纵坐标都为整数,则把点M叫做“整点”).现将抛物线y=a(x+1)2+2(a<0)沿x轴向下翻折,所得抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内(包括边界)恰有11个整点,则a的取值范围是( )





    A.a≤﹣1B.C.D.


    10.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣3,0),其对称轴为直线x=﹣1,有下列结论:①abc<0;②a+b+c<0;③5a+4c<0;④4ac﹣b2>0;⑤若P(﹣5,y1),Q(m,y2)是抛物线上两点,且y1>y2,则实数m的取值范围是﹣5<m<3.其中正确结论的个数是( )





    A.1B.2C.3D.4


    二.填空题


    11.二次函数y=3(x﹣1)2+5的最小值为 .


    12.已知函数y=kx2+(2k+1)x+1(k为实数).


    (1)对于任意实数k,函数图象一定经过点(﹣2,﹣1)和点 ;


    (2)对于任意正实数k,当x>m时,y随着x的增大而增大,写出一个满足题意的m的值为 .


    13.在平面直角坐标系中,把一条抛物线先向上平移2个单位长度,再向左平移3个单位长度得到抛物线y=x2+4x+5,则原抛物线的解析式是 .


    14.如图,直线y=x+1与抛物线y=x2﹣4x+5交于A,B两点,点P是y轴上的一个动点,当△PAB的周长最小时,点P的坐标为 .





    15.下列关于二次函数y=﹣(x﹣m)2+m2+1(m为常数)的结论:①该函数的图象与函数y=﹣x2的图象形状相同;②该函数的图象一定经过点(0,1);③当x>0时,y随x的增大而减小;④该函数的图象的顶点在函数y=x2+1的图象上.其中所有正确结论的序号是 .


    16.如图,平面直角坐标系中,已知点A(6,0),B(2,4),P是线段OA上任意一点(不含端点O、A),过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下,它们的顶点分别在线段OB,AB上,则这两个二次函数的最大值之积的最大值为 .








    三.解答题


    17.如图,已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A(3,1),点B(0,4).


    (1)求该二次函数的表达式及顶点坐标;


    (2)点C(m,n)在该二次函数图象上.


    ①当m=﹣1时,求n的值;


    ②当m≤x≤3时,n最大值为5,最小值为1,请根据图象直接写出m的取值范围.











    18.在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+2过B(﹣2,6),C(2,2)两点,


    (1)试求抛物线的解析式.


    (2)记抛物线顶点为D,求△BCD的面积;


    (3)将直线y=﹣x向上平移b个单位,所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点,请求出b的取值范围.














    19.把二次函数C1:y=﹣x2+4x+n的图象沿x轴翻折,得到新的二次函数C2的图象,二次函数C1的x≥0部分与二次函数C2的x<0部分组成函数F.


    (1)二次函数C2的解析式为 (用含n的式子表示)


    (2)若n=﹣


    ①当点B(m,)在函数F的图象上时,求m的值:


    ②当﹣3≤x≤3时,求函数F的最大值和最小值


    (3)在平面直角坐标系中,点M,N的坐标分别为(﹣,1),(,1),连结MN.直接写出线段MN与函数F的图象有两个公共点时n的取值范围.

















    20.已知经过点的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线交于点D,E,如图.


    (1)求抛物线的解析式,并用配方法求顶点坐标;


    (2)横坐标为m的点P是抛物线上位于点D,E之间的一个动点(不含点D和E),连接PD,PE.当m取何值时,△PDE的边DE上的高h取得最大值,最大值是多少?








    参考答案


    一.选择题


    1.解:A、y=x中k=1>0,则该函数图象中y随x增大而增大,故本选项错误;


    B、y=x2中的中a=1>0,则该函数图开口向上,在y轴的右侧y随x增大而增大,在y轴的左侧y随x增大而减小,故本选项错误;


    C、y=x2(x≤0)中的中a=1>0,则在y轴的左侧y随x增大而减小,故本选项正确;


    D、y=x+3中k=1>0,则该函数图象中y随x增大而增大,故本选项错误;


    故选:C.


    2.解:∵由表可知,当x=﹣1时,y=10,当x=0时,y=5,当x=1时,y=2,


    ∴,


    解得,


    ∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+5,


    ∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2.


    ∵x≥1,


    ∴当x=2时,y最小===1.


    故选:B.


    3.解:∵a=>0,


    ∴抛物线开口向上,所以①正确;


    ∵y=(x﹣)2+1,


    ∴抛物线的对称轴为直线x=,顶点坐标为(,1),所以②③错误;


    当x<时,y随x的增大而减小,所以④正确;


    综上所述,正确的说法有2个.


    故选:B.


    4.解:∵二次函数?=??2﹣??﹣2(?≠0)的图象的顶点在第四象限,且过点(﹣1,0),


    ∴a>0,﹣>0,a+b﹣2=0,


    ∴a>0,b>0,b=2﹣a,


    ∴2﹣a>0,


    解得,a<2,


    ∴0<a<2,


    ∵a﹣b为整数,


    ∴a﹣(2﹣a)=2a﹣2为整数,


    ∴a=,b=或a=1,b=1或a=,b=,


    ∴当a=,b=时,ab=,


    当a=1,b=1时,ab=1,


    当a=,b=时,ab=,


    由上可得,ab的值是或1,


    故选:A.


    5.解:由图可知,x=1时,a+b+c<0,故①正确;


    ∵抛物线与x轴有两个交点,


    ∴△=b2﹣4ac>0,故②正确;


    ∵抛物线开口向下,


    ∴a<0,


    ∵抛物线对称轴为直线x=﹣=﹣1,


    ∴b=2a<0,故③错误;


    由图可知,x=﹣2时,4a﹣2b+c>0,故④错误;


    当x=0时,y=c=1,


    ∵a+b+c<0,b=2a,


    ∴3a+1<0,


    ∴a<﹣


    ∴a+c<,故⑤正确;


    综上所述,结论正确的是①②⑤.


    故选:B.


    6.解:∵抛物线L:y=﹣x(x﹣3)+c(0≤x≤3)与直线l:y=x+2有唯一公共点


    ∴①如图1,抛物线与直线相切,


    联立解析式


    得x2﹣2x+2﹣c=0


    △=(﹣2)2﹣4(2﹣c)=0


    解得:c=1,


    当c=1时,相切时只有一个交点,和题目相符 所以不用舍去;


    ②如图2,抛物线与直线不相切,但在0≤x≤3上只有一个交点


    此时两个临界值分别为(0,2)和(3,5)在抛物线上


    ∴c的最小值=2,但取不到,c的最大值=5,能取到


    ∴2<c≤5


    又∵c为整数


    ∴c=3,4,5


    综上,c=1,3,4,5,所以甲乙合在一起也不正确,


    故选:D.








    7.解:∵两点A(﹣5,y1),B(﹣1,y2)均在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上,点C(x0,y0)是该抛物线的顶点,


    ∴若y1>y2≥y0,则此函数开口向上,有最小值,


    ∴<x0≤﹣1或x0≥﹣1,


    解得,x0>﹣3


    故选:C.


    8.解:∵二次函数y=ax2﹣8ax=a(x﹣4)2﹣16a,


    ∴该函数的对称轴是直线x=4,


    又∵二次函数y=ax2﹣8ax(a为常数)的图象不经过第三象限,


    ∴a>0,


    ∵在自变量x的值满足2≤x≤3时,其对应的函数值y的最大值为﹣3,


    ∴当x=2时,a×22﹣8a×2=﹣3,


    解得,a=,


    故选:A.


    9.解:如图:





    ∵y=a(x+1)2+2(a<0),


    ∴该抛物线开口向下,顶点坐标为(﹣1,2),对称轴是直线x=﹣1.


    由此可知点(﹣1,2)、点(﹣1,1)、点(﹣1,0)、点(﹣1,﹣1)、点(﹣1,﹣2)符合题意,


    此时x轴上的点 (﹣2,0)、(0,0)也符合题意.


    将(0,1)代入y=a(x+1)2+2得到1=a+2.解得a=﹣1.


    将(1,0)代入y=a(x+1)2+2得到0=4a+2.解得a=﹣.


    ∵有11个整点,


    ∴点(0,﹣1)、点(﹣2,﹣1)、点(﹣2,1)、点(0,1)也必须符合题意.


    综上可知:当﹣1≤a<﹣时,点(﹣1,2)、点(﹣1,1)、点(﹣1,0)、点(﹣1,﹣1)、点(﹣1,﹣2)、点 (﹣2,0)、(0,0)、点(0,﹣1)、点(﹣2,﹣1)、点(﹣2,1)、点(0,1),共有11个整点符合题意,


    故选:D.


    10.解:①观察图象可知:


    a>0,b>0,c<0,∴abc<0,


    ∴①正确;


    ②当x=1时,y=0,即a+b+c=0,


    ∴②错误;


    ③对称轴x=﹣1,即﹣=﹣1


    得b=2a,


    当x=时,y<0,


    即a+b+c<0,


    即a+2b+4c<0,


    ∴5a+4c<0.


    ∴③正确;


    ④因为抛物线与x轴有两个交点,


    所以△>0,即b2﹣4ac>0,


    ∴4ac﹣b2<0.


    ∴④错误;


    ⑤∵(﹣5,y1)关于直线x=﹣1的对称点的坐标是(3,y1),


    ∴当y1>y2时,﹣5<m<3.


    ∴⑤正确.


    故选:C.


    二.填空题(共6小题)


    11.解:由于二次函数y=3(x﹣1)2+5中,a=3>0,


    所以当x=1时,函数取得最小值为5,


    故答案为5.


    12.解:(1)∵y=kx2+(2k+1)x+1(k为实数).


    ∴当x=﹣2时,y=4k+(2k+1)×(﹣2)+1=﹣1,


    当x=0时,y=0+0+1=1,


    ∴对于任意实数k,函数图象一定经过点(﹣2,﹣1)和点 (0,1),


    故答案为:(0,1);


    (2)∵k为任意正实数,


    ∴k>0,


    ∴函数图象开口向上,


    ∵函数y=kx2+(2k+1)x+1的对称轴为x=﹣=﹣1﹣<﹣1,


    ∴在对称轴右侧,y随x的增大而增大,


    ∵x>m时,y随x的增大而增大,


    ∴m≥﹣1﹣,


    故m=0时符合题意.(答案不唯一,m≥﹣1即可).


    故答案为:0.


    13.解:y=x2+4x+5=(x+2)2+1,将其向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到原抛物线的解析式为:y=(x+2﹣3)2+1﹣2=(x﹣1)2﹣1,即y=x2﹣2x.


    故答案是:y=x2﹣2x.


    14.解:,


    解得,或,


    ∴点A的坐标为(1,2),点B的坐标为(4,5),


    ∴AB==3,


    作点A关于y轴的对称点A′,连接A′B与y轴的交于P,则此时△PAB的周长最小,


    点A′的坐标为(﹣1,2),点B的坐标为(4,5),


    设直线A′B的函数解析式为y=kx+b,


    ,得,


    ∴直线A′B的函数解析式为y=x+,


    当x=0时,y=,


    即点P的坐标为(0,),


    故答案为:(0,).





    15.解:①∵二次函数y=﹣(x﹣m)2+m+1(m为常数)与函数y=﹣x2的二次项系数相同,


    ∴该函数的图象与函数y=﹣x2的图象形状相同,故结论①正确;


    ②∵在函数y=﹣(x﹣m)2+m2+1中,令x=0,则y=﹣m2+m2+1=1,


    ∴该函数的图象一定经过点(0,1),故结论②正确;


    ③∵y=﹣(x﹣m)2+m2+1,


    ∴抛物线开口向下,对称轴为直线x=m,当x>m时,y随x的增大而减小,故结论③错误;


    ④∵抛物线开口向下,当x=m时,函数y有最大值m2+1,


    ∴该函数的图象的顶点在函数y=x2+1的图象上.故结论④正确,


    故答案为①②④.


    16.解:设直线OB交抛物线y1于点C,直线AB交抛物线y2于点D,即点C、D分别是这两个抛物线的顶点,





    点A(6,0),则OA=6,


    由点B的坐标得,tan∠BOA==2,同理由点A、B的坐标得,tan∠BAO=1,


    OP=2OM=2×=CM,同理PA=2AN=2ND,


    设OP=x,则PA=6﹣x,


    CM=x,ND=PA=(6﹣x),


    设两个二次函数的最大值之积为y,


    则y=CM•DN=x•(6﹣x)=﹣x2+3x,


    ∵﹣0,故y有最大值,


    当x=3时,y的最大值为,


    故答案为.


    三.解答题(共4小题)


    17.解:(1)∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A(3,1),点B(0,4).


    ∴,解得,


    ∴该二次函数为y=﹣x2+2x+4,


    ∵y=﹣(x﹣1)2+5,


    ∴顶点为(1,5);


    (2)∵点C(m,n)在该二次函数图象上,


    ①当m=﹣1时,则C(﹣1,n),


    把C(﹣1,n)代入y=﹣x2+2x+4得,n=1;


    ②当m≤x≤3时,n最大值为5,最小值为1,


    ∵抛物线的顶点为(1,5),


    把y=1代入y=﹣x2+2x+4得1=﹣x2+2x+4,解得x1=3,x2=﹣1,


    ∴m的取值范围是﹣1≤m≤1.


    18.解:(1)把B(﹣2,6),C(2,2)两点坐标代入得:,


    解这个方程组,得 ,


    ∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+2;


    (2)∵y=x2﹣x+2=(x﹣1)2+,


    ∴顶点D(1,),


    ∴△BCD的面积=4×﹣×3×﹣×1×﹣×4×4=3.


    (3)由消去y得到x2+x+4﹣2b=0,


    当△=0时,直线与抛物线相切,1﹣4(4﹣2b)=0,


    ∴b=,


    当直线y=﹣x+b经过点C时,b=5,


    当直线y=﹣x+b经过点B时,b=3,


    ∵直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点,


    ∴<b≤3.


    19.解:(1)二次函数C1:y=﹣x2+4x+n的图象沿x轴翻折,得到二次函数C2的图象的横坐标与原坐标相等,纵坐标互为相反数,


    所以二次函数C2:y=x2﹣4x﹣n,


    故答案为y=x2﹣4x﹣n;


    (2)①∵n=﹣,


    ∴y=x2﹣4x+(x<0),


    ∵点B(m,)在函数F的图象上,


    ∴=m2﹣4m+,


    ∴m=2﹣,


    ∵y=﹣x2+4x﹣(x>0),


    ∵点B(m,)在函数F的图象上,


    ∴=﹣m2+4m﹣,


    ∴m=2±,


    ∴m=2﹣或m=2±;


    ②∵y=﹣x2+4x﹣与x轴的交点为(2﹣,0),(2+,0),


    ∴当﹣3≤x≤3时,当x=0时,y=﹣x2+4x﹣=﹣;


    当x=﹣3时,y=x2﹣4x+=;


    ∴函数F的最大值,最小值﹣;


    (3)如图1所示:线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点.


    所以当x=2时,y=1,


    即﹣4+8+n=1,


    解得n=﹣3.


    如图2所示:线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点.


    ∵抛物线y=x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1,


    ∴﹣n=1,


    解得:n=﹣1.


    ∴当﹣3<n≤﹣1时,线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点.





    如图3所示:线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点.


    ∵抛物线y=﹣x2+4x+n经过点(0,1),


    ∴n=1.


    如图4所示:线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点.


    ∵抛物线y=x2﹣4x﹣n经过点M(﹣,1),


    ∴+2﹣n=1,


    解得:n=,


    ∴1<n≤ 时,线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点.


    综上所述,n的取值范围是﹣3<n≤﹣1或1<n≤.














    20.解:(1)将点B,C的坐标分别代入y=﹣x2+bx+c,


    得,


    解得,


    故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.


    因为y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,


    所以抛物线的顶点坐标是(1,4).


    (2)方法一:


    由解得,,


    所以点D,E的坐标分别是.


    过点P作x轴的垂线交DE于点Q,


    易知,


    易知.


    设△PDE的面积为S,


    因为DE为定值,所以当S取最大值时,h取得最大值


    .,


    因此,当时,有最大值,最大值为.


    又为,


    所以h的最大值为.


    方法二:


    由解得,.


    所以点D,E的坐标分别是,(4,﹣5).


    设过点P且平行于DE的直线l的解析式为,


    当直线l与抛物线有唯一交点时,△PDE的面积最大.


    由得,


    故,解得.


    故原方程为,


    解得.


    将代入y=﹣x2+2x+3,得,即点P的坐标为.


    过点P作x轴的垂线,交DE于点Q,则点Q的坐标为,


    因此△PDE的最大面积为,


    又因为,


    所以h的最大值为.








    x

    ﹣1
    0
    1
    4

    y

    10
    5
    2
    5

    相关试卷

    初中人教版22.1.1 二次函数课后作业题: 这是一份初中人教版22.1.1 二次函数课后作业题,共7页。

    初中数学人教版九年级上册22.1 二次函数的图象和性质综合与测试习题: 这是一份初中数学人教版九年级上册22.1 二次函数的图象和性质综合与测试习题,共5页。试卷主要包含了选择题,填空题 ,解答题等内容,欢迎下载使用。

    初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数同步训练题: 这是一份初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数同步训练题,共8页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    • 课件
    • 教案
    • 试卷
    • 学案
    • 其他

    免费资料下载额度不足,请先充值

    每充值一元即可获得5份免费资料下载额度

    今日免费资料下载份数已用完,请明天再来。

    充值学贝或者加入云校通,全网资料任意下。

    提示

    您所在的“深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载 10 份资料 (今日还可下载 0 份),请取消部分资料后重试或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载10份资料,您的当日额度已用完,请明天再来,或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深圳市第一中学”云校通余额已不足,请提醒校管理员续费或选择从个人账户扣费下载。

    重新选择
    明天再来
    个人账户下载
    下载确认
    您当前为教习网VIP用户,下载已享8.5折优惠
    您当前为云校通用户,下载免费
    下载需要:
    本次下载:免费
    账户余额:0 学贝
    首次下载后60天内可免费重复下载
    立即下载
    即将下载:0份资料
    • 充值学贝下载 90%的用户选择 本单免费
    • 扫码直接下载
    选择教习网的 4 个理由
    • 更专业

      地区版本全覆盖, 同步最新教材, 公开课⾸选;1200+名校合作, 5600+⼀线名师供稿

    • 更丰富

      涵盖课件/教案/试卷/素材等各种教学资源;500万+优选资源 ⽇更新5000+

    • 更便捷

      课件/教案/试卷配套, 打包下载;手机/电脑随时随地浏览;⽆⽔印, 下载即可⽤

    • 真低价

      超⾼性价⽐, 让优质资源普惠更多师⽣

    开票申请 联系客服
    本次下载需要:0学贝 0学贝 账户剩余:0学贝
    本次下载需要:0学贝 原价:0学贝 账户剩余:0学贝
    了解VIP特权
    您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送

        扫码支付后直接下载

        0元

        扫码支付后直接下载

        使用学贝下载资料比扫码直接下载优惠50%
        充值学贝下载,本次下载免费
        了解VIP特权
        • 微信
        • 支付宝

        微信扫码支付

        支付宝扫码支付(支持花呗)

        到账0学贝
        • 微信
        • 支付宝

        微信扫码支付

        支付宝扫码支付 (支持花呗)

          下载成功

          Ctrl + Shift + J 查看文件保存位置

          若下载不成功,可重新下载,或查看 资料下载帮助

          本资源来自成套资源

          更多精品资料

          正在打包资料,请稍候…

          预计需要约10秒钟,请勿关闭页面

          服务器繁忙,打包失败

          请联系右侧的在线客服解决

          单次下载文件已超2GB,请分批下载

          请单份下载或分批下载

          支付后60天内可免费重复下载

          我知道了
          正在提交订单

          欢迎来到教习网

          • 900万优选资源,让备课更轻松
          • 600万优选试题,支持自由组卷
          • 高质量可编辑,日均更新2000+
          • 百万教师选择,专业更值得信赖
          微信扫码注册
          qrcode
          二维码已过期
          刷新

          微信扫码,快速注册

          还可免费领教师专享福利「樊登读书VIP」

          手机号注册
          手机号码

          手机号格式错误

          手机验证码 获取验证码

          手机验证码已经成功发送,5分钟内有效

          设置密码

          6-20个字符,数字、字母或符号

          注册即视为同意教习网「注册协议」「隐私条款」
          QQ注册
          手机号注册
          微信注册

          注册成功

          下载确认

          下载需要:0 张下载券

          账户可用:0 张下载券

          立即下载

          如何免费获得下载券?

          加入教习网教师福利群,群内会不定期免费赠送下载券及各种教学资源, 立即入群

          返回
          顶部