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    人教版九年级数学上册课时练:第22章 《二次函数》 (基础篇)
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    数学第二十二章 二次函数综合与测试练习题

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    这是一份数学第二十二章 二次函数综合与测试练习题,共15页。试卷主要包含了已知抛物线过点A,下列关于抛物线y=等内容,欢迎下载使用。

    时间:100分钟 满分:100分


    学校:______班级:_____姓名:______得分:_______





    一.选择题(每小题3分,共30分)


    1.函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有1个公共点,则常数m的值是( )


    A.1B.2C.0,1D.1,2


    2.将抛物线y=2x2向下平移3个单位,则平移后的抛物线表达式为( )


    A.y=2x2+3B.y=2x2﹣3C.y=2(x+3)2D.y=2(x﹣3)2


    3.把抛物线y=﹣2x2+4x+1的图象绕着其顶点旋转180°,所得抛物线函数关系式是( )


    A.y=2x2﹣4x﹣1B.y=2x2﹣4x+5


    C.y=﹣2x2+4x﹣1D.y=﹣2x2﹣4x+5


    4.抛物线y=x2+4x+3的对称轴是( )


    A.直线x=1B.直线x=﹣1C.直线x=﹣2D.直线x=2


    5.二次函数y=﹣x2+2x在下列( )范围内,y随着x的增大而增大.


    A.x<2B.x>2C.x<0D.x>0


    6.已知抛物线过点A(﹣1,m)、B(1,m)和C(2,m﹣1),则其大致图象为( )


    A.B.


    C.D.


    7.如图,一段抛物线y=﹣x2+6x(0≤x≤6),记为抛物线C1,它与x轴交于点O、A1;将抛物线C1绕点A1旋转180°得抛物线C2,交x轴于点A2;将抛物线C2绕点A2旋转180°得抛物线C3,交x轴于点A3…;如此进行下去,得到一条“波浪线”,若点M(200,m)在此“波浪线”上,则m的值为( )





    A.﹣6B.6C.﹣8D.8


    8.下列关于抛物线y=(x﹣1)2+3的说法不正确的是( )


    A.抛物线开口向上


    B.抛物线的顶点是(1,3)


    C.抛物线与y轴的交点是(0,3)


    D.当x>1时,y随x的增大而增大


    9.如图,正方形ABCD的顶点C、D在x轴上,A、B恰好在二次函数y=2x2﹣4的图象上,则图中阴影部分的面积之和为( )





    A.6B.8C.10D.12


    10.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,点B位于(4,0)、(5,0)之间,与y轴交于点C,对称轴为直线x=2,直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C,D两点,D点在x轴上方且横坐标小于5,则下列结论:①4a+b+c>0;②a﹣b+c<0;③m(am+b)<4a+2b(其中m为任意实数);④a<﹣1,其中正确的是( )





    A.①②③④B.①②③C.①②④D.①③④








    二.填空题(每小题4分,共20分)


    11.二次函数y=2(x﹣1)2+5的图象的顶点坐标为 .


    12.如图,在平面直角坐标系中,P是抛物线y=﹣x2+3x上一点,且在x轴上方,过点P分别向x轴、y轴作垂线,得到矩形PMON,若矩形PMON的周长随点P的横坐标m增大而增大,则m的取值范围是 .





    13.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长20m,当矩形的长、宽各取某个特定的值时,菜园的面积最大,这个最大面积是 m2.





    14.飞机着陆后滑行的距离y(m)与滑行时间x(s)的函数关系式为y=﹣x2+60x,则飞机着陆后滑行 m才停下来.


    15.二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴的两个交点A、B的横坐标分别为﹣3、1,与y轴交于点C,下面四个结论:①16a+4b+c<0;②若P(﹣5,y1),Q(,y2)是函数图象上的两点,则y1>y2;③c=﹣3a;④若△ABC是等腰三角形,则b=﹣或﹣.其中正确的有 .(请将正确结论的序号全部填在横线上)





    三.解答题(每题10分,共50分)


    16.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=﹣bx,其中a、b、c,满足a>b>c,a+b+c=0.


    (1)求证:这两个函数的图象交于不同的两点;


    (2)设这两个函数的图象交于A,B两点,作AA1⊥x轴于A1,BB1⊥x轴于B1,求线段A1B1的长的取值范围.


    17.某公司销售一种新型产品,现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售.若只在国内销售,销售价格y(元/件)与月销量x(件)的函数关系式为y=﹣x+150,成本为50元/件,无论销售多少,每月还需支出广告费90000元,设月利润为w内(元),若只在国外销售,销售价格为150元/件,受各种不确定因素影响,成本为a元/件(a为常数,10≤a≤40),当月销量为x(件)时,每月还需缴纳x2元的附加费,设月利润为w外(元).


    (1)当x=1000时,y= 元/件,w内= 元;


    (2)分别求出w内,w外与x间的函数关系式(不必写x的取值范围);


    (3)当x为何值时,在国内销售的月利润最大?若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同,求a的值.











    18.如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=﹣+bx+c的图象经过点A(1,0),且当x=0和x=5时所对应的函数值相等.一次函数y=﹣x+3与二次函数y=﹣+bx+c的图象分别交于B,C两点,点B在第一象限.


    (1)求二次函数y=﹣+bx+c的表达式;


    (2)连接AB,求AB的长;


    (3)连接AC,M是线段AC的中点,将点B绕点M旋转180°得到点N,连接AN,CN,判断四边形ABCN的形状,并证明你的结论.











    19.某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本.


    (1)当销售单价为70元时,每天的销售利润是多少?


    (2)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式,并求出自变量x的取值范围;


    (3)如果该企业每天的总成本不超过7000元,那么销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(每天的总成本=每件的成本×每天的销售量)

















    20.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c 经过A(﹣1,0),C(0,3)两点,点B是抛物线与x轴的另一个交点,点D与点C关于抛物线对称轴对称,作直线AD.点P在抛物线上,过点P作PE⊥x轴,垂足为点E,交直线AD于点Q,过点P作PG⊥AD,垂足为点G,连接AP.设点P的横坐标为m,PQ的长度为d.


    (1)求抛物线的解析式;


    (2)求点D的坐标及直线AD的解析式;


    (3)当点P在直线AD上方时,求d关于m的函数关系式,并求出d的最大值;


    (4)当点P在直线AD上方时,若PQ将△APG分成面积相等的两部分,直接写出m的值.








    参考答案


    一.选择题


    1.解:①若m=0,则函数y=2x+1,是一次函数,与x轴只有一个交点;


    ②若m≠0,则函数y=mx2+2x+1,是二次函数.


    根据题意得:△=4﹣4m=0,


    解得:m=1.


    故m为0或1.


    故选:C.


    2.解:∵抛物线y=2x2向下平移3个单位,


    ∴抛物线的解析式为y=2x2﹣3.


    故选:B.


    3.解:y=﹣2x2+4x+1=﹣2(x2﹣2x)+1


    =﹣2(x2﹣2x+1﹣1)+1


    =﹣2(x﹣1)2+3,


    所以原抛物线的顶点坐标为(1,3),


    因为抛物线y=﹣2x2+4x+1绕顶点旋转180°后所得抛物线的开口大小不变,顶点坐标不变,只是开口方向相反,


    ∴旋转后的抛物线解析式为y=2(x﹣1)2+3=2x2﹣4x+5.


    故选:B.


    4.解:∵y=x2+4x+3=(x+2)2﹣1,


    ∴抛物线对称轴为直线x=﹣2,


    故选:C.


    5.解:∵y=﹣x2+2x=﹣(x﹣1)2+1,且a=﹣1<0,


    ∴当x<1时,y随x的增大而增大,


    在四个选项中,其范围在x<1中的是x<0,


    故选:C.


    6.解:∵抛物线过点A(﹣1,m)、B(1,m),


    ∴抛物线的对称轴为y轴,


    ∴可排除A、C.


    ∵1<2,m>m﹣1,


    ∴在y轴右侧y随x的增大而减小,


    ∴抛物线开口向下,


    ∴B错误,D正确.


    故选:D.


    7.解:∵y=﹣x2+6x(0≤x≤6),


    ∴图象C1与x轴交点坐标为:(0,0),(6,0),


    ∵将C1绕点A1旋转180°得C2,交x轴于点A2;,


    ∴抛物线C2:y=(x﹣6)(x﹣12)(6≤x≤12),


    将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于点A3;





    ∴(200,m)在抛物线C34,y=﹣(x﹣198)(x﹣204)(198≤x≤204)上,


    ∴当x=200时,m=﹣(200﹣198)(200﹣204)=﹣8.


    故选:C.


    8.解:A,由抛物线可看出a=1>0,故开口向上,故说法正确.


    B,因为顶点坐标是(1,3),故说法正确;


    C,当x=0时,y=4,故与与y轴交点为(0,4),故说法不正确


    D,由于开口方向向上,对称轴为x=1,x>1时y随x的增大而增大,故说法正确;


    故选:C.


    9.解:∵四边形ABCD为正方形,抛物线y=2x2﹣4和正方形都是轴对称图形,且y轴为它们的公共对称轴,


    ∴OD=OC,S阴影=S矩形BCOE,


    设点B的坐标为(n,2n)(n>0),


    ∵点B在二次函数y=2x2﹣4的图象上,


    ∴2n=2n2﹣4,


    解得,n1=2,n2=﹣1(舍负),


    ∴点B的坐标为(2,4),


    ∴S阴影=S矩形BCOE=2×4=8.


    故选:B.


    10.解:∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,


    ∴c>0,


    ∵抛物线的对称轴为直线x=2∴b=﹣4a,


    ∴4a+b+c=4a﹣4a+c=c>0,所以①正确;


    ∵抛物线的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点B位于(4,0)、(5,0)之间,


    ∴抛物线与x轴的另一个交点位于(0,0)、(﹣1,0)之间,


    即当x=﹣1时,y<0,也就是a﹣b+c<0,因此②正确;


    ∵对称轴为x=2,


    ∴x=2时的函数值大于或等于x=m时函数值,即,当x=2时,函数值最大,


    ∴am2+bm+c≤4a+2b+c,


    即,m(am+b)≤4a+2b,因此③不正确;


    ∵直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点,D点在x轴上方且横坐标小于5,


    ∴x=5时,一次函数值比二次函数值大,


    即25a+5b+c<﹣5+c,


    而b=﹣4a,


    ∴25a﹣20a<﹣5,解得a<﹣1,因此④正确;


    综上所述,正确的结论有①②④,


    故选:C.


    二.填空题(共5小题)


    11.解:∵抛物线解析式为y=2(x﹣1)2+5,


    ∴二次函数图象的顶点坐标是(1,5).


    故答案为(1,5)


    12.解:当y=0时,有﹣x2+3x=0,


    解得:x1=0,x2=3,


    ∴0<m<3.


    ∵点P的横坐标为m,


    ∴点P的坐标为(m,﹣m2+3m),OM=m,PM=3m﹣m2,


    ∴C矩形OMON=2(OM+PM)=2(m+3m﹣m2)=﹣2m2+8m,


    ∴当0<m≤2时,矩形PMON的周长随点P的横坐标m增大而增大.


    故答案为:0<m≤2.


    13.解:设矩形的长为xm,则宽为m,


    菜园的面积S=x•=﹣x2+15x=﹣(x﹣15)2+,(0<x≤20)


    ∵当x<15时,S随x的增大而增大,


    ∴当x=15时,S最大值=m2,


    故答案为:.


    14.解:∵y=﹣x2+60x=﹣(x﹣20)2+600,


    ∴x=20时,y取得最大值,此时y=600,


    即该型号飞机着陆后滑行600m才能停下来,


    故答案为:600.


    15.解:①∵a<0,


    ∴抛物线开口向下,


    ∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3,1,


    ∴当x=﹣4时,y<0,


    即16a﹣4b+c<0;


    故①正确;


    ②∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3,1,


    ∴抛物线的对称轴是:x=﹣1,


    ∵P(﹣5,y1),Q(,y2),


    ﹣1﹣(﹣5)=4,﹣(﹣1)=3.5,


    由对称性得:(﹣4.5,y3)与Q(,y2)是对称点,


    ∴则y1<y2;


    故②不正确;


    ③∵﹣=﹣1,


    ∴b=2a,


    当x=1时,y=0,即a+b+c=0,


    3a+c=0,


    c=﹣3a,故③正确;


    ④要使△ACB为等腰三角形,则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC,


    当AB=BC=4时,


    ∵BO=1,△BOC为直角三角形,


    又∵OC的长即为|c|,


    ∴c2=16﹣1=15,


    ∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,


    ∴c=,


    与b=2a、a+b+c=0联立组成解方程组,解得b=﹣;


    同理当AB=AC=4时,


    ∵AO=3,△AOC为直角三角形,


    又∵OC的长即为|c|,


    ∴c2=16﹣9=7,


    ∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,


    ∴c=,


    与b=2a、a+b+c=0联立组成解方程组,解得b=﹣;


    同理当AC=BC时,


    在△AOC中,AC2=9+c2,


    在△BOC中BC2=c2+1,


    ∵AC=BC,


    ∴1+c2=c2+9,此方程无实数解.


    经解方程组可知有两个b值满足条件.


    故④正确.


    综上所述,正确的结论是①③④.


    故答案是:①③④.


    三.解答题(共5小题)


    16.解:(1)联立方程得:ax2+2bx+c=0,


    △=4(a2+ac+c2),


    ∵a>b>c,a+b+c=0,


    ∴a>0,c<0,


    ∴△>0,


    ∴两函数的图象相交于不同的两点;





    (2)设方程的两根为x1,x2,则


    |A1B1|2=(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4x1x2,


    =(﹣)2﹣==,


    =4[()2++1],


    =4[(+)2+],


    ∵a>b>c,a+b+c=0,


    ∴a>﹣(a+c)>c,a>0,


    ∴﹣2<<﹣,


    此时3<A1B12<12,


    ∴<|A1B1|<2.


    17.解:(1)当x=1000时,y=﹣×1000+150=140元/件,w内=1000×(140﹣50)﹣90000=0元;





    (2)w内=x(y﹣50)﹣90000=x(﹣x+150﹣50)﹣90000=﹣x2+100x﹣90000,


    即w内=﹣x2+100x﹣90000,


    w外=x(150﹣a)﹣x2=﹣x2+(150﹣a)x,


    即w外=﹣x2+(150﹣a)x;





    (3)∵w内=﹣x2+100x﹣90000,


    ∴当x=﹣=5000时,w内最大;


    ∵在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同,


    ∴=,


    整理,得(150﹣a)2=13600,


    解得a1=34,a2=284(不合题意,舍去).


    ∴a=34.


    18.解:(1)当x=0时,y=c,即(0,c).


    由当x=0和x=5时所对应的函数值相等,得(5,c).


    将(5,c)(1,0)代入函数解析式,得





    解得.


    故抛物线的解析式为y=﹣x2+x﹣2;


    (2)联立抛物线与直线,得





    解得,,


    即B(2,1),C(5,﹣2).


    由勾股定理,得


    AB==;


    (3)如图:





    四边形ABCN是平行四边形,


    证明:∵M是AC的中点,


    ∴AM=CM.


    ∵点B绕点M旋转180°得到点N,


    ∴BM=MN,


    ∴四边形ABCN是平行四边形,


    又∵AB=,BC=3,AC=2,


    ∴AC2=AB2+BC2,


    ∴∠ABC=90°,


    ∴四边形ABCN是矩形.


    19.解:(1)当销售单价为70元时,每天的销售利润=(70﹣50)×[50+5×(100﹣70)]=4000元;


    (2)由题得 y=(x﹣50)[50+5(100﹣x)]=﹣5x2+800x﹣27500(x≥50).


    ∵销售单价不得低于成本,


    ∴50≤x.且销量>0,


    5(100﹣x)+50≥0,解得x≤110,


    ∴50≤x≤100.


    (3)∵该企业每天的总成本不超过7000元


    ∴50×[50+5(100﹣x)]≤7000(8分)


    解得x≥82.


    由(2)可知 y=(x﹣50)[50+5(100﹣x)]=﹣5x2+800x﹣27500


    ∵抛物线的对称轴为x=80且a=﹣5<0


    ∴抛物线开口向下,在对称轴右侧,y随x增大而减小.


    ∴当x=82时,y有最大,最大值=4480,


    即 销售单价为82元时,每天的销售利润最大,最大利润为4480元.


    20.解:(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c 经过A(﹣1,0),C(0,3)两点,


    ∴,


    解得.


    ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.


    (2)∵将y=﹣x2+2x+3配方,得y=﹣(x﹣1)2+4,


    ∴抛物线的对称轴是直线x=1.


    ∴点D的坐标为(2,3).


    设直线AD的解析式为y=kx+n,


    由题意,得,


    解得.


    ∴直线AD的解析式为y=x+1.


    (3)∵点P的横坐标为m,


    ∴点P,Q的纵坐标分别为﹣m2+2m+3,m+1,


    ∴d=﹣m2+2m+3﹣m﹣1=﹣m2+m+2=﹣(m﹣)2+,


    ∴d关于m函数关系式是d=﹣m2+m+2,d的最大值为.


    (4)设直线PG的解析式为y=﹣x+P,


    ∵PQ将△APG分成面积相等的两部分,


    ∴G的坐标为(2m+1,2m+2),


    ∴,


    解得m1=0,m2=﹣1(不合题意舍去).


    故m的值为0.





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