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初中数学第二十二章 二次函数综合与测试当堂检测题
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这是一份初中数学第二十二章 二次函数综合与测试当堂检测题，共16页。试卷主要包含了下列函数中，一定是二次函数的是，已知A，抛物线y＝﹣2，对于抛物线y＝﹣2，二次函数y＝ax2+bx+c等内容，欢迎下载使用。
时间：100分钟 满分：100分
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．下列函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y＝﹣x2+1B．y＝ax2+bx+cC．y＝2x+3D．y＝
2．已知A（4，y1），B（1，y2），C（﹣3，y3）在函数y＝﹣3（x﹣2）2+m（m为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜ y1D．y1＜y2＜ y3
3．抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3的最大值为（ ）
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4
4．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax﹣bc的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
5．对于抛物线y＝﹣2（x+5）2+4，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下，顶点坐标（5，4）
B．开口向上，顶点坐标（5，4）
C．开口向下，顶点坐标（﹣5，4）
D．开口向上，顶点坐标（﹣5，4）
6．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为（ ）
A．12B．9C．15D．16
7．二次函数y＝ax2+2ax+c的图象如图所示，当x＝t时，y＞0，则x＝t+2时函数值（ ）
A．c＜y＜0B．y＜cC．y＞0D．y＜0
8．如图抛物线y＝ax2+bx+与y轴交于点A，与x轴交于点B、点C．连接AB，以AB为边向右作平行四边形ABDE，点E落在抛物线上，点D落在x轴上，若抛物线的对称轴恰好经过点D，且∠ABD＝60°，则这条抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2xB．y＝﹣x2x
C．y＝﹣x2xD．y＝﹣x2﹣x
9．如图，抛物线y1＝x2﹣2x，直线y2＝﹣2x+b相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2．当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2，取m＝（|y1﹣y2|+y1+y2）．则（ ）
A．当x＜﹣2时，m＝y2B．m随x的增大而减小
C．当m＝2时，x＝0D．m≥﹣2
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④abc＞0，其中正确结论的个数是（ ）
A．4个B．1个C．2个D．3个
二．填空题（每小题4分，共20分）
11．已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第二象限，且过点（1，0）．当a﹣b为整数时，ab＝ ．
12．若抛物线y＝（x﹣m）2+（m﹣1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为 ．
13．要得到函数y＝2（x﹣1）2+3的图象，可以将函数y＝2x2的图象向 平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度．
14．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣6）2+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.24m，球场的边界距O点的水平距离为18m．若球一定能越过球网，又不出边界（可落在边界），则h的取值范围是 ．
15．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a+b+c＝0；③当m＜﹣1时，关于x的方程a2+bx+c+m＝0无实根；④ac﹣b+1＝0；⑤OA•OB＝．其中正确的结论有 ．
三．解答题（每题10分，共50分）
16．如图，已知抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积．
17．对于x轴上一点P和某一个函数图象上两点M，N，给出如下定义：如果函数图象上存在两个点M，N（M在N的左侧），使得∠MPN＝60°，那么称△MPN为“点截距三角形”，点P则被称为线段MN的“海安点”．
（1）若一次函数图象上有两点M（0，6）、N（3，3），在点D（0，0），E（，0），F（2，0）中，线段MN的“海安点”有 ；
（2）若直线y＝kx+b分别与y轴、x轴分别交于点M、N，以P（﹣1，0）为“海安点”的点截距三角形恰好是一个直角三角形，求此直线的解析式．
（3）若点M是抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1的顶点，MN＝2，若存在海安点，请求出m的取值范围．
18．有一个二次函数满足以下条件：①函数图象与x轴的交点坐标分别为A（1，0），B（x2，y2）（点B在点A的右侧）；②对称轴是x＝3；③该函数有最小值是﹣2．
（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；
（2）将该函数图象中x＞x2部分的图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”，试结合图象分析：平行于x轴的直线y＝m与图象“G”的交点的个数情况．
19．某公司生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品每千克的成本费是30元，生产乙种产品每千克的成本费是20元，物价部门规定，这两种产品的销售单价（每千克的售价）之和为80元，经市场调研发现，甲种产品的销售单价为x（元），在公司规定30≤x≤60的范围内，甲种产品的月销售量y1（千克）符合y1＝﹣2x+150，乙种产品的月销售量y2（千克）与它的销售单价成正比例，当乙产品单价为30元（即：80﹣x＝30）时，它的月销售量是30千克．
（1）求y2与x之间的函数关系式；
（2）公司怎样定价，可使月销售利润最大？最大月销售利润是多少？（销售利润＝销售额﹣生产成本费）
（3）是否月销售额越大月销售利润也越大？请说明理由．
20．如图，在平面直角坐标中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（6，0），B（﹣2，0），C（0，4）．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；
（2）点P在第一象限的抛物线上，且能够使△ACP得面积最大，求点P的坐标；
（3）在（2）的前提下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△APQ为直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：A、是二次函数，故本选项符合题意；
B、当a＝0时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、不是二次函数，故本选项不符合题意；
D、不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．解：∵y＝﹣3（x﹣2）2+m，
∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝2，
A（4，y1）关于直线x＝2的对称点是（0，y1），
∵﹣3＜0＜1，
∴y3＜y1＜y2
故选：A．
3．解：∵a＝﹣2＜0，
∴函数有最大值﹣3，
故选：C．
4．解：由二次函数y＝ax2+bx+c的图象可得，
a＜0，b＞0，c＞0，
∴bc＞0，
∴一次函数y＝ax﹣bc的图象经过第二、三、四象限，
故选：D．
5．解：∵抛物线y＝﹣2（x+5）2+4，
∴抛物线的开口方向向下，
顶点坐标为（﹣5，4）．
故选：C．
6．解：菱形顶点C的坐标为（4，3），
则OC＝5，则BC＝OC＝5，
设点D（x，﹣x2+6x），
△BCD的面积＝×BC×（yD﹣yC）＝×5×（﹣x2+6x﹣3）＝﹣（x﹣3）2+15，
∵﹣＜0，故△BCD面积有最大值为15，
故选：C．
7．解：函数的对称轴为：x＝﹣＝﹣1，
设：抛物线与x轴交点为A、B，则OA＜2，
当x＝t时，y＞0，即x在AB之间，
当x＝t在点A处时，x＝t+2在y轴右侧，
即y＜c，
故选：B．
8．解：如下图所示，OA＝，∠ABD＝60°，
则OB＝＝1，过点B（﹣1，0），
∵四边形ABDE平行四边形，
则∠AED＝∠ABD＝60°，OH＝OA＝，
同理可得：HE＝1＝AH，过点E（2，），
将点B、E的坐标代入函数表达式得：，解得：，
故函数的表达式为：y＝﹣x2x
故选：B．
9．解：点A在抛物线上，则y1＝×4﹣2×2＝﹣2，
故点A（2，﹣2），
将点A的坐标代入y2＝﹣2x+b得：
﹣2＝﹣2×2+b，解得：b＝2，
故：y2＝﹣2x+2，
m＝（|y1﹣y2|+y1+y2）＝y1或y2，
①当x2﹣2≥0时，即x≥2或x≤﹣2
m＝x2﹣2x，函数的对称轴为x＝2，
函数的最小值为﹣2；
②当x2﹣2＜0时，即：﹣2＜x＜2，
m＝2﹣2x，函数m的值大于﹣2，
故选：D．
10．解：∵图象与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，①正确；
∵当x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，
∴4a+c＞2b，②错误；
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵a+b+c＜0，
∴b+b+c＜0，3b+2c＜0，
∴③是正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0；
∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣1，b＝2a，故b＜0；
抛物线交y轴于正半轴，得：c＞0；
∴abc＞0；④正确．
故结论正确的有①③④3个，
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．解：依题意知a＜0，，
故b＜0，且b＝﹣a﹣1，a﹣b＝a﹣（﹣a﹣1）＝2a+1，
于是﹣1＜a＜0，
又∵a﹣b为整数，
∴2a+1＝0，
解得，a＝﹣，
∴b＝﹣a﹣1＝﹣（﹣）﹣1＝﹣，
∴ab＝（﹣）×（﹣）＝，
故答案为：．
12．解：∵抛物线y＝（x﹣m）2+（m﹣1）的顶点在第一象限，
∴该抛物线的顶点坐标为（m，m﹣1），
∴，
解得m＞1，
故答案为m＞1．
13．解：抛物线y＝2x2的顶点坐标是（0，0），抛物线线y＝2（ x﹣1）2+3的顶点坐标是（1，3），
所以将顶点（0，0）向右平移1个单位，再向是平移3个单位得到顶点（1，3），
即将将函数y＝2x2的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到函数y＝2（x﹣1）2+3的图象．
故答案为右．
14．解：点A（0，2），将点A的坐标代入抛物线表达式得：2＝a（0﹣6）2+h，解得：a＝，
故抛物线的表达式为y＝（x﹣6）2+h，
由题意得：当x＝9时，y＝（x﹣6）2+h＝（9﹣6）2+h＞2.24，解得：h＞2.32；
当x＝18时，y＝（x﹣6）2+h＝（18﹣6）2+h＜0，解得：h＞，
故h的取值范围是为h≥，
故答案为h≥．
15．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵点A到直线x＝1的距离大于1，
∴点B到直线x＝1的距离大于1，
即点B在（2，0）的右侧，
∴当x＝2时，y＞0，
即4a+2b+c＞0，
∴a+b+c＞0，所以②错误；
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，
∴b2﹣4ac＞0，
∵a＜0，m＜﹣1，
∴4am＞0
∴b2﹣4ac﹣4am＞0不一定成立，故③错误；
∵C（0，c），OA＝OC，
∴A（﹣c，0），
∴ac2﹣bc+c＝0，即ac﹣b+1＝0，所以④正确；
设A（x1，0），B（x2，0），有x1、x2是方程ax2+bx+c＝0的两个根，有有x1+x2＝，又∵OA＝﹣x1，OB＝x2，所以OA•OB＝﹣，故⑤正确；
故答案为①④．
三．解答题（共5小题）
16．解：（1）令y＝0得﹣x2﹣x+2＝0，
∴x2+2x﹣8＝0，
x1＝﹣4，x2＝2
∴A（2，0），点B坐标（﹣4，0），
令x＝0，得y＝2，
∴点C坐标（0，2）．
（2）若AB为边，
∵四边形ABFE是平行四边形
∴EF＝AB＝6且对称轴为 x＝﹣1
∴E的横坐标为﹣7或5
∴当x＝5时，y＝﹣×25﹣+2＝﹣
当x＝﹣7时，y＝﹣×49++2＝﹣
∴S四边形ABFE＝6×＝
当AB为对角线
∴AB，EF互相平分
∴E点坐标为（﹣1，）
∴S四边形AEBF＝×6××2＝
17．解：（1）如图所示：
∵N（3，3），
∴AD＝3，AN＝3，
∴tan∠NDA＝，
∴∠NDA＝30°，
∴∠MDN＝60°，
∴点D线段MN的“海安点”．
∵MF2＝DF2+MD2＝36+12＝48，FN2＝32+（）2＝12，MN2＝（6﹣3）2+（3）2＝36，
∴MF2＝FN2+MN2，且FN＝MF，
∴△MNF为直角三角形且∠NMF＝30°，
∴∠MFN＝60°．
∴点F线段MN的“海安点”．
由两点间的距离公式可知MN≠ME≠NE，
∴∠MEN≠60°．
故答案为：D；F．
（2）①当点M在y轴正半轴
由题意，∠NMP＝90°，∠MPN＝60°，
∵OP＝1，
∴OM＝，
∴ON＝3．
∴M（0，），N（3，0）
∴MN：y＝﹣x+．
②当点M在y轴负半轴
由题意，∠NMP＝90°，∠MPN＝60°，
∵OP＝1，
∴OM＝，
∴ON＝3．
∴M（0，﹣），N（3，0）
∴MN：y＝x﹣．
∴MN的解析式为y＝﹣x+或y＝x﹣．
（3）∵点M是抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1的顶点，
∴M（m，m﹣1）．
过点N作NH垂直于抛物线的对称轴（x＝m），垂足为H．
设HN＝n，则N（m+n，n2+m﹣1），
∴HM＝n2．
在Rt△MNH中，应用勾股定理可得n＝，
所以∠MNH＝60°，
当点M在第三象限时，
以MN为弦，60°角为圆周角的圆的圆心必在抛物线的对称轴上，当该圆与x轴有交点时，存在海安点，
当圆与x轴相切时，∠PNM＝90°，∠MPN＝60°，可求得此时m＝﹣3．
同理：当抛物线顶点在第一象限，且上面圆与x轴相切时，m＝2．
所以当﹣3≤m≤2时，圆与x轴相交，即存在海安点．
18．解：（1）由上述信息可知该函数图象的顶点坐标为：（3，﹣2），
设二次函数的表达式为：y＝a（x﹣3）2﹣2．
∵该函数图象经过点A（1，0），
∴0＝a（1﹣3）2﹣2，
解得a＝
∴二次函数解析式为：y＝（x﹣3）2﹣2．
（2）如图所示：
当m＞0时，直线y＝m与G有一个交点；
当m＝0时，直线y＝m与G有两个交点；
当﹣2＜m＜0时，直线y＝m与G有三个交点；
当m＝﹣2时，直线y＝m与G有两个交点；
当m＜﹣2时，直线y＝m与G有一个交点．
19．解：（1）∵甲种产品的销售单价为x元，乙种产品的销售单价为（80﹣x）元，
∴设y2与x之间的函数关系式y2＝k（80﹣x），
∵当80﹣x＝30时，y2＝30，
∴30＝30k，得k＝1，
即y2与x之间的函数关系式y2＝80﹣x；
（2）设月销售利润为w元，
w＝（x﹣30）（﹣2x+150）+（80﹣x﹣20）（80﹣x）＝﹣（x﹣35）2+1525，
∴x＝35时，w取得最大值，此时w＝1525，80﹣x＝45，
∴甲种产品的销售单价定为35元，乙种产品的销售单价定为45元时，月销售利润最大，最大月销售利润是1525元．
（3）不是月销售额越大月销售利润也越大，
理由：设月销售额为z，
z＝x（﹣2x+150）+（80﹣x）（80﹣x）＝﹣（x+5）2+6425，
∴当x＞﹣5时，z随x的增大而减小，
∴在公司规定30≤x≤60的范围内，当x＝30时，月销售额最大，
而当x＝35时，月销售利润最大，
所以不是月销售额越大月销售利润也越大．
20．解：（1）把A（6，0），B（﹣2，0），C（0，4）的坐标代入y＝ax2+bx+c，
得到，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4．
（2）如图1中，作∥OC交AC于E．设P（m，﹣m2+m+4）．
∵直线AC的解析式为y＝﹣x+4，
∴E（m，﹣m+4），
∴PE＝﹣m2+2m，
∴S△PAC＝×（﹣m2+2m）×6＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣3）2+9，
∵﹣1＜0，
∴m＝3时，△PAC的面积最大，
∴P（3，5）．
（3）如图2中，
∵A（6，0），P（3，5），
∴直线PA的解析式为y＝﹣x+10，
①当AQ1⊥PA时，直线AQ′的解析式为y＝x﹣，
∴Q1（2，﹣）
②当PQ2⊥PA时，直线PQ2的解析式为y＝x+，
∴Q2（2，）．
③当PQ3⊥AQ3时，设Q3（2，m），设PA的中点K（，），
则KQ3＝PA，
∴＝•，
解得m＝1或4，
∴Q3（2，1）或（2，4），
综上所述，满足条件的点Q坐标为（2，﹣）或（2，）或（2，1）或（2，4）．
时间：100分钟 满分：100分
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．下列函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y＝﹣x2+1B．y＝ax2+bx+cC．y＝2x+3D．y＝
2．已知A（4，y1），B（1，y2），C（﹣3，y3）在函数y＝﹣3（x﹣2）2+m（m为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜ y1D．y1＜y2＜ y3
3．抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3的最大值为（ ）
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4
4．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax﹣bc的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
5．对于抛物线y＝﹣2（x+5）2+4，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下，顶点坐标（5，4）
B．开口向上，顶点坐标（5，4）
C．开口向下，顶点坐标（﹣5，4）
D．开口向上，顶点坐标（﹣5，4）
6．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为（ ）
A．12B．9C．15D．16
7．二次函数y＝ax2+2ax+c的图象如图所示，当x＝t时，y＞0，则x＝t+2时函数值（ ）
A．c＜y＜0B．y＜cC．y＞0D．y＜0
8．如图抛物线y＝ax2+bx+与y轴交于点A，与x轴交于点B、点C．连接AB，以AB为边向右作平行四边形ABDE，点E落在抛物线上，点D落在x轴上，若抛物线的对称轴恰好经过点D，且∠ABD＝60°，则这条抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2xB．y＝﹣x2x
C．y＝﹣x2xD．y＝﹣x2﹣x
9．如图，抛物线y1＝x2﹣2x，直线y2＝﹣2x+b相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2．当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2，取m＝（|y1﹣y2|+y1+y2）．则（ ）
A．当x＜﹣2时，m＝y2B．m随x的增大而减小
C．当m＝2时，x＝0D．m≥﹣2
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④abc＞0，其中正确结论的个数是（ ）
A．4个B．1个C．2个D．3个
二．填空题（每小题4分，共20分）
11．已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第二象限，且过点（1，0）．当a﹣b为整数时，ab＝ ．
12．若抛物线y＝（x﹣m）2+（m﹣1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为 ．
13．要得到函数y＝2（x﹣1）2+3的图象，可以将函数y＝2x2的图象向 平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度．
14．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣6）2+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.24m，球场的边界距O点的水平距离为18m．若球一定能越过球网，又不出边界（可落在边界），则h的取值范围是 ．
15．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a+b+c＝0；③当m＜﹣1时，关于x的方程a2+bx+c+m＝0无实根；④ac﹣b+1＝0；⑤OA•OB＝．其中正确的结论有 ．
三．解答题（每题10分，共50分）
16．如图，已知抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积．
17．对于x轴上一点P和某一个函数图象上两点M，N，给出如下定义：如果函数图象上存在两个点M，N（M在N的左侧），使得∠MPN＝60°，那么称△MPN为“点截距三角形”，点P则被称为线段MN的“海安点”．
（1）若一次函数图象上有两点M（0，6）、N（3，3），在点D（0，0），E（，0），F（2，0）中，线段MN的“海安点”有 ；
（2）若直线y＝kx+b分别与y轴、x轴分别交于点M、N，以P（﹣1，0）为“海安点”的点截距三角形恰好是一个直角三角形，求此直线的解析式．
（3）若点M是抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1的顶点，MN＝2，若存在海安点，请求出m的取值范围．
18．有一个二次函数满足以下条件：①函数图象与x轴的交点坐标分别为A（1，0），B（x2，y2）（点B在点A的右侧）；②对称轴是x＝3；③该函数有最小值是﹣2．
（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；
（2）将该函数图象中x＞x2部分的图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”，试结合图象分析：平行于x轴的直线y＝m与图象“G”的交点的个数情况．
19．某公司生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品每千克的成本费是30元，生产乙种产品每千克的成本费是20元，物价部门规定，这两种产品的销售单价（每千克的售价）之和为80元，经市场调研发现，甲种产品的销售单价为x（元），在公司规定30≤x≤60的范围内，甲种产品的月销售量y1（千克）符合y1＝﹣2x+150，乙种产品的月销售量y2（千克）与它的销售单价成正比例，当乙产品单价为30元（即：80﹣x＝30）时，它的月销售量是30千克．
（1）求y2与x之间的函数关系式；
（2）公司怎样定价，可使月销售利润最大？最大月销售利润是多少？（销售利润＝销售额﹣生产成本费）
（3）是否月销售额越大月销售利润也越大？请说明理由．
20．如图，在平面直角坐标中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（6，0），B（﹣2，0），C（0，4）．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；
（2）点P在第一象限的抛物线上，且能够使△ACP得面积最大，求点P的坐标；
（3）在（2）的前提下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△APQ为直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：A、是二次函数，故本选项符合题意；
B、当a＝0时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、不是二次函数，故本选项不符合题意；
D、不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．解：∵y＝﹣3（x﹣2）2+m，
∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝2，
A（4，y1）关于直线x＝2的对称点是（0，y1），
∵﹣3＜0＜1，
∴y3＜y1＜y2
故选：A．
3．解：∵a＝﹣2＜0，
∴函数有最大值﹣3，
故选：C．
4．解：由二次函数y＝ax2+bx+c的图象可得，
a＜0，b＞0，c＞0，
∴bc＞0，
∴一次函数y＝ax﹣bc的图象经过第二、三、四象限，
故选：D．
5．解：∵抛物线y＝﹣2（x+5）2+4，
∴抛物线的开口方向向下，
顶点坐标为（﹣5，4）．
故选：C．
6．解：菱形顶点C的坐标为（4，3），
则OC＝5，则BC＝OC＝5，
设点D（x，﹣x2+6x），
△BCD的面积＝×BC×（yD﹣yC）＝×5×（﹣x2+6x﹣3）＝﹣（x﹣3）2+15，
∵﹣＜0，故△BCD面积有最大值为15，
故选：C．
7．解：函数的对称轴为：x＝﹣＝﹣1，
设：抛物线与x轴交点为A、B，则OA＜2，
当x＝t时，y＞0，即x在AB之间，
当x＝t在点A处时，x＝t+2在y轴右侧，
即y＜c，
故选：B．
8．解：如下图所示，OA＝，∠ABD＝60°，
则OB＝＝1，过点B（﹣1，0），
∵四边形ABDE平行四边形，
则∠AED＝∠ABD＝60°，OH＝OA＝，
同理可得：HE＝1＝AH，过点E（2，），
将点B、E的坐标代入函数表达式得：，解得：，
故函数的表达式为：y＝﹣x2x
故选：B．
9．解：点A在抛物线上，则y1＝×4﹣2×2＝﹣2，
故点A（2，﹣2），
将点A的坐标代入y2＝﹣2x+b得：
﹣2＝﹣2×2+b，解得：b＝2，
故：y2＝﹣2x+2，
m＝（|y1﹣y2|+y1+y2）＝y1或y2，
①当x2﹣2≥0时，即x≥2或x≤﹣2
m＝x2﹣2x，函数的对称轴为x＝2，
函数的最小值为﹣2；
②当x2﹣2＜0时，即：﹣2＜x＜2，
m＝2﹣2x，函数m的值大于﹣2，
故选：D．
10．解：∵图象与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，①正确；
∵当x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，
∴4a+c＞2b，②错误；
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵a+b+c＜0，
∴b+b+c＜0，3b+2c＜0，
∴③是正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0；
∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣1，b＝2a，故b＜0；
抛物线交y轴于正半轴，得：c＞0；
∴abc＞0；④正确．
故结论正确的有①③④3个，
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．解：依题意知a＜0，，
故b＜0，且b＝﹣a﹣1，a﹣b＝a﹣（﹣a﹣1）＝2a+1，
于是﹣1＜a＜0，
又∵a﹣b为整数，
∴2a+1＝0，
解得，a＝﹣，
∴b＝﹣a﹣1＝﹣（﹣）﹣1＝﹣，
∴ab＝（﹣）×（﹣）＝，
故答案为：．
12．解：∵抛物线y＝（x﹣m）2+（m﹣1）的顶点在第一象限，
∴该抛物线的顶点坐标为（m，m﹣1），
∴，
解得m＞1，
故答案为m＞1．
13．解：抛物线y＝2x2的顶点坐标是（0，0），抛物线线y＝2（ x﹣1）2+3的顶点坐标是（1，3），
所以将顶点（0，0）向右平移1个单位，再向是平移3个单位得到顶点（1，3），
即将将函数y＝2x2的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到函数y＝2（x﹣1）2+3的图象．
故答案为右．
14．解：点A（0，2），将点A的坐标代入抛物线表达式得：2＝a（0﹣6）2+h，解得：a＝，
故抛物线的表达式为y＝（x﹣6）2+h，
由题意得：当x＝9时，y＝（x﹣6）2+h＝（9﹣6）2+h＞2.24，解得：h＞2.32；
当x＝18时，y＝（x﹣6）2+h＝（18﹣6）2+h＜0，解得：h＞，
故h的取值范围是为h≥，
故答案为h≥．
15．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵点A到直线x＝1的距离大于1，
∴点B到直线x＝1的距离大于1，
即点B在（2，0）的右侧，
∴当x＝2时，y＞0，
即4a+2b+c＞0，
∴a+b+c＞0，所以②错误；
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，
∴b2﹣4ac＞0，
∵a＜0，m＜﹣1，
∴4am＞0
∴b2﹣4ac﹣4am＞0不一定成立，故③错误；
∵C（0，c），OA＝OC，
∴A（﹣c，0），
∴ac2﹣bc+c＝0，即ac﹣b+1＝0，所以④正确；
设A（x1，0），B（x2，0），有x1、x2是方程ax2+bx+c＝0的两个根，有有x1+x2＝，又∵OA＝﹣x1，OB＝x2，所以OA•OB＝﹣，故⑤正确；
故答案为①④．
三．解答题（共5小题）
16．解：（1）令y＝0得﹣x2﹣x+2＝0，
∴x2+2x﹣8＝0，
x1＝﹣4，x2＝2
∴A（2，0），点B坐标（﹣4，0），
令x＝0，得y＝2，
∴点C坐标（0，2）．
（2）若AB为边，
∵四边形ABFE是平行四边形
∴EF＝AB＝6且对称轴为 x＝﹣1
∴E的横坐标为﹣7或5
∴当x＝5时，y＝﹣×25﹣+2＝﹣
当x＝﹣7时，y＝﹣×49++2＝﹣
∴S四边形ABFE＝6×＝
当AB为对角线
∴AB，EF互相平分
∴E点坐标为（﹣1，）
∴S四边形AEBF＝×6××2＝
17．解：（1）如图所示：
∵N（3，3），
∴AD＝3，AN＝3，
∴tan∠NDA＝，
∴∠NDA＝30°，
∴∠MDN＝60°，
∴点D线段MN的“海安点”．
∵MF2＝DF2+MD2＝36+12＝48，FN2＝32+（）2＝12，MN2＝（6﹣3）2+（3）2＝36，
∴MF2＝FN2+MN2，且FN＝MF，
∴△MNF为直角三角形且∠NMF＝30°，
∴∠MFN＝60°．
∴点F线段MN的“海安点”．
由两点间的距离公式可知MN≠ME≠NE，
∴∠MEN≠60°．
故答案为：D；F．
（2）①当点M在y轴正半轴
由题意，∠NMP＝90°，∠MPN＝60°，
∵OP＝1，
∴OM＝，
∴ON＝3．
∴M（0，），N（3，0）
∴MN：y＝﹣x+．
②当点M在y轴负半轴
由题意，∠NMP＝90°，∠MPN＝60°，
∵OP＝1，
∴OM＝，
∴ON＝3．
∴M（0，﹣），N（3，0）
∴MN：y＝x﹣．
∴MN的解析式为y＝﹣x+或y＝x﹣．
（3）∵点M是抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1的顶点，
∴M（m，m﹣1）．
过点N作NH垂直于抛物线的对称轴（x＝m），垂足为H．
设HN＝n，则N（m+n，n2+m﹣1），
∴HM＝n2．
在Rt△MNH中，应用勾股定理可得n＝，
所以∠MNH＝60°，
当点M在第三象限时，
以MN为弦，60°角为圆周角的圆的圆心必在抛物线的对称轴上，当该圆与x轴有交点时，存在海安点，
当圆与x轴相切时，∠PNM＝90°，∠MPN＝60°，可求得此时m＝﹣3．
同理：当抛物线顶点在第一象限，且上面圆与x轴相切时，m＝2．
所以当﹣3≤m≤2时，圆与x轴相交，即存在海安点．
18．解：（1）由上述信息可知该函数图象的顶点坐标为：（3，﹣2），
设二次函数的表达式为：y＝a（x﹣3）2﹣2．
∵该函数图象经过点A（1，0），
∴0＝a（1﹣3）2﹣2，
解得a＝
∴二次函数解析式为：y＝（x﹣3）2﹣2．
（2）如图所示：
当m＞0时，直线y＝m与G有一个交点；
当m＝0时，直线y＝m与G有两个交点；
当﹣2＜m＜0时，直线y＝m与G有三个交点；
当m＝﹣2时，直线y＝m与G有两个交点；
当m＜﹣2时，直线y＝m与G有一个交点．
19．解：（1）∵甲种产品的销售单价为x元，乙种产品的销售单价为（80﹣x）元，
∴设y2与x之间的函数关系式y2＝k（80﹣x），
∵当80﹣x＝30时，y2＝30，
∴30＝30k，得k＝1，
即y2与x之间的函数关系式y2＝80﹣x；
（2）设月销售利润为w元，
w＝（x﹣30）（﹣2x+150）+（80﹣x﹣20）（80﹣x）＝﹣（x﹣35）2+1525，
∴x＝35时，w取得最大值，此时w＝1525，80﹣x＝45，
∴甲种产品的销售单价定为35元，乙种产品的销售单价定为45元时，月销售利润最大，最大月销售利润是1525元．
（3）不是月销售额越大月销售利润也越大，
理由：设月销售额为z，
z＝x（﹣2x+150）+（80﹣x）（80﹣x）＝﹣（x+5）2+6425，
∴当x＞﹣5时，z随x的增大而减小，
∴在公司规定30≤x≤60的范围内，当x＝30时，月销售额最大，
而当x＝35时，月销售利润最大，
所以不是月销售额越大月销售利润也越大．
20．解：（1）把A（6，0），B（﹣2，0），C（0，4）的坐标代入y＝ax2+bx+c，
得到，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4．
（2）如图1中，作∥OC交AC于E．设P（m，﹣m2+m+4）．
∵直线AC的解析式为y＝﹣x+4，
∴E（m，﹣m+4），
∴PE＝﹣m2+2m，
∴S△PAC＝×（﹣m2+2m）×6＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣3）2+9，
∵﹣1＜0，
∴m＝3时，△PAC的面积最大，
∴P（3，5）．
（3）如图2中，
∵A（6，0），P（3，5），
∴直线PA的解析式为y＝﹣x+10，
①当AQ1⊥PA时，直线AQ′的解析式为y＝x﹣，
∴Q1（2，﹣）
②当PQ2⊥PA时，直线PQ2的解析式为y＝x+，
∴Q2（2，）．
③当PQ3⊥AQ3时，设Q3（2，m），设PA的中点K（，），
则KQ3＝PA，
∴＝•，
解得m＝1或4，
∴Q3（2，1）或（2，4），
综上所述，满足条件的点Q坐标为（2，﹣）或（2，）或（2，1）或（2，4）．
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