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2019-2020学年福建省福州市七年级（下）期末数学试卷
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2019-2020学年福建省福州市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）点P（﹣3，2）所在的象限是（ ）
A．第一象限内 B．第二象限内 C．第三象限内 D．第四象限内
2．（4分）在实数﹣π，﹣3，﹣1，0中，最小的是（ ）
A．﹣π B．﹣3 C．﹣1 D．0
3．（4分）2的算术平方根是（ ）
A． B． C．﹣ D．±2
4．（4分）下列事件中，最适合采用普查的是（ ）
A．对我校七年级一班学生出生日期的调查
B．对全国中学生节水意识的调查
C．对山东省初中学生每天阅读时间的调查
D．对某批次灯泡使用寿命的调查
5．（4分）如图，数轴上表示的不等式的解集是（ ）
A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≥﹣1 D．x≤﹣1
6．（4分）若是方程3x+y＝5的一个解，则a的值是（ ）
A．5 B．1 C．﹣5 D．﹣1
7．（4分）如图，在三角形ABC中，若∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列线段的长度可以表示为点A到直线CD距离的是（ ）
A．AD B．AC C．AB D．CD
8．（4分）如图，下列选项中，不能得出直线l1∥l2的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠4＝∠5 C．∠2+∠4＝180° D．∠1＝∠3
9．（4分）已知m＞n，下列不等式一定成立的是（ ）
A．﹣2m＞﹣2n B．2m＞2n C．m+2a＞n+a D．m2＞n2
10．（4分）在平面直角坐标系中，A（a，a），B（2﹣b，4﹣b），其中a+b＝2，则下列对AB长度判断正确的是（ ）
A．AB＜2 B．AB＞2 C．AB＝2 D．无法确定
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）＝
12．（4分）在一次立定跳远测试中，10名学生所测的成绩（单位：厘米）如下：182，160，169，178，180，158，156，163，161，150，则这一组数据中最大值与最小值的差是 ．
13．（4分）二元一次方程x+3y＝10的正整数解共有 个．
14．（4分）《九章算术》是我国东汉年间编订的一部数学经典著作，其中有一个问题是：“今有三人公车，二车空；二人公车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为 ．
15．（4分）如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是1和6，则剩余区域的面积是 ．
16．（4分）如图，已知AB∥CD，点E在两平行线之间，连接BE，CE，∠ABE的平分线与∠BEC的平分线的反向延长线交于点F，若∠BFE＝50°，则∠C的度数是 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）计算：+|﹣1|﹣．
18．（8分）解方程组：．
19．（8分）请补全证明过程及推理依据．
已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边AB，AC，BC上的点，若AB∥EF，∠DEF＝∠B．
求证：∠AED＝∠C．
证明：∵AB∥EF，
∴ ＝∠EFC．（ ）
∵∠DEF＝∠B，
∴∠DEF＝∠EFC，（ ）
∴DE∥BC，（ ）
∴∠AED＝∠C．
20．（8分）已知足球场的形状是一个长方形，而国际标准球场的长度a和宽度b（单位：米）的取值范围分别是100≤a≤110，64≤b≤75．若某球场的宽与长的比是1：1.5，面积为7350平方米，请判断该球场是否符合国际标准球场的长宽标准，并说明理由．
21．（8分）2020年是决胜全面建成小康社会，决战脱贫攻坚之年，贫困地区的小康建成是最艰巨最繁重的任务．国务院扶贫开发领导小组指出贫困户脱贫人均年收入要达到4000元，根据某贫困县随机抽取的2019年居民人均年收入统计情况，绘制了如图所示的频数分布表：
收入（元）
频数
（人数）
频率
0≤x＜2000
80
0.01
2000≤x＜4000
a
b
4000≤x＜6000
c
0.45
6000≤x＜8000
d
0.3
8000≤x＜10000
800
m
10000≤x＜12000
n
0.1
合计
p
1
（1）填空：m＝ ，p＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该县共有6万居民，试估计仍未脱贫的居民人数．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣4，0），B（2，3），连接AB交y轴于点C，连接OB．
（1）求三角形ABO的面积；
（2）求点C的坐标．
23．（10分）2台大收割机和5台小收割机均工作2天共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机均工作5天，共收割小麦8公顷．
（1）1台大收割机和1台小收割机每天各收割小麦多少公顷？
（2）设大收割机每台租金600元/天，小收割机每台租金120元/天，某农场准备租用两种收割机共15台，要求大收割机的数量不少于小收割机的一半，若每天总租金不超过5000元，若设大收割机要a台，
①共有几种租赁方案？写出解答过程；
②哪种租赁方案每天收割小麦最多？
24．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点E，且∠DAC＝∠DCA．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若∠AEB＝125°，且∠ABD＝2∠CBD，DF平分∠ADB交AB边于点F，求∠BDF﹣∠CBD的值．
25．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b），B（m，n）分别是第三象限与第二象限内的点，将A，B两点先向右平移h个单位，再向下平移1个单位得到C，D两点（点A对应点C）．
（1）写出C，D两点的坐标；（用含相关字母的代数式表示）
（2）连接AD，过点B作AD的垂线l，E是直线l上一点，连接DE，且DE的最小值为1．
①若b＝n﹣1，求证：直线l⊥x轴；
②在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，这条直线上有无数个点，每一个点的坐标（x，y）都是这个方程的一个解．在①的条件下若关于x，y的二元一次方程px+qy＝k（pq≠0）的图象经过点B，D及点（s，t），判断s+t与m+n是否相等，并说明理由．
2019-2020学年福建省福州市七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）点P（﹣3，2）所在的象限是（ ）
A．第一象限内 B．第二象限内 C．第三象限内 D．第四象限内
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：点P（﹣3，2）在第二象限．
故选：B．
2．（4分）在实数﹣π，﹣3，﹣1，0中，最小的是（ ）
A．﹣π B．﹣3 C．﹣1 D．0
【分析】根据实数大小比较的方法进行比较即可．
【解答】解：因为﹣π＜﹣3＜﹣1＜0，
所有最小的数是﹣π，
故选：A．
3．（4分）2的算术平方根是（ ）
A． B． C．﹣ D．±2
【分析】利用算术平方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：2的算术平方根是，
故选：B．
4．（4分）下列事件中，最适合采用普查的是（ ）
A．对我校七年级一班学生出生日期的调查
B．对全国中学生节水意识的调查
C．对山东省初中学生每天阅读时间的调查
D．对某批次灯泡使用寿命的调查
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：A、对我校七年级一班学生出生日期的调查适合采用普查；
B、对全国中学生节水意识的调查适合采用抽样调查；
C、对山东省初中学生每天阅读时间的调查适合采用抽样调查；
D、对某批次灯泡使用寿命的调查适合采用抽样调查；
故选：A．
5．（4分）如图，数轴上表示的不等式的解集是（ ）
A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≥﹣1 D．x≤﹣1
【分析】本题先观察数轴表示的不等式的解集，再看选项是否与题意相符．若是，则该选项为正确的答案．
【解答】解：依题意得：数轴表示的解集是：x≥﹣1，
故选：C．
6．（4分）若是方程3x+y＝5的一个解，则a的值是（ ）
A．5 B．1 C．﹣5 D．﹣1
【分析】将代入方程3x+y＝5得出关于a的方程，解之可得．
【解答】解：将代入方程3x+y＝5，得：3a+2a＝5，
解得：a＝1，
故选：B．
7．（4分）如图，在三角形ABC中，若∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列线段的长度可以表示为点A到直线CD距离的是（ ）
A．AD B．AC C．AB D．CD
【分析】关键点到直线的距离的定义得出即可．
【解答】解：点A到CD的距离是线段AD的长度，
故选：A．
8．（4分）如图，下列选项中，不能得出直线l1∥l2的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠4＝∠5 C．∠2+∠4＝180° D．∠1＝∠3
【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，分别进行分析即可．
【解答】解：A、∠1＝∠2，不能判断直线l1∥l2，故此选项符合题意；
B、根据同位角相等，两直线平行，可判断直线l1∥l2，故此选项不合题意；
C、根据同旁内角互补，两直线平行，可判断直线l1∥l2，故此选项不合题意；
D、根据内错角相等，两直线平行，可判断直线l1∥l2，故此选项不合题意．
故选：A．
9．（4分）已知m＞n，下列不等式一定成立的是（ ）
A．﹣2m＞﹣2n B．2m＞2n C．m+2a＞n+a D．m2＞n2
【分析】利用不等式的性质，直接判断得结论．
【解答】解：∵m＞n，根据不等式的性质3，﹣2m＜﹣2n，故A错误；
∵m＞n，根据不等式的性质2，2m＞2n，故B一定成立；
∵m＞n，根据不等式的性质1，当2a＝a时，m+2a＞n+a成立，
当2a≠a时，m+2a＞n+a不一定成立，故C错误；
∵﹣1＞﹣2，（﹣1）2＜（﹣2）2，
∴m＞n，m2不一定大于n2．，故D错误；
故选：B．
10．（4分）在平面直角坐标系中，A（a，a），B（2﹣b，4﹣b），其中a+b＝2，则下列对AB长度判断正确的是（ ）
A．AB＜2 B．AB＞2 C．AB＝2 D．无法确定
【分析】根据两点间的距离公式可得AB＝＝＝2，依此即可求解．
【解答】解：∵在平面直角坐标系中，A（a，a），B（2﹣b，4﹣b），a+b＝2，
∴AB＝＝＝2．
故选：C．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）＝ 2
【分析】利用算术平方根的定义求解．
【解答】解：＝2．
故答案为2．
12．（4分）在一次立定跳远测试中，10名学生所测的成绩（单位：厘米）如下：182，160，169，178，180，158，156，163，161，150，则这一组数据中最大值与最小值的差是 32 ．
【分析】根据极差的定义即可求得．
【解答】解：这一组数据中最大值与最小值的差是：182﹣150＝32；
故答案为：32．
13．（4分）二元一次方程x+3y＝10的正整数解共有 3 个．
【分析】由于二元一次方程x+3y＝10中x的系数是1，可先用含y的代数式表示x，然后根据此方程的解是正整数，那么把最小的正整数y＝1代入，算出对应的x的值，再把y＝2代入，再算出对应的x的值，依此可以求出结果．
【解答】解：∵x+3y＝10，
∴x＝10﹣3y，
∵x、y都是正整数，
∴y＝1时，x＝7；
y＝2时，x＝4；
y＝3时，x＝1．
∴二元一次方程x+3y＝10的正整数解共有3对．
故答案为3．
14．（4分）《九章算术》是我国东汉年间编订的一部数学经典著作，其中有一个问题是：“今有三人公车，二车空；二人公车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为 ．
【分析】根据“若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意，得：．
故答案为：．
15．（4分）如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是1和6，则剩余区域的面积是 ﹣1 ．
【分析】直接求出A，B两正方形边长，进而求出剩余区域的面积．
【解答】解：∵A，B两正方形区域的面积分别是1和6，
∴A，B两正方形边长分别是1和，
故剩余区域的面积是：
（+1）﹣6﹣1
＝6+﹣7
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
16．（4分）如图，已知AB∥CD，点E在两平行线之间，连接BE，CE，∠ABE的平分线与∠BEC的平分线的反向延长线交于点F，若∠BFE＝50°，则∠C的度数是 80° ．
【分析】延长BE交DC的延长线于G，易求∠EBF+∠FEB＝130°，根据角平分线的定义可求解∠ABE+∠BEF+∠FEC＝260°，根据平行线的性质可得∠ECG＝100°，进而可求解．
【解答】解：延长BE交DC的延长线于G，
∵∠BFE＝50°，
∴∠EBF+∠FEB＝180°﹣50°＝130°，
∵∠ABE的平分线与∠BEC的平分线的反向延长线交于点F，
∴∠ABE+∠BEF+∠FEC＝260°，
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BGC，
∴∠BGC+∠BEF+∠FEC＝260°，
∵∠BEF+∠FEG＝180°，
∴∠EGC+∠CEG＝80°，
∴∠ECG＝100°，
∴∠ECD＝180°﹣100°＝80°．
故答案为80°．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）计算：+|﹣1|﹣．
【分析】根据算术平方根、绝对值、立方根的意义分别进行计算即可．
【解答】解：+|﹣1|﹣，
＝3+﹣1+1，
＝3+．
18．（8分）解方程组：．
【分析】利用加减消元法，求出方程组的解即可．
【解答】解：．
①﹣②，可得：4y＝2，
解得y＝
把y＝代入②，解得x＝，
∴原方程组的解是．
19．（8分）请补全证明过程及推理依据．
已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边AB，AC，BC上的点，若AB∥EF，∠DEF＝∠B．
求证：∠AED＝∠C．
证明：∵AB∥EF，
∴ ∠B ＝∠EFC．（ 两直线平行，同位角相等 ）
∵∠DEF＝∠B，
∴∠DEF＝∠EFC，（ 等量代换 ）
∴DE∥BC，（ 内错角相等，两直线平行 ）
∴∠AED＝∠C．
【分析】根据平行线的性质得出∠B＝∠EFC，求出∠DEF＝∠EFC，根据平行线的判定得出DE∥BC，根据平行线的性质得出即可．
【解答】证明：∵AB∥EF，
∴∠B＝∠EFC（两直线平行，同位角相等），
∵∠DEF＝∠B，
∴∠DEF＝∠EFC（等量代换），
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠AED＝∠C，
故答案为：∠B，两直线平行，同位角相等，等量代换，内错角相等，两直线平行．
20．（8分）已知足球场的形状是一个长方形，而国际标准球场的长度a和宽度b（单位：米）的取值范围分别是100≤a≤110，64≤b≤75．若某球场的宽与长的比是1：1.5，面积为7350平方米，请判断该球场是否符合国际标准球场的长宽标准，并说明理由．
【分析】根据宽与长的比是1：1.5，面积为7350平方米，列方程求出长和宽，比较得出答案．
【解答】解：设宽为b米，则长为1.5b米，由题意得，
1.5b×b＝7350，
∴b＝70，或b＝﹣70（舍去），
即宽为70米，长为1.5×70＝105米，
∵100≤105≤110，64≤70≤75，
∴符合国际标准球场的长宽标准．
21．（8分）2020年是决胜全面建成小康社会，决战脱贫攻坚之年，贫困地区的小康建成是最艰巨最繁重的任务．国务院扶贫开发领导小组指出贫困户脱贫人均年收入要达到4000元，根据某贫困县随机抽取的2019年居民人均年收入统计情况，绘制了如图所示的频数分布表：
收入（元）
频数
（人数）
频率
0≤x＜2000
80
0.01
2000≤x＜4000
a
b
4000≤x＜6000
c
0.45
6000≤x＜8000
d
0.3
8000≤x＜10000
800
m
10000≤x＜12000
n
0.1
合计
p
1
（1）填空：m＝ 0.1 ，p＝ 8000 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该县共有6万居民，试估计仍未脱贫的居民人数．
【分析】（1）根据频数频率、总数之间的关系进行计算即可；
（2）求出a、c、d、n的值，即可补全频数分布直方图；
（3）样本中，未脱贫的占调查人数的（0.01+0.04），因此估计总体60000人的5%是未脱贫的人数．
【解答】解：（1）p＝80÷0.01＝8000（人），m＝800÷8000＝0.1，
故答案为：0.1，8000；
（2）c＝8000×0.45＝3600（人），d＝8000×0.3＝2400（人），n＝8000×0.1＝800（人），a＝8000×0.04＝320（人），b＝320÷8000＝0.04，
补全频数分布直方图如图所示：
（3）60000×（0.01+0.04）＝3000（人），
答：若该县共有6万居民，仍未脱贫的居民有3000人．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣4，0），B（2，3），连接AB交y轴于点C，连接OB．
（1）求三角形ABO的面积；
（2）求点C的坐标．
【分析】（1）根据点A、B的坐标求出OA、点B到OA的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解；
（2）根据三角形面积和列等式，根据（1）中：△AOB的面积＝6，即可得解．
【解答】解：（1）∵A（﹣4，0），B（2，3），
∴OA＝4，点B到OA的距离是3，
∴△AOB的面积＝×3×4＝6；
（2）∵S△AOB＝S△AOC+S△BOC，
∴6＝，
∴OC＝2，
∴点C的坐标为（0，2）．
23．（10分）2台大收割机和5台小收割机均工作2天共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机均工作5天，共收割小麦8公顷．
（1）1台大收割机和1台小收割机每天各收割小麦多少公顷？
（2）设大收割机每台租金600元/天，小收割机每台租金120元/天，某农场准备租用两种收割机共15台，要求大收割机的数量不少于小收割机的一半，若每天总租金不超过5000元，若设大收割机要a台，
①共有几种租赁方案？写出解答过程；
②哪种租赁方案每天收割小麦最多？
【分析】（1）此题可设1台大型收割机和1台小型收割机工作1天各收割小麦x公顷和y公顷，根据题中的等量关系列出二元一次方程组解答即可；
（2）大收割机为a台，则小收割机为（15﹣a）台．由“两种收割机共15台，要求大收割机的数量不少于小收割机的一半”和“每天总租金不超过5000元”列出关于a的不等式组，通过解不等式组求得整数a的值．
【解答】解：（1）设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x、y公顷，则：
，
解方程组得：；
（2）设大收割机为a台，则小收割机为（15﹣a）台，则
，
解不等式组得：5≤a≤6.67，a取整数，
∴a＝5或6．
①共有2种方案，大收割机5台，小收割机10台，每天收割小麦0.4×5+0.2×10＝4（公顷）；
或大收割机6台，小收割机9台，每天收割小麦0.4×6+0.2×9＝4.2（公顷）；
②0.4×5+0.2×10＝4（公顷）
0.4×6+0.2×9＝4.2（公顷）
∴第二种方案每天收割小麦最多．
24．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点E，且∠DAC＝∠DCA．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若∠AEB＝125°，且∠ABD＝2∠CBD，DF平分∠ADB交AB边于点F，求∠BDF﹣∠CBD的值．
【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义证明即可；
（2）根据角平分线的定义，三角形的外角性质，分别用∠BAC的代数式表示出∠BDF与∠CBD，即可求出∠BDF﹣∠CBD的值．
【解答】解：（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
又∵∠DAC＝∠DCA，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴AC平分∠BAD；
（2）∵∠BAC＝∠DAC，∠DAC+∠ADB＝∠AEB＝125°，
∴∠ADB＝125°﹣∠BAC，
又∵DF平分∠ADB交AB边于点F，
∴∠BDF＝，
由∠AEB＝125°可得∠BAC＝55°﹣∠ABD，
∵∠ABD＝2∠CBD，
∴∠BAC＝55°﹣2∠CBD，
∴，
∴∠BDF﹣∠CBD＝＝35°．
25．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b），B（m，n）分别是第三象限与第二象限内的点，将A，B两点先向右平移h个单位，再向下平移1个单位得到C，D两点（点A对应点C）．
（1）写出C，D两点的坐标；（用含相关字母的代数式表示）
（2）连接AD，过点B作AD的垂线l，E是直线l上一点，连接DE，且DE的最小值为1．
①若b＝n﹣1，求证：直线l⊥x轴；
②在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，这条直线上有无数个点，每一个点的坐标（x，y）都是这个方程的一个解．在①的条件下若关于x，y的二元一次方程px+qy＝k（pq≠0）的图象经过点B，D及点（s，t），判断s+t与m+n是否相等，并说明理由．
【分析】（1）根据平移规律解决问题即可．．
（2）①证明A，D的纵坐标相等即可解决问题
②如图，设AD交直线l于J，首先证明BJ＝DJ＝1，推出D（m+1，n﹣1），再证明p＝q，即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意，C（a+h，b﹣1），D（m+h，n﹣1）．
（2）①∵b＝n﹣1，
∴A（a，b），D（m+h，n﹣1），
∴点A，D的纵坐标相等，
∴AD⊥x轴，
∵直线l⊥AD，
∴直线l⊥x轴．
②如图，设AD交直线l于J，
∵DE的最小值为1，
∴DJ＝1，
∵BJ＝1，
∴D（m+1，n﹣1）
∴二元一次方程px+qy＝k（pq≠0）的图象经过点B，D，
∴mp+nq＝k，（m+1）p+（n﹣1）q＝k，
∴p﹣q＝0，
∴p＝q，
∴m+n＝，
∵tp+sp＝k，
t+s＝，
∴m+n＝t+s．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）点P（﹣3，2）所在的象限是（ ）
A．第一象限内 B．第二象限内 C．第三象限内 D．第四象限内
2．（4分）在实数﹣π，﹣3，﹣1，0中，最小的是（ ）
A．﹣π B．﹣3 C．﹣1 D．0
3．（4分）2的算术平方根是（ ）
A． B． C．﹣ D．±2
4．（4分）下列事件中，最适合采用普查的是（ ）
A．对我校七年级一班学生出生日期的调查
B．对全国中学生节水意识的调查
C．对山东省初中学生每天阅读时间的调查
D．对某批次灯泡使用寿命的调查
5．（4分）如图，数轴上表示的不等式的解集是（ ）
A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≥﹣1 D．x≤﹣1
6．（4分）若是方程3x+y＝5的一个解，则a的值是（ ）
A．5 B．1 C．﹣5 D．﹣1
7．（4分）如图，在三角形ABC中，若∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列线段的长度可以表示为点A到直线CD距离的是（ ）
A．AD B．AC C．AB D．CD
8．（4分）如图，下列选项中，不能得出直线l1∥l2的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠4＝∠5 C．∠2+∠4＝180° D．∠1＝∠3
9．（4分）已知m＞n，下列不等式一定成立的是（ ）
A．﹣2m＞﹣2n B．2m＞2n C．m+2a＞n+a D．m2＞n2
10．（4分）在平面直角坐标系中，A（a，a），B（2﹣b，4﹣b），其中a+b＝2，则下列对AB长度判断正确的是（ ）
A．AB＜2 B．AB＞2 C．AB＝2 D．无法确定
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）＝
12．（4分）在一次立定跳远测试中，10名学生所测的成绩（单位：厘米）如下：182，160，169，178，180，158，156，163，161，150，则这一组数据中最大值与最小值的差是 ．
13．（4分）二元一次方程x+3y＝10的正整数解共有 个．
14．（4分）《九章算术》是我国东汉年间编订的一部数学经典著作，其中有一个问题是：“今有三人公车，二车空；二人公车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为 ．
15．（4分）如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是1和6，则剩余区域的面积是 ．
16．（4分）如图，已知AB∥CD，点E在两平行线之间，连接BE，CE，∠ABE的平分线与∠BEC的平分线的反向延长线交于点F，若∠BFE＝50°，则∠C的度数是 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）计算：+|﹣1|﹣．
18．（8分）解方程组：．
19．（8分）请补全证明过程及推理依据．
已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边AB，AC，BC上的点，若AB∥EF，∠DEF＝∠B．
求证：∠AED＝∠C．
证明：∵AB∥EF，
∴ ＝∠EFC．（ ）
∵∠DEF＝∠B，
∴∠DEF＝∠EFC，（ ）
∴DE∥BC，（ ）
∴∠AED＝∠C．
20．（8分）已知足球场的形状是一个长方形，而国际标准球场的长度a和宽度b（单位：米）的取值范围分别是100≤a≤110，64≤b≤75．若某球场的宽与长的比是1：1.5，面积为7350平方米，请判断该球场是否符合国际标准球场的长宽标准，并说明理由．
21．（8分）2020年是决胜全面建成小康社会，决战脱贫攻坚之年，贫困地区的小康建成是最艰巨最繁重的任务．国务院扶贫开发领导小组指出贫困户脱贫人均年收入要达到4000元，根据某贫困县随机抽取的2019年居民人均年收入统计情况，绘制了如图所示的频数分布表：
收入（元）
频数
（人数）
频率
0≤x＜2000
80
0.01
2000≤x＜4000
a
b
4000≤x＜6000
c
0.45
6000≤x＜8000
d
0.3
8000≤x＜10000
800
m
10000≤x＜12000
n
0.1
合计
p
1
（1）填空：m＝ ，p＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该县共有6万居民，试估计仍未脱贫的居民人数．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣4，0），B（2，3），连接AB交y轴于点C，连接OB．
（1）求三角形ABO的面积；
（2）求点C的坐标．
23．（10分）2台大收割机和5台小收割机均工作2天共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机均工作5天，共收割小麦8公顷．
（1）1台大收割机和1台小收割机每天各收割小麦多少公顷？
（2）设大收割机每台租金600元/天，小收割机每台租金120元/天，某农场准备租用两种收割机共15台，要求大收割机的数量不少于小收割机的一半，若每天总租金不超过5000元，若设大收割机要a台，
①共有几种租赁方案？写出解答过程；
②哪种租赁方案每天收割小麦最多？
24．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点E，且∠DAC＝∠DCA．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若∠AEB＝125°，且∠ABD＝2∠CBD，DF平分∠ADB交AB边于点F，求∠BDF﹣∠CBD的值．
25．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b），B（m，n）分别是第三象限与第二象限内的点，将A，B两点先向右平移h个单位，再向下平移1个单位得到C，D两点（点A对应点C）．
（1）写出C，D两点的坐标；（用含相关字母的代数式表示）
（2）连接AD，过点B作AD的垂线l，E是直线l上一点，连接DE，且DE的最小值为1．
①若b＝n﹣1，求证：直线l⊥x轴；
②在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，这条直线上有无数个点，每一个点的坐标（x，y）都是这个方程的一个解．在①的条件下若关于x，y的二元一次方程px+qy＝k（pq≠0）的图象经过点B，D及点（s，t），判断s+t与m+n是否相等，并说明理由．
2019-2020学年福建省福州市七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）点P（﹣3，2）所在的象限是（ ）
A．第一象限内 B．第二象限内 C．第三象限内 D．第四象限内
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：点P（﹣3，2）在第二象限．
故选：B．
2．（4分）在实数﹣π，﹣3，﹣1，0中，最小的是（ ）
A．﹣π B．﹣3 C．﹣1 D．0
【分析】根据实数大小比较的方法进行比较即可．
【解答】解：因为﹣π＜﹣3＜﹣1＜0，
所有最小的数是﹣π，
故选：A．
3．（4分）2的算术平方根是（ ）
A． B． C．﹣ D．±2
【分析】利用算术平方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：2的算术平方根是，
故选：B．
4．（4分）下列事件中，最适合采用普查的是（ ）
A．对我校七年级一班学生出生日期的调查
B．对全国中学生节水意识的调查
C．对山东省初中学生每天阅读时间的调查
D．对某批次灯泡使用寿命的调查
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：A、对我校七年级一班学生出生日期的调查适合采用普查；
B、对全国中学生节水意识的调查适合采用抽样调查；
C、对山东省初中学生每天阅读时间的调查适合采用抽样调查；
D、对某批次灯泡使用寿命的调查适合采用抽样调查；
故选：A．
5．（4分）如图，数轴上表示的不等式的解集是（ ）
A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≥﹣1 D．x≤﹣1
【分析】本题先观察数轴表示的不等式的解集，再看选项是否与题意相符．若是，则该选项为正确的答案．
【解答】解：依题意得：数轴表示的解集是：x≥﹣1，
故选：C．
6．（4分）若是方程3x+y＝5的一个解，则a的值是（ ）
A．5 B．1 C．﹣5 D．﹣1
【分析】将代入方程3x+y＝5得出关于a的方程，解之可得．
【解答】解：将代入方程3x+y＝5，得：3a+2a＝5，
解得：a＝1，
故选：B．
7．（4分）如图，在三角形ABC中，若∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列线段的长度可以表示为点A到直线CD距离的是（ ）
A．AD B．AC C．AB D．CD
【分析】关键点到直线的距离的定义得出即可．
【解答】解：点A到CD的距离是线段AD的长度，
故选：A．
8．（4分）如图，下列选项中，不能得出直线l1∥l2的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠4＝∠5 C．∠2+∠4＝180° D．∠1＝∠3
【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，分别进行分析即可．
【解答】解：A、∠1＝∠2，不能判断直线l1∥l2，故此选项符合题意；
B、根据同位角相等，两直线平行，可判断直线l1∥l2，故此选项不合题意；
C、根据同旁内角互补，两直线平行，可判断直线l1∥l2，故此选项不合题意；
D、根据内错角相等，两直线平行，可判断直线l1∥l2，故此选项不合题意．
故选：A．
9．（4分）已知m＞n，下列不等式一定成立的是（ ）
A．﹣2m＞﹣2n B．2m＞2n C．m+2a＞n+a D．m2＞n2
【分析】利用不等式的性质，直接判断得结论．
【解答】解：∵m＞n，根据不等式的性质3，﹣2m＜﹣2n，故A错误；
∵m＞n，根据不等式的性质2，2m＞2n，故B一定成立；
∵m＞n，根据不等式的性质1，当2a＝a时，m+2a＞n+a成立，
当2a≠a时，m+2a＞n+a不一定成立，故C错误；
∵﹣1＞﹣2，（﹣1）2＜（﹣2）2，
∴m＞n，m2不一定大于n2．，故D错误；
故选：B．
10．（4分）在平面直角坐标系中，A（a，a），B（2﹣b，4﹣b），其中a+b＝2，则下列对AB长度判断正确的是（ ）
A．AB＜2 B．AB＞2 C．AB＝2 D．无法确定
【分析】根据两点间的距离公式可得AB＝＝＝2，依此即可求解．
【解答】解：∵在平面直角坐标系中，A（a，a），B（2﹣b，4﹣b），a+b＝2，
∴AB＝＝＝2．
故选：C．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）＝ 2
【分析】利用算术平方根的定义求解．
【解答】解：＝2．
故答案为2．
12．（4分）在一次立定跳远测试中，10名学生所测的成绩（单位：厘米）如下：182，160，169，178，180，158，156，163，161，150，则这一组数据中最大值与最小值的差是 32 ．
【分析】根据极差的定义即可求得．
【解答】解：这一组数据中最大值与最小值的差是：182﹣150＝32；
故答案为：32．
13．（4分）二元一次方程x+3y＝10的正整数解共有 3 个．
【分析】由于二元一次方程x+3y＝10中x的系数是1，可先用含y的代数式表示x，然后根据此方程的解是正整数，那么把最小的正整数y＝1代入，算出对应的x的值，再把y＝2代入，再算出对应的x的值，依此可以求出结果．
【解答】解：∵x+3y＝10，
∴x＝10﹣3y，
∵x、y都是正整数，
∴y＝1时，x＝7；
y＝2时，x＝4；
y＝3时，x＝1．
∴二元一次方程x+3y＝10的正整数解共有3对．
故答案为3．
14．（4分）《九章算术》是我国东汉年间编订的一部数学经典著作，其中有一个问题是：“今有三人公车，二车空；二人公车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为 ．
【分析】根据“若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意，得：．
故答案为：．
15．（4分）如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是1和6，则剩余区域的面积是 ﹣1 ．
【分析】直接求出A，B两正方形边长，进而求出剩余区域的面积．
【解答】解：∵A，B两正方形区域的面积分别是1和6，
∴A，B两正方形边长分别是1和，
故剩余区域的面积是：
（+1）﹣6﹣1
＝6+﹣7
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
16．（4分）如图，已知AB∥CD，点E在两平行线之间，连接BE，CE，∠ABE的平分线与∠BEC的平分线的反向延长线交于点F，若∠BFE＝50°，则∠C的度数是 80° ．
【分析】延长BE交DC的延长线于G，易求∠EBF+∠FEB＝130°，根据角平分线的定义可求解∠ABE+∠BEF+∠FEC＝260°，根据平行线的性质可得∠ECG＝100°，进而可求解．
【解答】解：延长BE交DC的延长线于G，
∵∠BFE＝50°，
∴∠EBF+∠FEB＝180°﹣50°＝130°，
∵∠ABE的平分线与∠BEC的平分线的反向延长线交于点F，
∴∠ABE+∠BEF+∠FEC＝260°，
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BGC，
∴∠BGC+∠BEF+∠FEC＝260°，
∵∠BEF+∠FEG＝180°，
∴∠EGC+∠CEG＝80°，
∴∠ECG＝100°，
∴∠ECD＝180°﹣100°＝80°．
故答案为80°．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）计算：+|﹣1|﹣．
【分析】根据算术平方根、绝对值、立方根的意义分别进行计算即可．
【解答】解：+|﹣1|﹣，
＝3+﹣1+1，
＝3+．
18．（8分）解方程组：．
【分析】利用加减消元法，求出方程组的解即可．
【解答】解：．
①﹣②，可得：4y＝2，
解得y＝
把y＝代入②，解得x＝，
∴原方程组的解是．
19．（8分）请补全证明过程及推理依据．
已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边AB，AC，BC上的点，若AB∥EF，∠DEF＝∠B．
求证：∠AED＝∠C．
证明：∵AB∥EF，
∴ ∠B ＝∠EFC．（ 两直线平行，同位角相等 ）
∵∠DEF＝∠B，
∴∠DEF＝∠EFC，（ 等量代换 ）
∴DE∥BC，（ 内错角相等，两直线平行 ）
∴∠AED＝∠C．
【分析】根据平行线的性质得出∠B＝∠EFC，求出∠DEF＝∠EFC，根据平行线的判定得出DE∥BC，根据平行线的性质得出即可．
【解答】证明：∵AB∥EF，
∴∠B＝∠EFC（两直线平行，同位角相等），
∵∠DEF＝∠B，
∴∠DEF＝∠EFC（等量代换），
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠AED＝∠C，
故答案为：∠B，两直线平行，同位角相等，等量代换，内错角相等，两直线平行．
20．（8分）已知足球场的形状是一个长方形，而国际标准球场的长度a和宽度b（单位：米）的取值范围分别是100≤a≤110，64≤b≤75．若某球场的宽与长的比是1：1.5，面积为7350平方米，请判断该球场是否符合国际标准球场的长宽标准，并说明理由．
【分析】根据宽与长的比是1：1.5，面积为7350平方米，列方程求出长和宽，比较得出答案．
【解答】解：设宽为b米，则长为1.5b米，由题意得，
1.5b×b＝7350，
∴b＝70，或b＝﹣70（舍去），
即宽为70米，长为1.5×70＝105米，
∵100≤105≤110，64≤70≤75，
∴符合国际标准球场的长宽标准．
21．（8分）2020年是决胜全面建成小康社会，决战脱贫攻坚之年，贫困地区的小康建成是最艰巨最繁重的任务．国务院扶贫开发领导小组指出贫困户脱贫人均年收入要达到4000元，根据某贫困县随机抽取的2019年居民人均年收入统计情况，绘制了如图所示的频数分布表：
收入（元）
频数
（人数）
频率
0≤x＜2000
80
0.01
2000≤x＜4000
a
b
4000≤x＜6000
c
0.45
6000≤x＜8000
d
0.3
8000≤x＜10000
800
m
10000≤x＜12000
n
0.1
合计
p
1
（1）填空：m＝ 0.1 ，p＝ 8000 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该县共有6万居民，试估计仍未脱贫的居民人数．
【分析】（1）根据频数频率、总数之间的关系进行计算即可；
（2）求出a、c、d、n的值，即可补全频数分布直方图；
（3）样本中，未脱贫的占调查人数的（0.01+0.04），因此估计总体60000人的5%是未脱贫的人数．
【解答】解：（1）p＝80÷0.01＝8000（人），m＝800÷8000＝0.1，
故答案为：0.1，8000；
（2）c＝8000×0.45＝3600（人），d＝8000×0.3＝2400（人），n＝8000×0.1＝800（人），a＝8000×0.04＝320（人），b＝320÷8000＝0.04，
补全频数分布直方图如图所示：
（3）60000×（0.01+0.04）＝3000（人），
答：若该县共有6万居民，仍未脱贫的居民有3000人．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣4，0），B（2，3），连接AB交y轴于点C，连接OB．
（1）求三角形ABO的面积；
（2）求点C的坐标．
【分析】（1）根据点A、B的坐标求出OA、点B到OA的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解；
（2）根据三角形面积和列等式，根据（1）中：△AOB的面积＝6，即可得解．
【解答】解：（1）∵A（﹣4，0），B（2，3），
∴OA＝4，点B到OA的距离是3，
∴△AOB的面积＝×3×4＝6；
（2）∵S△AOB＝S△AOC+S△BOC，
∴6＝，
∴OC＝2，
∴点C的坐标为（0，2）．
23．（10分）2台大收割机和5台小收割机均工作2天共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机均工作5天，共收割小麦8公顷．
（1）1台大收割机和1台小收割机每天各收割小麦多少公顷？
（2）设大收割机每台租金600元/天，小收割机每台租金120元/天，某农场准备租用两种收割机共15台，要求大收割机的数量不少于小收割机的一半，若每天总租金不超过5000元，若设大收割机要a台，
①共有几种租赁方案？写出解答过程；
②哪种租赁方案每天收割小麦最多？
【分析】（1）此题可设1台大型收割机和1台小型收割机工作1天各收割小麦x公顷和y公顷，根据题中的等量关系列出二元一次方程组解答即可；
（2）大收割机为a台，则小收割机为（15﹣a）台．由“两种收割机共15台，要求大收割机的数量不少于小收割机的一半”和“每天总租金不超过5000元”列出关于a的不等式组，通过解不等式组求得整数a的值．
【解答】解：（1）设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x、y公顷，则：
，
解方程组得：；
（2）设大收割机为a台，则小收割机为（15﹣a）台，则
，
解不等式组得：5≤a≤6.67，a取整数，
∴a＝5或6．
①共有2种方案，大收割机5台，小收割机10台，每天收割小麦0.4×5+0.2×10＝4（公顷）；
或大收割机6台，小收割机9台，每天收割小麦0.4×6+0.2×9＝4.2（公顷）；
②0.4×5+0.2×10＝4（公顷）
0.4×6+0.2×9＝4.2（公顷）
∴第二种方案每天收割小麦最多．
24．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点E，且∠DAC＝∠DCA．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若∠AEB＝125°，且∠ABD＝2∠CBD，DF平分∠ADB交AB边于点F，求∠BDF﹣∠CBD的值．
【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义证明即可；
（2）根据角平分线的定义，三角形的外角性质，分别用∠BAC的代数式表示出∠BDF与∠CBD，即可求出∠BDF﹣∠CBD的值．
【解答】解：（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
又∵∠DAC＝∠DCA，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴AC平分∠BAD；
（2）∵∠BAC＝∠DAC，∠DAC+∠ADB＝∠AEB＝125°，
∴∠ADB＝125°﹣∠BAC，
又∵DF平分∠ADB交AB边于点F，
∴∠BDF＝，
由∠AEB＝125°可得∠BAC＝55°﹣∠ABD，
∵∠ABD＝2∠CBD，
∴∠BAC＝55°﹣2∠CBD，
∴，
∴∠BDF﹣∠CBD＝＝35°．
25．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b），B（m，n）分别是第三象限与第二象限内的点，将A，B两点先向右平移h个单位，再向下平移1个单位得到C，D两点（点A对应点C）．
（1）写出C，D两点的坐标；（用含相关字母的代数式表示）
（2）连接AD，过点B作AD的垂线l，E是直线l上一点，连接DE，且DE的最小值为1．
①若b＝n﹣1，求证：直线l⊥x轴；
②在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，这条直线上有无数个点，每一个点的坐标（x，y）都是这个方程的一个解．在①的条件下若关于x，y的二元一次方程px+qy＝k（pq≠0）的图象经过点B，D及点（s，t），判断s+t与m+n是否相等，并说明理由．
【分析】（1）根据平移规律解决问题即可．．
（2）①证明A，D的纵坐标相等即可解决问题
②如图，设AD交直线l于J，首先证明BJ＝DJ＝1，推出D（m+1，n﹣1），再证明p＝q，即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意，C（a+h，b﹣1），D（m+h，n﹣1）．
（2）①∵b＝n﹣1，
∴A（a，b），D（m+h，n﹣1），
∴点A，D的纵坐标相等，
∴AD⊥x轴，
∵直线l⊥AD，
∴直线l⊥x轴．
②如图，设AD交直线l于J，
∵DE的最小值为1，
∴DJ＝1，
∵BJ＝1，
∴D（m+1，n﹣1）
∴二元一次方程px+qy＝k（pq≠0）的图象经过点B，D，
∴mp+nq＝k，（m+1）p+（n﹣1）q＝k，
∴p﹣q＝0，
∴p＝q，
∴m+n＝，
∵tp+sp＝k，
t+s＝，
∴m+n＝t+s．
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