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2019-2020学年湖南省长沙市雨花区八年级（下）期末数学试卷
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2019-2020学年湖南省长沙市雨花区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）一次函数y＝﹣3x﹣1的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（3分）如图，菱形ABCD中，∠D＝130°，则∠1＝（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
3．（3分）在学校的体育训练中，小杰投实心球的7次成绩就如统计图所示，则这7次成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．9.7m，9.8m B．9.7m，9.7m C．9.8m，9.9m D．9.8m，9.8m
4．（3分）下列叙述，错误的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线相等的四边形是矩形
5．（3分）抛物线y＝5（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
6．（3分）要从甲、乙、丙三名学生中选出一名学生参加数学竞赛，对这三名学生进行了10次数学测试，经过数据分析，3人的平均成绩均为92分，甲的方差为0.015，乙的方差为0.08，丙的方差为0.024，则这10次测试成绩比较稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定
7．（3分）如果关于x的方程x2+2x+m＝0有实数根，那么m的取值范围是（ ）
A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1
8．（3分）如图，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S1＝36，S2＝64，则S3＝（ ）
A．8 B．10 C．80 D．100
9．（3分）如图，直线y＝kx+b与坐标轴的两交点分别为A（2，0）和B（0，﹣3），则不等式kx+b+3≤0的解集为（ ）
A．x≤0 B．x≥0 C．x≥2 D．x≤2
10．（3分）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a+b+c＝0且a﹣b+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0的根是（ ）
A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定
11．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，2），B（2，3），y＝ax2的图象如图所示，则a的值可以为（ ）
A．0.7 B．0.9 C．2 D．2.1
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，AE＝5，且EO＝2BE，则OA的长为（ ）
A． B． C．3 D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）方程x2＝2020x的两根之和是 ．
14．（3分）若二次函数y＝x2﹣4x+c的图象经过点（0，3），则函数y的最小值是 ．
15．（3分）等腰直角三角形斜边上的高为1cm，则这个三角形的周长为 cm．
16．（3分）要得到函数y＝2（x﹣1）2+3的图象，可以将函数y＝2x2的图象向 平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度．
17．（3分）如图，▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，BC＝5，AB＝4，AE＝3，则AF的长为 ．
18．（3分）疫情期间，学校利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米）搭建一个矩形临时隔离点ABCD，如图所示，它的另外三边所围的总长度是10米，矩形隔离点的面积为12平方米，则AB的长度是 米．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分）
19．（6分）解方程：（x﹣1）（x+3）＝5．
20．（6分）如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米（先画出示意图，然后再求解）．
21．（8分）已知直线l：y＝kx+b与直线y＝2x平行，且直线l过点（2，8）．
（1）求直线l的解析式；
（2）求直线l与x轴的交点坐标．
22．（8分）某学校对初中毕业班经过初步比较后，决定从九年级（1）、（4）、（8）班这三个班中推荐一个班为市级先进班集体的候选班，现对这三个班进行综合考评，下表是它们五项考评的得分表（以分为单位，每项满分为10分）：
班级
行为规范
学习成绩
校运动会
艺术获奖
劳动卫生
九（1）班
10
10
6
10
7
九（4）班
10
8
8
9
8
九（8）班
9
10
9
6
9
（1）请问各班五项考评分的平均数能不能反映三个班的考评结果的差异？
（2）若根据五个项目的重要程度，行为规范、学习成绩、校运动会、艺术获奖、劳动卫生各项考评内容的占分比例为3：3：2：1：1，按这个比例对各班的得分重新计算，并从中推荐一个得分最高的班作为市级先进班集体的候选班．
23．（9分）关于x的方程有两个不相等的实数根
（1）求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
24．（9分）如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F
（1）求证：四边形BEDF为菱形；
（2）如果∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝12，求EF的长
25．（10分）如图（1）所示，在A、B两地间有一车站C，一辆汽车从A地出发经C站匀速驶往B地，如图（2）是汽车行驶时离C站的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系的图象．
（1）求图中a的值以及AB两地的距离；
（2）求线段PM、MN所对应的函数表达式；
（3）求行驶时间x在什么范围时，小汽车离车站C的路程不超过60千米？
26．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C （0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧抛物线上找一点P，使得P、D、C构成以PC为底边的等腰三角形，求出点P的坐标及此时四边形PBCD的面积．
2019-2020学年湖南省长沙市雨花区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）一次函数y＝﹣3x﹣1的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数不经过哪个象限，本题得以解决．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣3x﹣1，k＝﹣3，b＝﹣1，
∴该函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，
故选：A．
2．（3分）如图，菱形ABCD中，∠D＝130°，则∠1＝（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
【分析】直接利用菱形的性质得出DC∥AB，∠DAC＝∠1，进而结合平行四边形的性质得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AB，∠DAC＝∠1，
∵∠D＝130°，
∴∠DAB＝180°﹣130°＝50°，
∴∠1＝∠DAB＝25°．
故选：B．
3．（3分）在学校的体育训练中，小杰投实心球的7次成绩就如统计图所示，则这7次成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．9.7m，9.8m B．9.7m，9.7m C．9.8m，9.9m D．9.8m，9.8m
【分析】将这7个数据从小到大排序后处在第4位的数是中位数，利用出现次数最多的数是众数找到众数即可．
【解答】解：把这7个数据从小到大排列处于第4位的数是9.7m，因此中位数是9.7m，
9.7m出现了2次，最多，
所以众数为9.7m，
故选：B．
4．（3分）下列叙述，错误的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线相等的四边形是矩形
【分析】根据菱形的判定方法，矩形的判定方法，正方形的判定方法，平行四边形的判定方法分别分析即可得出答案．
【解答】解：
A、根据对角线互相垂直的平行四边形可判定为菱形，再有对角线且相等可判定为正方形，故此选项正确，不符合题意；
B、根据菱形的判定方法可得对角线互相垂直平分的四边形是菱形正确，故此选项正确，不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形是判断平行四边形的重要方法之一，故此选项正确，不符合题意；
D、根据矩形的判定方法：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，因此只有对角线相等的四边形不能判定是矩形，故此选项错误，符合题意；
故选：D．
5．（3分）抛物线y＝5（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
【分析】由于抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），由此即可求解．
【解答】解：∵抛物线y＝5（x﹣2）2﹣3，
∴顶点坐标为：（2，﹣3）．
故选：A．
6．（3分）要从甲、乙、丙三名学生中选出一名学生参加数学竞赛，对这三名学生进行了10次数学测试，经过数据分析，3人的平均成绩均为92分，甲的方差为0.015，乙的方差为0.08，丙的方差为0.024，则这10次测试成绩比较稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定
【分析】方差是反映数据离散程度的统计量，方差越小，离散程度越小，就越稳定．
【解答】解：∵3人的平均成绩均为92分，甲的方差为0.015＜丙的方差为0.024＜乙的方差为0.08，
∴甲这10次测试成绩比较稳定，
故选：A．
7．（3分）如果关于x的方程x2+2x+m＝0有实数根，那么m的取值范围是（ ）
A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1
【分析】由关于x的方程x2+2x+m＝0有实数根知△＝b2﹣4ac≥0，据此求解可得．
【解答】解：根据题意知△＝22﹣4m≥0，
解得m≤1，
故选：B．
8．（3分）如图，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S1＝36，S2＝64，则S3＝（ ）
A．8 B．10 C．80 D．100
【分析】由正方形的面积公式可知S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BC2，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+AB2＝BC2，即S1+S2＝S3，由此可求S3．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，
又由正方形面积公式得S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BC2，
∴S3＝S1+S2＝36+64＝100．
故选：D．
9．（3分）如图，直线y＝kx+b与坐标轴的两交点分别为A（2，0）和B（0，﹣3），则不等式kx+b+3≤0的解集为（ ）
A．x≤0 B．x≥0 C．x≥2 D．x≤2
【分析】从图象上知，直线y＝kx+b的函数值y随x的增大而增大，与y轴的交点为B（0，﹣3），即当x＝0时，y＝﹣3，由图象可看出，不等式kx+b+3≤0的解集是x≤0．
【解答】解：由kx+b+3≤0得kx+b≤﹣3，
直线y＝kx+b与y轴的交点为B（0，﹣3），
即当x＝0时，y＝﹣3，
由图象可看出，不等式kx+b+3≤0的解集是x≤0．
故选：A．
10．（3分）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a+b+c＝0且a﹣b+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0的根是（ ）
A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定
【分析】由a+b+c＝0有：b＝﹣（a+c）代入方程可以得到一个根是1；
由a﹣b+c＝0有：b＝a+c代入方程可以得到一个根是﹣1．
【解答】解：∵a+b+c＝0，
∴b＝﹣（a+c） ①
把①代入方程有：ax2﹣（a+c）x+c＝0，
ax2﹣ax﹣cx+c＝0，
ax（x﹣1）﹣c（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（ax﹣c）＝0．
∴x1＝1，x2＝．
∵a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c②
把②代入方程有：ax2+（a+c）x+c＝0，
ax2+ax+cx+c＝0，
ax（x+1）+c（x+1）＝0，
（x+1）（ax+c）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣．
∴方程的根是1和﹣1．
故选：C．
11．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，2），B（2，3），y＝ax2的图象如图所示，则a的值可以为（ ）
A．0.7 B．0.9 C．2 D．2.1
【分析】利用x＝﹣1时，y＜2和当x＝2时，y＞3得到a的范围，然后对各选项进行判断．
【解答】解：∵x＝﹣1时，y＜2，即a＜2；
当x＝2时，y＞3，即4a＞3，解得a＞，
所以＜a＜2．
故选：B．
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，AE＝5，且EO＝2BE，则OA的长为（ ）
A． B． C．3 D．
【分析】由矩形的性质可得AC＝BD，AO＝CO＝BO＝DO，由勾股定理可求BE的长，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝CO＝BO＝DO，
∵EO＝2BE，
∴BO＝3BE＝OA，
∵AE2+EO2＝AO2，
∴25+4BE2＝9BE2，
∴BE＝，
∴OA＝3BE＝3，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）方程x2＝2020x的两根之和是 2020 ．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求得．
【解答】解：方程化为一般式：x2﹣2020x＝0，
设方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝2020，
故答案为2020．
14．（3分）若二次函数y＝x2﹣4x+c的图象经过点（0，3），则函数y的最小值是 ﹣1 ．
【分析】根据待定系数法求得c的值，然后把一般式化成顶点式，根据二次函数的性质即可求得．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+c的图象经过点（0，3），
∴c＝3，
∴二次函数为y＝x2﹣4x+3，
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴函数y的最小值是﹣1，
故答案为﹣1．
15．（3分）等腰直角三角形斜边上的高为1cm，则这个三角形的周长为 （2+2） cm．
【分析】由等腰直角三角形的性质求出斜边长和直角边长，即可得出答案．
【解答】解：∵等腰直角三角形斜边上的高为1cm，也是斜边上的中线，
∴等腰直角三角形的斜边长＝2cm，
∴等腰直角三角形的直角边长＝×2＝（cm），
∴这个等腰直角三角形的周长为2+2（cm），
故答案为：（2+2）．
16．（3分）要得到函数y＝2（x﹣1）2+3的图象，可以将函数y＝2x2的图象向 右 平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度．
【分析】分别求出两个二次函数的顶点坐标，然后根据顶点的变化解答．
【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标是（0，0），抛物线线y＝2（ x﹣1）2+3的顶点坐标是（1，3），
所以将顶点（0，0）向右平移1个单位，再向是平移3个单位得到顶点（1，3），
即将将函数y＝2x2的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到函数y＝2（x﹣1）2+3的图象．
故答案为右．
17．（3分）如图，▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，BC＝5，AB＝4，AE＝3，则AF的长为 ．
【分析】平行四边形的面积＝底×高，根据已知，代入数据计算即可．
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SSS），
∴S△ABC＝S△CDA，
即BC•AE＝CD•AF，
∵CD＝AB＝4，
∴AF＝．
故答案为：．
18．（3分）疫情期间，学校利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米）搭建一个矩形临时隔离点ABCD，如图所示，它的另外三边所围的总长度是10米，矩形隔离点的面积为12平方米，则AB的长度是 3 米．
【分析】根据临时隔离点ABCD总长度是10米，AB＝x米，则BC＝（10﹣2x）米，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．
【解答】解：设AB＝x米，则BC＝（10﹣2x）米，
根据题意可得，x（10﹣2x）＝12，
解得x1＝3，x2＝2（舍去），
∴AB的长为3米．
故答案为：3．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分）
19．（6分）解方程：（x﹣1）（x+3）＝5．
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：x2+2x﹣8＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x+4）＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣4．
20．（6分）如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米（先画出示意图，然后再求解）．
【分析】根据题意画出图形，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．
【解答】解：如图所示，过D点作DE⊥AB，垂足为E
∵AB＝13，CD＝8
又∵BE＝CD，DE＝BC
∴AE＝AB﹣BE＝AB﹣CD＝13﹣8＝5
∴在Rt△ADE中，DE＝BC＝12
∴AD2＝AE2+DE2＝122+52＝144+25＝169
∴AD＝13（负值舍去）
答：小鸟飞行的最短路程为13m．
21．（8分）已知直线l：y＝kx+b与直线y＝2x平行，且直线l过点（2，8）．
（1）求直线l的解析式；
（2）求直线l与x轴的交点坐标．
【分析】先根据直线平行的性质得到k＝2，再把（2，8）代入y＝3x+b求出b，从而得到直线解析式，然后计算函数值为0所对应的自变量的值即可得到直线与x轴的交点坐标．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b和直线y＝2x平行，
∴k＝2，
把（2，8）代入y＝2x+b得8＝4+b，解得b＝4，
∴直线解析式为y＝2x+4，
（2）当y＝0时，2x+4＝0，解得x＝﹣2，
∴直线l与x轴的交点坐标为（﹣2，0）．
22．（8分）某学校对初中毕业班经过初步比较后，决定从九年级（1）、（4）、（8）班这三个班中推荐一个班为市级先进班集体的候选班，现对这三个班进行综合考评，下表是它们五项考评的得分表（以分为单位，每项满分为10分）：
班级
行为规范
学习成绩
校运动会
艺术获奖
劳动卫生
九（1）班
10
10
6
10
7
九（4）班
10
8
8
9
8
九（8）班
9
10
9
6
9
（1）请问各班五项考评分的平均数能不能反映三个班的考评结果的差异？
（2）若根据五个项目的重要程度，行为规范、学习成绩、校运动会、艺术获奖、劳动卫生各项考评内容的占分比例为3：3：2：1：1，按这个比例对各班的得分重新计算，并从中推荐一个得分最高的班作为市级先进班集体的候选班．
【分析】（1）根据平均数的公式求得各班的平均数，从而得出平均数不能反映三个班的考评结果的差异；
（2）根据五个项目的重要程度，即加权后计算三个班的得分，再比较，即可得出答案．
【解答】解：（1）设P1，P4，P8顺次为3个班考评分的平均数，
则P1＝（10+10+6+10+7）＝8.6（分），
P4＝（10+8+8+9+8）＝8.6（分），
P8＝（9+10+9+6+9）＝8.6（分），
所以平均数不能反映这三个班的考评结果的差异；
（2）设k1、k4、k8顺次为3个班的考评分，则：
k1＝0.3×10+0.3×10+0.2×6+0.1×10+0.1×7＝8.9，
k4＝0.3×10+0.3×8+0.2×8+0.1×9+0.1×8＝8.7，
k8＝0.3×9+0.3×10+0.2×9+0.1×6+0.1×9＝9，
因为k8＞k1＞k4，所以推荐九（8）班作为市级先进班集体的候选班．
23．（9分）关于x的方程有两个不相等的实数根
（1）求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用方程有两根不相等的实数根可以得到，解得m的取值范围即可；
（2）假设存在，然后利用根的判别式求得m的值，根据m的值是否能使得一元二次方程有实数根作出判断即可．
【解答】解：（1）由，得m＞﹣1
又∵m≠0
∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠0；（5分）
（2）不存在符合条件的实数m．（6分）
设方程两根为x1，x2则，
解得m＝﹣2，此时△＜0．
∴原方程无解，故不存在．（12分）
24．（9分）如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F
（1）求证：四边形BEDF为菱形；
（2）如果∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝12，求EF的长
【分析】（1）根据平行四边形的和菱形的判定证明即可；
（2）根据含30°的直角三角形的性质和勾股定理解答即可．
【解答】证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBD＝∠DBF，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝ED，
∴平行四边形BFDE是菱形；
解：（2）连接EF，交BD于O，
∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝30°．
由（1）知，平行四边形BFDE是菱形，则EF⊥BD，BO＝OD＝6．
∴EO＝BE．
由勾股定理得到：BE2＝62+EO2，即4EO2＝62+EO2．
解得：EO＝2．
所以EF＝4．
25．（10分）如图（1）所示，在A、B两地间有一车站C，一辆汽车从A地出发经C站匀速驶往B地，如图（2）是汽车行驶时离C站的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系的图象．
（1）求图中a的值以及AB两地的距离；
（2）求线段PM、MN所对应的函数表达式；
（3）求行驶时间x在什么范围时，小汽车离车站C的路程不超过60千米？
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以求得a的值和AB两地的距离；
（2）根据（1）中的a的值和函数图象中的数据，可以求得线段PM、MN所对应的函数表达式；
（3）根据（2）中的函数解析式，可以得到相应的不等式，从而可以得到行驶时间x在什么范围时，小汽车离车站C的路程不超过60千米．
【解答】解：（1）汽车的速度为：150÷2.5＝60（km/h），
a＝60×（6.5﹣2.5）＝240，
AB两地的距离是：150+240＝390（km），
即a的值是240，AB两地的距离是390km；
（2）设线段PM对应的函数解析式为y＝kx+b，
∵点（0，150），（2.5，0）在线段PM上，
∴，解得，，
即线段PM对应的函数解析式为y＝﹣60x+150，
设线段MN对应的函数解析式为y＝ax+c，
，解得，，
即线段MN对应的函数解析式为y＝60x﹣150；
（3）当﹣60x+150≤60时，
解得，x≥1.5，
当60x﹣150≤60时，
解得，x≤3.5，
即行驶时间1.5≤x≤3.5时，小汽车离车站C的路程不超过60千米．
26．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C （0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧抛物线上找一点P，使得P、D、C构成以PC为底边的等腰三角形，求出点P的坐标及此时四边形PBCD的面积．
【分析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入二次函数y＝ax2+bx﹣3a求得a、b的值即可确定二次函数的解析式；
（2）分别求得线段BC、CD、BD的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可；
（3）由抛物线的对称性和等腰三角形的性质可求点P坐标，由面积的和差关系可求解．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C （0，3），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4），
∵y＝﹣x2+2x+3与x轴交于另一点B，
∴令y＝0，﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴CD＝＝，
BC＝＝3，
BD＝＝2，
∵CD2+BC2＝（）2+（3）2＝20，BD2＝（2）2＝20，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形；
（3）如图，
∵P、D、C构成以PC为底边的等腰三角形，
∴点D在PC的垂直平分线上，
∴点C与点P关于对称轴直线x＝1对称，
∴点P的坐标为（2，3），
∵S四边形PBCD＝S△DCP+S△CBP，
∴S四边形PBCD＝×2×（4﹣3）+×2×3＝4．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）一次函数y＝﹣3x﹣1的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（3分）如图，菱形ABCD中，∠D＝130°，则∠1＝（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
3．（3分）在学校的体育训练中，小杰投实心球的7次成绩就如统计图所示，则这7次成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．9.7m，9.8m B．9.7m，9.7m C．9.8m，9.9m D．9.8m，9.8m
4．（3分）下列叙述，错误的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线相等的四边形是矩形
5．（3分）抛物线y＝5（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
6．（3分）要从甲、乙、丙三名学生中选出一名学生参加数学竞赛，对这三名学生进行了10次数学测试，经过数据分析，3人的平均成绩均为92分，甲的方差为0.015，乙的方差为0.08，丙的方差为0.024，则这10次测试成绩比较稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定
7．（3分）如果关于x的方程x2+2x+m＝0有实数根，那么m的取值范围是（ ）
A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1
8．（3分）如图，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S1＝36，S2＝64，则S3＝（ ）
A．8 B．10 C．80 D．100
9．（3分）如图，直线y＝kx+b与坐标轴的两交点分别为A（2，0）和B（0，﹣3），则不等式kx+b+3≤0的解集为（ ）
A．x≤0 B．x≥0 C．x≥2 D．x≤2
10．（3分）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a+b+c＝0且a﹣b+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0的根是（ ）
A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定
11．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，2），B（2，3），y＝ax2的图象如图所示，则a的值可以为（ ）
A．0.7 B．0.9 C．2 D．2.1
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，AE＝5，且EO＝2BE，则OA的长为（ ）
A． B． C．3 D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）方程x2＝2020x的两根之和是 ．
14．（3分）若二次函数y＝x2﹣4x+c的图象经过点（0，3），则函数y的最小值是 ．
15．（3分）等腰直角三角形斜边上的高为1cm，则这个三角形的周长为 cm．
16．（3分）要得到函数y＝2（x﹣1）2+3的图象，可以将函数y＝2x2的图象向 平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度．
17．（3分）如图，▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，BC＝5，AB＝4，AE＝3，则AF的长为 ．
18．（3分）疫情期间，学校利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米）搭建一个矩形临时隔离点ABCD，如图所示，它的另外三边所围的总长度是10米，矩形隔离点的面积为12平方米，则AB的长度是 米．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分）
19．（6分）解方程：（x﹣1）（x+3）＝5．
20．（6分）如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米（先画出示意图，然后再求解）．
21．（8分）已知直线l：y＝kx+b与直线y＝2x平行，且直线l过点（2，8）．
（1）求直线l的解析式；
（2）求直线l与x轴的交点坐标．
22．（8分）某学校对初中毕业班经过初步比较后，决定从九年级（1）、（4）、（8）班这三个班中推荐一个班为市级先进班集体的候选班，现对这三个班进行综合考评，下表是它们五项考评的得分表（以分为单位，每项满分为10分）：
班级
行为规范
学习成绩
校运动会
艺术获奖
劳动卫生
九（1）班
10
10
6
10
7
九（4）班
10
8
8
9
8
九（8）班
9
10
9
6
9
（1）请问各班五项考评分的平均数能不能反映三个班的考评结果的差异？
（2）若根据五个项目的重要程度，行为规范、学习成绩、校运动会、艺术获奖、劳动卫生各项考评内容的占分比例为3：3：2：1：1，按这个比例对各班的得分重新计算，并从中推荐一个得分最高的班作为市级先进班集体的候选班．
23．（9分）关于x的方程有两个不相等的实数根
（1）求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
24．（9分）如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F
（1）求证：四边形BEDF为菱形；
（2）如果∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝12，求EF的长
25．（10分）如图（1）所示，在A、B两地间有一车站C，一辆汽车从A地出发经C站匀速驶往B地，如图（2）是汽车行驶时离C站的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系的图象．
（1）求图中a的值以及AB两地的距离；
（2）求线段PM、MN所对应的函数表达式；
（3）求行驶时间x在什么范围时，小汽车离车站C的路程不超过60千米？
26．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C （0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧抛物线上找一点P，使得P、D、C构成以PC为底边的等腰三角形，求出点P的坐标及此时四边形PBCD的面积．
2019-2020学年湖南省长沙市雨花区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）一次函数y＝﹣3x﹣1的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数不经过哪个象限，本题得以解决．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣3x﹣1，k＝﹣3，b＝﹣1，
∴该函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，
故选：A．
2．（3分）如图，菱形ABCD中，∠D＝130°，则∠1＝（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
【分析】直接利用菱形的性质得出DC∥AB，∠DAC＝∠1，进而结合平行四边形的性质得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AB，∠DAC＝∠1，
∵∠D＝130°，
∴∠DAB＝180°﹣130°＝50°，
∴∠1＝∠DAB＝25°．
故选：B．
3．（3分）在学校的体育训练中，小杰投实心球的7次成绩就如统计图所示，则这7次成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．9.7m，9.8m B．9.7m，9.7m C．9.8m，9.9m D．9.8m，9.8m
【分析】将这7个数据从小到大排序后处在第4位的数是中位数，利用出现次数最多的数是众数找到众数即可．
【解答】解：把这7个数据从小到大排列处于第4位的数是9.7m，因此中位数是9.7m，
9.7m出现了2次，最多，
所以众数为9.7m，
故选：B．
4．（3分）下列叙述，错误的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线相等的四边形是矩形
【分析】根据菱形的判定方法，矩形的判定方法，正方形的判定方法，平行四边形的判定方法分别分析即可得出答案．
【解答】解：
A、根据对角线互相垂直的平行四边形可判定为菱形，再有对角线且相等可判定为正方形，故此选项正确，不符合题意；
B、根据菱形的判定方法可得对角线互相垂直平分的四边形是菱形正确，故此选项正确，不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形是判断平行四边形的重要方法之一，故此选项正确，不符合题意；
D、根据矩形的判定方法：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，因此只有对角线相等的四边形不能判定是矩形，故此选项错误，符合题意；
故选：D．
5．（3分）抛物线y＝5（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
【分析】由于抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），由此即可求解．
【解答】解：∵抛物线y＝5（x﹣2）2﹣3，
∴顶点坐标为：（2，﹣3）．
故选：A．
6．（3分）要从甲、乙、丙三名学生中选出一名学生参加数学竞赛，对这三名学生进行了10次数学测试，经过数据分析，3人的平均成绩均为92分，甲的方差为0.015，乙的方差为0.08，丙的方差为0.024，则这10次测试成绩比较稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定
【分析】方差是反映数据离散程度的统计量，方差越小，离散程度越小，就越稳定．
【解答】解：∵3人的平均成绩均为92分，甲的方差为0.015＜丙的方差为0.024＜乙的方差为0.08，
∴甲这10次测试成绩比较稳定，
故选：A．
7．（3分）如果关于x的方程x2+2x+m＝0有实数根，那么m的取值范围是（ ）
A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1
【分析】由关于x的方程x2+2x+m＝0有实数根知△＝b2﹣4ac≥0，据此求解可得．
【解答】解：根据题意知△＝22﹣4m≥0，
解得m≤1，
故选：B．
8．（3分）如图，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S1＝36，S2＝64，则S3＝（ ）
A．8 B．10 C．80 D．100
【分析】由正方形的面积公式可知S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BC2，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+AB2＝BC2，即S1+S2＝S3，由此可求S3．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，
又由正方形面积公式得S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BC2，
∴S3＝S1+S2＝36+64＝100．
故选：D．
9．（3分）如图，直线y＝kx+b与坐标轴的两交点分别为A（2，0）和B（0，﹣3），则不等式kx+b+3≤0的解集为（ ）
A．x≤0 B．x≥0 C．x≥2 D．x≤2
【分析】从图象上知，直线y＝kx+b的函数值y随x的增大而增大，与y轴的交点为B（0，﹣3），即当x＝0时，y＝﹣3，由图象可看出，不等式kx+b+3≤0的解集是x≤0．
【解答】解：由kx+b+3≤0得kx+b≤﹣3，
直线y＝kx+b与y轴的交点为B（0，﹣3），
即当x＝0时，y＝﹣3，
由图象可看出，不等式kx+b+3≤0的解集是x≤0．
故选：A．
10．（3分）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a+b+c＝0且a﹣b+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0的根是（ ）
A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定
【分析】由a+b+c＝0有：b＝﹣（a+c）代入方程可以得到一个根是1；
由a﹣b+c＝0有：b＝a+c代入方程可以得到一个根是﹣1．
【解答】解：∵a+b+c＝0，
∴b＝﹣（a+c） ①
把①代入方程有：ax2﹣（a+c）x+c＝0，
ax2﹣ax﹣cx+c＝0，
ax（x﹣1）﹣c（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（ax﹣c）＝0．
∴x1＝1，x2＝．
∵a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c②
把②代入方程有：ax2+（a+c）x+c＝0，
ax2+ax+cx+c＝0，
ax（x+1）+c（x+1）＝0，
（x+1）（ax+c）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣．
∴方程的根是1和﹣1．
故选：C．
11．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，2），B（2，3），y＝ax2的图象如图所示，则a的值可以为（ ）
A．0.7 B．0.9 C．2 D．2.1
【分析】利用x＝﹣1时，y＜2和当x＝2时，y＞3得到a的范围，然后对各选项进行判断．
【解答】解：∵x＝﹣1时，y＜2，即a＜2；
当x＝2时，y＞3，即4a＞3，解得a＞，
所以＜a＜2．
故选：B．
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，AE＝5，且EO＝2BE，则OA的长为（ ）
A． B． C．3 D．
【分析】由矩形的性质可得AC＝BD，AO＝CO＝BO＝DO，由勾股定理可求BE的长，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝CO＝BO＝DO，
∵EO＝2BE，
∴BO＝3BE＝OA，
∵AE2+EO2＝AO2，
∴25+4BE2＝9BE2，
∴BE＝，
∴OA＝3BE＝3，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）方程x2＝2020x的两根之和是 2020 ．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求得．
【解答】解：方程化为一般式：x2﹣2020x＝0，
设方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝2020，
故答案为2020．
14．（3分）若二次函数y＝x2﹣4x+c的图象经过点（0，3），则函数y的最小值是 ﹣1 ．
【分析】根据待定系数法求得c的值，然后把一般式化成顶点式，根据二次函数的性质即可求得．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+c的图象经过点（0，3），
∴c＝3，
∴二次函数为y＝x2﹣4x+3，
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴函数y的最小值是﹣1，
故答案为﹣1．
15．（3分）等腰直角三角形斜边上的高为1cm，则这个三角形的周长为 （2+2） cm．
【分析】由等腰直角三角形的性质求出斜边长和直角边长，即可得出答案．
【解答】解：∵等腰直角三角形斜边上的高为1cm，也是斜边上的中线，
∴等腰直角三角形的斜边长＝2cm，
∴等腰直角三角形的直角边长＝×2＝（cm），
∴这个等腰直角三角形的周长为2+2（cm），
故答案为：（2+2）．
16．（3分）要得到函数y＝2（x﹣1）2+3的图象，可以将函数y＝2x2的图象向 右 平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度．
【分析】分别求出两个二次函数的顶点坐标，然后根据顶点的变化解答．
【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标是（0，0），抛物线线y＝2（ x﹣1）2+3的顶点坐标是（1，3），
所以将顶点（0，0）向右平移1个单位，再向是平移3个单位得到顶点（1，3），
即将将函数y＝2x2的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到函数y＝2（x﹣1）2+3的图象．
故答案为右．
17．（3分）如图，▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，BC＝5，AB＝4，AE＝3，则AF的长为 ．
【分析】平行四边形的面积＝底×高，根据已知，代入数据计算即可．
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SSS），
∴S△ABC＝S△CDA，
即BC•AE＝CD•AF，
∵CD＝AB＝4，
∴AF＝．
故答案为：．
18．（3分）疫情期间，学校利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米）搭建一个矩形临时隔离点ABCD，如图所示，它的另外三边所围的总长度是10米，矩形隔离点的面积为12平方米，则AB的长度是 3 米．
【分析】根据临时隔离点ABCD总长度是10米，AB＝x米，则BC＝（10﹣2x）米，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．
【解答】解：设AB＝x米，则BC＝（10﹣2x）米，
根据题意可得，x（10﹣2x）＝12，
解得x1＝3，x2＝2（舍去），
∴AB的长为3米．
故答案为：3．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分）
19．（6分）解方程：（x﹣1）（x+3）＝5．
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：x2+2x﹣8＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x+4）＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣4．
20．（6分）如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米（先画出示意图，然后再求解）．
【分析】根据题意画出图形，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．
【解答】解：如图所示，过D点作DE⊥AB，垂足为E
∵AB＝13，CD＝8
又∵BE＝CD，DE＝BC
∴AE＝AB﹣BE＝AB﹣CD＝13﹣8＝5
∴在Rt△ADE中，DE＝BC＝12
∴AD2＝AE2+DE2＝122+52＝144+25＝169
∴AD＝13（负值舍去）
答：小鸟飞行的最短路程为13m．
21．（8分）已知直线l：y＝kx+b与直线y＝2x平行，且直线l过点（2，8）．
（1）求直线l的解析式；
（2）求直线l与x轴的交点坐标．
【分析】先根据直线平行的性质得到k＝2，再把（2，8）代入y＝3x+b求出b，从而得到直线解析式，然后计算函数值为0所对应的自变量的值即可得到直线与x轴的交点坐标．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b和直线y＝2x平行，
∴k＝2，
把（2，8）代入y＝2x+b得8＝4+b，解得b＝4，
∴直线解析式为y＝2x+4，
（2）当y＝0时，2x+4＝0，解得x＝﹣2，
∴直线l与x轴的交点坐标为（﹣2，0）．
22．（8分）某学校对初中毕业班经过初步比较后，决定从九年级（1）、（4）、（8）班这三个班中推荐一个班为市级先进班集体的候选班，现对这三个班进行综合考评，下表是它们五项考评的得分表（以分为单位，每项满分为10分）：
班级
行为规范
学习成绩
校运动会
艺术获奖
劳动卫生
九（1）班
10
10
6
10
7
九（4）班
10
8
8
9
8
九（8）班
9
10
9
6
9
（1）请问各班五项考评分的平均数能不能反映三个班的考评结果的差异？
（2）若根据五个项目的重要程度，行为规范、学习成绩、校运动会、艺术获奖、劳动卫生各项考评内容的占分比例为3：3：2：1：1，按这个比例对各班的得分重新计算，并从中推荐一个得分最高的班作为市级先进班集体的候选班．
【分析】（1）根据平均数的公式求得各班的平均数，从而得出平均数不能反映三个班的考评结果的差异；
（2）根据五个项目的重要程度，即加权后计算三个班的得分，再比较，即可得出答案．
【解答】解：（1）设P1，P4，P8顺次为3个班考评分的平均数，
则P1＝（10+10+6+10+7）＝8.6（分），
P4＝（10+8+8+9+8）＝8.6（分），
P8＝（9+10+9+6+9）＝8.6（分），
所以平均数不能反映这三个班的考评结果的差异；
（2）设k1、k4、k8顺次为3个班的考评分，则：
k1＝0.3×10+0.3×10+0.2×6+0.1×10+0.1×7＝8.9，
k4＝0.3×10+0.3×8+0.2×8+0.1×9+0.1×8＝8.7，
k8＝0.3×9+0.3×10+0.2×9+0.1×6+0.1×9＝9，
因为k8＞k1＞k4，所以推荐九（8）班作为市级先进班集体的候选班．
23．（9分）关于x的方程有两个不相等的实数根
（1）求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用方程有两根不相等的实数根可以得到，解得m的取值范围即可；
（2）假设存在，然后利用根的判别式求得m的值，根据m的值是否能使得一元二次方程有实数根作出判断即可．
【解答】解：（1）由，得m＞﹣1
又∵m≠0
∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠0；（5分）
（2）不存在符合条件的实数m．（6分）
设方程两根为x1，x2则，
解得m＝﹣2，此时△＜0．
∴原方程无解，故不存在．（12分）
24．（9分）如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F
（1）求证：四边形BEDF为菱形；
（2）如果∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝12，求EF的长
【分析】（1）根据平行四边形的和菱形的判定证明即可；
（2）根据含30°的直角三角形的性质和勾股定理解答即可．
【解答】证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBD＝∠DBF，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝ED，
∴平行四边形BFDE是菱形；
解：（2）连接EF，交BD于O，
∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝30°．
由（1）知，平行四边形BFDE是菱形，则EF⊥BD，BO＝OD＝6．
∴EO＝BE．
由勾股定理得到：BE2＝62+EO2，即4EO2＝62+EO2．
解得：EO＝2．
所以EF＝4．
25．（10分）如图（1）所示，在A、B两地间有一车站C，一辆汽车从A地出发经C站匀速驶往B地，如图（2）是汽车行驶时离C站的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系的图象．
（1）求图中a的值以及AB两地的距离；
（2）求线段PM、MN所对应的函数表达式；
（3）求行驶时间x在什么范围时，小汽车离车站C的路程不超过60千米？
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以求得a的值和AB两地的距离；
（2）根据（1）中的a的值和函数图象中的数据，可以求得线段PM、MN所对应的函数表达式；
（3）根据（2）中的函数解析式，可以得到相应的不等式，从而可以得到行驶时间x在什么范围时，小汽车离车站C的路程不超过60千米．
【解答】解：（1）汽车的速度为：150÷2.5＝60（km/h），
a＝60×（6.5﹣2.5）＝240，
AB两地的距离是：150+240＝390（km），
即a的值是240，AB两地的距离是390km；
（2）设线段PM对应的函数解析式为y＝kx+b，
∵点（0，150），（2.5，0）在线段PM上，
∴，解得，，
即线段PM对应的函数解析式为y＝﹣60x+150，
设线段MN对应的函数解析式为y＝ax+c，
，解得，，
即线段MN对应的函数解析式为y＝60x﹣150；
（3）当﹣60x+150≤60时，
解得，x≥1.5，
当60x﹣150≤60时，
解得，x≤3.5，
即行驶时间1.5≤x≤3.5时，小汽车离车站C的路程不超过60千米．
26．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C （0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧抛物线上找一点P，使得P、D、C构成以PC为底边的等腰三角形，求出点P的坐标及此时四边形PBCD的面积．
【分析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入二次函数y＝ax2+bx﹣3a求得a、b的值即可确定二次函数的解析式；
（2）分别求得线段BC、CD、BD的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可；
（3）由抛物线的对称性和等腰三角形的性质可求点P坐标，由面积的和差关系可求解．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C （0，3），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4），
∵y＝﹣x2+2x+3与x轴交于另一点B，
∴令y＝0，﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴CD＝＝，
BC＝＝3，
BD＝＝2，
∵CD2+BC2＝（）2+（3）2＝20，BD2＝（2）2＝20，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形；
（3）如图，
∵P、D、C构成以PC为底边的等腰三角形，
∴点D在PC的垂直平分线上，
∴点C与点P关于对称轴直线x＝1对称，
∴点P的坐标为（2，3），
∵S四边形PBCD＝S△DCP+S△CBP，
∴S四边形PBCD＝×2×（4﹣3）+×2×3＝4．
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