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    2019-2020学年福建省泉州市惠安县七年级(下)期末数学试卷

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    2019-2020学年福建省泉州市惠安县七年级(下)期末数学试卷
    一.选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有-项是符合题目要求的.
    1.(4分)方程2x=﹣4的解是(  )
    A.x=2 B.x=﹣2 C.x=﹣ D.x=﹣6
    2.(4分)把不等式2x﹣1>﹣5的解集在数轴上表示,正确的是(  )
    A.
    B.
    C.
    D.
    3.(4分)下面的图形是用数学家名字命名的,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )
    A.赵爽弦图 B.笛卡尔心形线
    C.科克曲线 D.斐波那契螺旋线
    4.(4分)若a>b,则下列不等式不一定成立的是(  )
    A.a+3>b+3 B.﹣2a<﹣2b C.> D.a2>b2
    5.(4分)正n边形的每个内角都是140°,则n为(  )
    A.7 B.8 C.9 D.10
    6.(4分)如图,在△ABC中,∠BAC=55°,∠C=20°,将△ABC绕点A逆时针旋转α角度(0<α<180°)得到△ADE,若DE∥AB,则α的值为(  )

    A.65° B.75° C.85° D.130°
    7.(4分)一个三角形三个内角的度数之比为3:4:5,这个三角形一定是(  )
    A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
    8.(4分)某书店把一本新书按标价的八折出售,仍可获利10%,若该书的进价为24元,则标价为(  )
    A.30元 B.31元 C.32元 D.33元
    9.(4分)利用边长相等的正三角形和正六边形地砖能够铺满地板,若在每个顶点处有a块正三角形和b块正六边形(a>b>0),则a+b的值为(  )
    A.4 B.5 C.6 D.7
    10.(4分)已知关于x的不等式3x﹣2a<4﹣5x有且仅有三个正整数解,则满足条件的整数a的个数是(  )
    A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
    二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.
    11.(4分)已知关于x的方程4x﹣a=3的解是x=2,则a=   .
    12.(4分)画出一个正五边形的所有对角线,共有   条.
    13.(4分)七边形的内角和等于   度.
    14.(4分)如图,△ABC≌△ADE,且点E在BC上,若∠DAB=30°,则∠CED=   .

    15.(4分)如图,在△ABC中,点D是BC的中点,点E是AC上一点,EC=2AE,已知S△ABC=24,那么S四边形DCEF=   .

    16.(4分)某顾客到商场购买甲、乙、丙三种款式服装.若购买甲4件,乙7件,丙1件共需450元;若购买甲5件,乙9件,丙1件共需520元,则该顾客购买甲、乙、丙各一件共需   元.
    三、解答题:本题共9小题,共86分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    17.(8分)解方程:20﹣3(x+4)=2(x﹣1).
    18.(8分)解方程组:.
    19.(8分)解不等式组:并把它的解集在数轴上表示出来.

    20.(8分)某学校现有若干间学生宿舍,准备安排给若干名学生住宿.原计划每间住8人,则有10间宿舍无人居住.由于疫情防控需要,每间宿舍只能住5人,则有10人无法入住.问该校现有多少间学生宿舍?
    21.(8分)已知:如图1,在△ABC中,CD是AB边上的高,∠A=∠DCB.
    (1)试说明∠ACB=90°;
    (2)如图2,如果AE是角平分线,AE、CD相交于点F.那么∠CFE与∠CEF的大小相等吗?请说明理由.

    22.(10分)如图,在8×5的方格图(每个小正方形边长为1个单位长度)中,点A、B、C均在格点上.请按下面要求画出图形,(不写画法,但应保留画图痕迹)
    (1)将△ABC向右平移2个单位长度,得到△A1B1C1,并写出线段AA1和CC1的关系;
    (2)在线段A1C1上找到一点M,使得△B1MC的周长最小.

    23.(10分)如图,四边形ABCD是正方形,△ADE旋转后能与△ABF重合.
    (1)判断△AEF的形状,试说明理由;
    (2)若CF=7,CE=3,求四边形AECF的面积.

    24.(12分)某中学为了加强学生体育锻炼,准备购进一批篮球和足球.据调查,某体育器材专卖店销售40个足球和60个篮球一共9200元;销售100个足球和30个篮球一共11000元.
    (1)求足球和篮球的单价;
    (2)该校计划使用10420元资金用于购买足球和篮球120个,且篮球数量不少于足球数量的2倍.购买时恰逢该专卖店在做优惠活动,信息如表:
    球类
    购买数量低于50个
    购买数量不低于50个
    足球
    原价销售
    八折销售
    篮球
    原价销售
    九折销售
    问在使用资金不超额的情况下,可有几种购买方案?如何购买费用最少?
    25.(14分)在△ABC中,∠ACB的平分线CD与外角∠EAC的平分线AF所在的直线交于点D.
    (1)如图1,若∠B=60°,求∠D的度数;
    (2)如图2,把△ACD沿AC翻折,点D落在D′处.
    ①当AD′⊥AD时,求∠BAC的度数;
    ②试确定∠DAD′与∠BAC的数量关系,并说明理由.


    2019-2020学年福建省泉州市惠安县七年级(下)期末数学试卷
    参考答案与试题解析
    一.选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有-项是符合题目要求的.
    1.(4分)方程2x=﹣4的解是(  )
    A.x=2 B.x=﹣2 C.x=﹣ D.x=﹣6
    【分析】把x系数化为1,即可求出解.
    【解答】解:方程2x=﹣4,
    解得:x=﹣2.
    故选:B.
    2.(4分)把不等式2x﹣1>﹣5的解集在数轴上表示,正确的是(  )
    A.
    B.
    C.
    D.
    【分析】按照移项,合并,系数化为1的方法计算即可.
    【解答】解:移项得:2x>1﹣5,
    合并得:2x>﹣4,
    解得:x>﹣2,
    故选:C.
    3.(4分)下面的图形是用数学家名字命名的,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )
    A.赵爽弦图 B.笛卡尔心形线
    C.科克曲线 D.斐波那契螺旋线
    【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心;如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析即可.
    【解答】解:A、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误;
    B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;
    C、是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项正确;
    D、不是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;
    故选:C.
    4.(4分)若a>b,则下列不等式不一定成立的是(  )
    A.a+3>b+3 B.﹣2a<﹣2b C.> D.a2>b2
    【分析】根据不等式的性质逐个判断即可.
    【解答】解:A.∵a>b,
    ∴a+3>b+3,故本选项不符合题意;
    B.∵a>b,
    ∴﹣2a<﹣2b,故本选项不符合题意;
    C.∵a>b,
    ∴,故本选项不符合题意;
    D.当a=1,b=﹣2时,满足a>b,但是此时a2<b2,故本选项符合题意;
    故选:D.
    5.(4分)正n边形的每个内角都是140°,则n为(  )
    A.7 B.8 C.9 D.10
    【分析】根据多边形每个内角与其相邻的内角互补,则正n边形的每个外角的度数=180°﹣140°=40°,然后根据多边形的外角和为360°即可得到n的值.
    【解答】解:∵正n边形的每个内角都是140°,
    ∴正n边形的每个外角的度数=180°﹣140°=40°,
    ∴n==9.
    故选:C.
    6.(4分)如图,在△ABC中,∠BAC=55°,∠C=20°,将△ABC绕点A逆时针旋转α角度(0<α<180°)得到△ADE,若DE∥AB,则α的值为(  )

    A.65° B.75° C.85° D.130°
    【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC,根据旋转得出∠EDA=∠ABC=105°,根据平行线的性质求出∠DAB即可.
    【解答】解:∵在△ABC中,∠BAC=55°,∠C=20°,
    ∴∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠C═180°﹣55°﹣20°=105°,
    ∵将△ABC绕点A逆时针旋转α角度(0<α<180°)得到△ADE,
    ∴∠ADE=∠ABC=105°,
    ∵DE∥AB,
    ∴∠ADE+∠DAB=180°,
    ∴∠DAB=180°﹣∠ADE=75°
    ∴旋转角α的度数是75°,
    故选:B.
    7.(4分)一个三角形三个内角的度数之比为3:4:5,这个三角形一定是(  )
    A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
    【分析】由题意知:把这个三角形的内角和180°平均分了12份,最大角占总和的,根据分数乘法的意义求出三角形最大内角即可.
    【解答】解:因为3+4+5=12,
    5÷12=,
    180°×=75°,
    所以这个三角形里最大的角是锐角,
    所以另两个角也是锐角,
    三个角都是锐角的三角形是锐角三角形,
    所以这个三角形是锐角三角形.
    故选:A.
    8.(4分)某书店把一本新书按标价的八折出售,仍可获利10%,若该书的进价为24元,则标价为(  )
    A.30元 B.31元 C.32元 D.33元
    【分析】设这本新书的标价为x元,根据利润=售价﹣进价,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论.
    【解答】解:设这本新书的标价为x元,
    依题意得:0.8x﹣24=24×10%,
    解得:x=33.
    故选:D.
    9.(4分)利用边长相等的正三角形和正六边形地砖能够铺满地板,若在每个顶点处有a块正三角形和b块正六边形(a>b>0),则a+b的值为(  )
    A.4 B.5 C.6 D.7
    【分析】正多边形的组合能否进行平面镶嵌,关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°.若能,则说明可以进行平面镶嵌;反之,则说明不能进行平面镶嵌.
    【解答】解:∵正三边形和正六边形内角分别为60°、120°,
    60°×4+120°=360°,或60°×2+120°×2=360°,
    ∴a=4,b=1或a=2,b=2,
    ∵a>b>0,
    ∴a=4,b=1,
    ∴a+b=4+1=5,
    故选:B.
    10.(4分)已知关于x的不等式3x﹣2a<4﹣5x有且仅有三个正整数解,则满足条件的整数a的个数是(  )
    A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
    【分析】先求出不等式的解集,根据不等式的整数解得出关于a的不等式组,求出不等式组的解集,再求出整数a即可.
    【解答】解:解不等式3x﹣2a<4﹣5x得:x<,
    ∵关于x的不等式3x﹣2a<4﹣5x有且仅有三个正整数解,是1,2,3,
    ∴3<≤4,
    解得:10<a≤14,
    ∴整数a可以是11,12,13,14,共4个,
    故选:B.
    二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.
    11.(4分)已知关于x的方程4x﹣a=3的解是x=2,则a= 5 .
    【分析】直接把x的值进而代入求出答案.
    【解答】解:∵关于x的方程4x﹣a=3的解是x=2,
    ∴8﹣a=3,
    解得:a=5.
    故答案为:5.
    12.(4分)画出一个正五边形的所有对角线,共有 5 条.
    【分析】根据求多边形对角线的公式解答即可.
    【解答】解:如图所示:
    五边形的对角线共有=5(条).
    故答案为:5.

    13.(4分)七边形的内角和等于 900 度.
    【分析】n边形的内角和是(n﹣2)•180°,把多边形的边数代入公式,就得到多边形的内角和.
    【解答】解:(7﹣2)•180=900度,则七边形的内角和等于900度.
    14.(4分)如图,△ABC≌△ADE,且点E在BC上,若∠DAB=30°,则∠CED= 150° .

    【分析】根据全等三角形的性质得到∠B=∠D,根据对顶角相等得到∠BHE=∠DHA,求出∠BED,根据邻补角的定义计算,得到答案.
    【解答】解:∵△ABC≌△ADE,
    ∴∠B=∠D,
    ∵∠BHE=∠DHA,
    ∴∠BED=∠DAB=30°,
    ∴∠CED=180°﹣∠BED=150°,
    故答案为:150°.

    15.(4分)如图,在△ABC中,点D是BC的中点,点E是AC上一点,EC=2AE,已知S△ABC=24,那么S四边形DCEF= 10 .

    【分析】作DK∥AC,交BE于K,连接CF,利用三角形中位线定理可得KD=EC=AE,可证明△KDF≌△EAF,得到DF=AF,因为△ABC的面积为24,所以S△ADC=12,S△AFC=S△DFC=6,因为S△AEF=S△AFC=2,根据四边形CDFE的面积=S△ADC﹣S△AEF,即可得出四边形CDFE的面积.
    【解答】解:如图,作DK∥AC,交BE于K,连接CF,
    ∴∠KDF=∠EAF,∠DKF=∠AEF,
    ∵点D是BC的中点,EC=2AE,
    ∴KD=EC=AE,
    在△KDF和△EAF中

    ∴△KDF≌△EAF(ASA),
    ∴DF=AF,
    ∵△ABC的面积为24,
    ∴S△ADC=12,
    ∴S△AFC=S△DFC=6,
    ∵S△AEF=S△AFC=2,
    ∴S四边形DCEF=S△ADC﹣S△AEF=12﹣2=10.
    故答案为:10.

    16.(4分)某顾客到商场购买甲、乙、丙三种款式服装.若购买甲4件,乙7件,丙1件共需450元;若购买甲5件,乙9件,丙1件共需520元,则该顾客购买甲、乙、丙各一件共需 240 元.
    【分析】等量关系为:甲4件的总价+乙7件的总价+丙1件的总价=450,甲5件的总价+乙9件的总价+丙1件的总价=520,把相关数值代入,都整理为等式左边为x+y+z的等式,设法消去等号右边含未知数的项,可得甲、乙、丙各1件共需的费用.
    【解答】解:设购买甲、乙、丙各1件分别需要x,y,z元,
    依题意得,,
    由①×4﹣②×3得,x+y+z=240,
    即现在购买甲、乙、丙各1件,共需240元.
    故答案为:240.
    三、解答题:本题共9小题,共86分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    17.(8分)解方程:20﹣3(x+4)=2(x﹣1).
    【分析】通过去括号,移项,合并同类项,系数化成“1”,进行解答.
    【解答】解:20﹣3x﹣12=2x﹣2,
    ﹣3x﹣2x=﹣2﹣20+12,
    ﹣5x=﹣10,
    x=2.
    18.(8分)解方程组:.
    【分析】利用代入消元法解答即可.
    【解答】解:,
    将①代入②得,x+3(2x+1)=﹣11.
    解得x=﹣2,
    把x=﹣2代入①,得y=﹣3.
    ∴方程组的解为.
    19.(8分)解不等式组:并把它的解集在数轴上表示出来.

    【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.
    【解答】解:解不等式①,得:x≥2,
    解不等式②,得:x<3,
    则不等式组的解集为2≤x<3,
    将不等式组的解集表示在数轴上如下:

    20.(8分)某学校现有若干间学生宿舍,准备安排给若干名学生住宿.原计划每间住8人,则有10间宿舍无人居住.由于疫情防控需要,每间宿舍只能住5人,则有10人无法入住.问该校现有多少间学生宿舍?
    【分析】设该校现有x间学生宿舍,共安排y名学生住宿,根据“原计划每间住8人,则有10间宿舍无人居住.由于疫情防控需要,每间宿舍只能住5人,则有10人无法入住”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论.
    【解答】解:设该校现有x间学生宿舍,共安排y名学生住宿,
    依题意,得:,
    解得:.
    答:该校现有30间学生宿舍.
    21.(8分)已知:如图1,在△ABC中,CD是AB边上的高,∠A=∠DCB.
    (1)试说明∠ACB=90°;
    (2)如图2,如果AE是角平分线,AE、CD相交于点F.那么∠CFE与∠CEF的大小相等吗?请说明理由.

    【分析】(1)根据高定义求出∠CDA=90°,根据三角形内角和定理求出∠A+∠ACD=90°,再求出答案即可;
    (2)根据角平分线的定义得出∠CAE=∠BAE,根据三角形内角和定理求出∠CEF=∠DFA,根据对顶角相等求出即可.
    【解答】(1)解:∵CD是AB边上的高,
    ∴∠CDA=90°,
    ∴∠A+∠ACD=90°,
    ∵∠A=∠DCB,
    ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠A=90°;

    (2)解:∠CFE=∠CEF,
    理由是:∵AE平分∠CAB,
    ∴∠CAE=∠BAE,
    ∵∠CDA=∠BCA=90°,∠DFA=180°﹣(∠CDA+∠BAE),∠CEA=180°﹣(∠BCA+∠CAE),
    ∴∠CEF=∠DFA,
    ∵∠DFA=∠CFE,
    ∴∠CFE=∠CEF.
    22.(10分)如图,在8×5的方格图(每个小正方形边长为1个单位长度)中,点A、B、C均在格点上.请按下面要求画出图形,(不写画法,但应保留画图痕迹)
    (1)将△ABC向右平移2个单位长度,得到△A1B1C1,并写出线段AA1和CC1的关系;
    (2)在线段A1C1上找到一点M,使得△B1MC的周长最小.

    【分析】(1)首先确定A、B、C三点平移后的位置,再连接即可;
    (2)首先确定C关于A1C1的对称点C′,再连接B1C,与交A1C1的交点就是M点.
    【解答】解:(1)如图所示:△A1B1C1即为所求,
    AA1平行且等于CC1;

    (2)首先确定C关于A1C1的对称点C′,再连接B1C,交A1C1的点M,点M即为所求.

    23.(10分)如图,四边形ABCD是正方形,△ADE旋转后能与△ABF重合.
    (1)判断△AEF的形状,试说明理由;
    (2)若CF=7,CE=3,求四边形AECF的面积.

    【分析】(1)利用旋转的性质得到AE=AF,∠EAF=∠DAB=90°,则可判断△AEF为等腰直角三角形;
    (2)利用旋转的性质得到BF=DE,∠D=∠ABF=90°,则可判断F点在CB的延长线上,所以四边形AECF的面积=S正方形ABCD,再利用CB+BF=CB+DE=7,DE=CB﹣CE=CB﹣3可计算出BC的长,从而得到四边形AECF的面积.
    【解答】解:(1)△AEF为等腰直角三角形.
    理由如下:
    ∵四边形ABCD为正方形,
    ∴AD=AB,∠BAC=∠D=∠ABC=90°,
    ∵△ADE旋转后能与△ABF重合,
    ∴AE=AF,∠EAF=∠DAB=90°,
    ∴△AEF为等腰直角三角形;
    (2)∵△ADE旋转后能与△ABF重合,
    ∴BF=DE,∠D=∠ABF=90°,
    ∴∠ABC+∠ABF=90°,
    ∴F点在CB的延长线上,
    ∴四边形AECF的面积=S△ABF+S四边形AECB=S△ADE+S四边形AECB=S正方形ABCD,
    ∵CF=7,
    ∴CB+BF=CB+DE=7,
    而DE=CD﹣CE=CB﹣CE=CB﹣3,
    ∴CB+CB﹣3=7,解得CB=5,
    ∴四边形AECF的面积=S正方形ABCD=52=25.

    24.(12分)某中学为了加强学生体育锻炼,准备购进一批篮球和足球.据调查,某体育器材专卖店销售40个足球和60个篮球一共9200元;销售100个足球和30个篮球一共11000元.
    (1)求足球和篮球的单价;
    (2)该校计划使用10420元资金用于购买足球和篮球120个,且篮球数量不少于足球数量的2倍.购买时恰逢该专卖店在做优惠活动,信息如表:
    球类
    购买数量低于50个
    购买数量不低于50个
    足球
    原价销售
    八折销售
    篮球
    原价销售
    九折销售
    问在使用资金不超额的情况下,可有几种购买方案?如何购买费用最少?
    【分析】(1)利用二元一次方程组即可求出足球、篮球的单价,
    (2)设购买足球x个,则购买篮球(120﹣x)个,根据题意求出x的取值范围,再根据(1)的结论列不等式即可得出购买方案.
    【解答】解:(1)设足球每个x元,篮球每个y元,由题意得:

    解得,
    答:足球每个80元,篮球每个100元.

    (2)设购买足球x个,则购买篮球(120﹣x)个,根据题意得:
    120﹣x≥2x,
    解得x≤40,
    由题意得:80x+100×0.9(120﹣x)≤10420,
    解得x≥38,
    ∴38≤x≤40,
    ∵x为正整数,
    ∴有3种购买方案:①购买足球38个,篮球82个;②购买足球39个,篮球81个;③购买足球40个,篮球80个.
    ∵购买篮球的单价大于购买足球的单价,所以方案③购买费用最少.
    25.(14分)在△ABC中,∠ACB的平分线CD与外角∠EAC的平分线AF所在的直线交于点D.
    (1)如图1,若∠B=60°,求∠D的度数;
    (2)如图2,把△ACD沿AC翻折,点D落在D′处.
    ①当AD′⊥AD时,求∠BAC的度数;
    ②试确定∠DAD′与∠BAC的数量关系,并说明理由.

    【分析】(1)利用角平分线的定义和三角形的外角的性质进行代换可以得出∠B=2∠D,已知∠B=60°,可求∠D的度数;
    (2)①根据折叠,可得等角,再利用特殊角,和周角的意义可以计算出∠DAC的度数,再利用平角的意义,可求出∠CAF,进而得出∠BAC的度数;
    ②设∠DAD′为任意角度,通过折叠、外角、角平分线,平角等代换,得出∠DAD′与∠BAC的数量关系,即∠DAD′与∠BAC互补的结论.
    【解答】解:(1)如图1,
    ∵CD平分∠ACB,
    ∴∠ACD=∠DCB=∠ACB,
    ∵AF是外角∠EAC的平分线,
    ∴∠CAF=∠FAE=∠CAE,
    又∵∠CAF=∠D+∠ACD,
    ∠CAE=∠B+∠ACB,
    ∴∠D=∠B=30°;
    (2)如图2,又折叠得:∠DAC=∠D′AC,
    ①当AD′⊥AD时,即;∠DAD′=90°,
    ∴∠DAC=∠D′AC=135°,
    ∴∠CAF=180°﹣135°=45°=∠FAE,
    ∴∠BAC=180°﹣45°﹣45°=90°,
    答:当AD′⊥AD时,∠BAC=90°.
    ②设∠DAD′=α,则∠DAC=∠D′AC=(360°﹣α)=180°﹣α,
    ∴∠CAF=180°﹣∠DAC=180°﹣(180°﹣α)=α,
    ∴∠CAE=2∠CAF=α,
    ∴∠BAC=180°﹣α,
    即:∠BAC+∠DAD′=180°,
    答:∠DAD′与∠BAC的数量关系是:∠BAC+∠DAD′=180°.




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