高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆导学案及答案

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椭圆的几何性质


LISTNUM OutlineDefault \l 3 若直线y=kx＋2与椭圆eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)=1相切，则斜率k的值是( )


A.eq \f(\r(6),3) B.－eq \f(\r(6),3) C.±eq \f(\r(6),3) D.±eq \f(\r(3),3)








LISTNUM OutlineDefault \l 3 直线y=kx＋1与椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)=1总有公共点，则m的取值范围是( )


A.(1，＋∞) B.(0，＋∞)


C.(0,1)∪(1,5) D.[1,5)∪(5，＋∞)








LISTNUM OutlineDefault \l 3 经过椭圆eq \f(x2,2)＋y2=1的右焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，则eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))=( )


A.－3 B.－eq \f(1,3) C.－eq \f(1,3)或－3 D.±eq \f(1,3)








LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－eq \r(2)，0)，(eq \r(2)，0)，离心率是eq \f(\r(6),3)，则椭圆C的方程为( )


A.eq \f(x2,3)＋y2=1 B.x2＋eq \f(y2,3)=1 C.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)=1 D.eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,3)=1





LISTNUM OutlineDefault \l 3 设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为________.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于eq \f(1,2)，则C的方程是____________.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 椭圆x2＋4y2=16被直线y=eq \f(1,2)x＋1截得的弦长为________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的离心率是eq \f(\r(6),3)，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2的值为________.





























LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知椭圆x2＋(m＋3)y2=m(m>0)的离心率e=eq \f(\r(3),2)，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.






































LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，以P(0，-1)为直角顶点的等腰直角△PMN内接于椭圆eq \f(x2,a2)＋y2=1(a>1)，设直线PM的斜率为k.





(1)试用a，k表示弦长|MN|；


(2)若这样的△PMN存在3个，求实数a的取值范围．
























































答案解析


LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 答案为：C；


解析：把y=kx＋2代入eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)=1得，(3k2＋2)x2＋12kx＋6=0，


因为直线与椭圆相切，∴Δ=(12k)2－4(3k2＋2)×6=0，解得k=±eq \f(\r(6),3).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；


解析：∵直线y=kx＋1恒过(0,1)点，若5＞m，则eq \r(m)≥1，


若5＜m，则必有公共点，∴m≥1且m≠5.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；


解析：椭圆右焦点为(1,0)，


设l：y=x－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))=x1x2＋y1y2.


把y=x－1代入eq \f(x2,2)＋y2=1得，3x2－4x=0.∴A(0，－1)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(1,3))).∴eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))=－eq \f(1,3).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A；


解析：∵eq \f(c,a)=eq \f(\r(6),3)，且c=eq \r(2)，∴a=eq \r(3)，b=eq \r(a2－c2)=1.∴椭圆方程为eq \f(x2,3)＋y2=1.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：eq \f(\r(3),3)


解析：法一：由题意可设|PF2|=m，结合条件可知|PF1|=2m，|F1F2|=eq \r(3)m，故离心率e=eq \f(c,a)=eq \f(2c,2a)=eq \f(|F1F2|,|PF1|＋|PF2|)=eq \f(\r(3)m,2m＋m)=eq \f(\r(3),3).


法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x=c代入椭圆方程可解得y=±eq \f(b2,a)，所以|PF2|=eq \f(b2,a).


又由∠PF1F2=30°可得|F1F2|=eq \r(3)|PF2|，故2c=eq \r(3)·eq \f(b2,a)，变形可得eq \r(3)(a2－c2)=2ac，


等式两边同除以a2，得eq \r(3)(1－e2)=2e，解得e=eq \f(\r(3),3)或e=－eq \r(3)(舍去).


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)=1


解析：依题意，设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝1，,\f(c,a)＝\f(1,2)，,c2＝a2－b2，))解得a2=4，b2=3.











LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：eq \r(35)；


解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋4y2＝16，,y＝\f(1,2)x＋1，))消去y并化简得x2＋2x－6=0.


设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2=－2，x1x2=－6.


∴弦长|MN|=eq \r(1＋k2)|x1－x2|= eq \r(\f(5,4)[x1＋x22－4x1x2])= eq \r(\f(5,4)4＋24)=eq \r(35).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：－eq \f(1,3)


解析：设点M(x，y)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，则y2=b2－eq \f(b2x2,a2)，yeq \\al(2,1)=b2－eq \f(b2x\\al(2,1),a2).


所以k1·k2=eq \f(y－y1,x－x1)·eq \f(y＋y1,x＋x1)=eq \f(y2－y\\al(2,1),x2－x\\al(2,1))=－eq \f(b2,a2)=eq \f(c2,a2)－1=e2－1=－eq \f(1,3)，即k1·k2的值为－eq \f(1,3).


LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


椭圆方程可化为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,\f(m,m＋3))=1，


由m>0，易知m>eq \f(m,m＋3)，∴a2=m，b2=eq \f(m,m＋3).


∴c=eq \r(a2－b2)=eq \r(\f(mm＋2,m＋3)).由e=eq \f(\r(3),2)，得 eq \r(\f(m＋2,m＋3))=eq \f(\r(3),2)，解得m=1，


∴椭圆的标准方程为x2＋eq \f(y2,\f(1,4))=1.∴a=1，b=eq \f(1,2)，c=eq \f(\r(3),2).


∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，


两焦点坐标分别为F1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，0))，F2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，0))，


顶点坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)))，B2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


(1)不妨设直线PM所在的直线方程为y=kx-1(k<0)，代入椭圆方程eq \f(x2,a2)＋y2=1，


整理得(1＋a2k2)x2-2ka2x=0，解得x1=0，x2=eq \f(2ka2,1＋a2k2)，


则|PM|=eq \r(1＋k2)|x1-x2|=-eq \f(2ka2\r(1＋k2),1＋a2k2)，所以|MN|=eq \r(2)|PM|=-eq \f(2\r(2)ka2\r(1＋k2),1＋a2k2).


(2)因为△PMN是等腰直角三角形，


所以直线PN所在的直线方程为y=-eq \f(1,k)x-1(k<0)，


同理可得|PN|=-eq \f(2\f(1,k)a2\r(1＋\f(1,k2)),1＋a2\f(1,k2))=eq \f(2a2\r(1＋k2),k2＋a2).


令|PM|=|PN|，整理得k3＋a2k2＋a2k＋1=0，


k3＋1＋a2k(k＋1)=0，


(k＋1)(k2-k＋1)＋a2k(k＋1)=0，


即(k＋1)[k2＋(a2-1)k＋1]=0.


若这样的等腰直角三角形PMN存在3个，


则方程k2＋(a2-1)k＋1=0有两个不等于-1的负根k1，k2，


则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝a2－12－4>0，,k1＋k2＝1－a2<0，,k1k2＝1>0，,1－a2－1＋1≠0，))


因为a>1，所以a>eq \r(3).