高中人教A版 (2019)3.2 双曲线导学案

这是一份高中人教A版 (2019)3.2 双曲线导学案，共4页。学案主要包含了\r2)))=8，等内容，欢迎下载使用。

双曲线的标准方程


LISTNUM OutlineDefault \l 3 双曲线eq \f(x2,m)-y2=1的焦点到渐近线的距离为( )


A．eq \r(2) B．eq \r(3) C．1 D．eq \f(1,2)








LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知双曲线C：eq \f(y2,a2)-eq \f(x2,b2)=1(a>0，b>0)的渐近线方程为y=±eq \f(1,2)x，则双曲线C的离心率为( )


A．eq \f(\r(5),2) B．eq \r(5) C．eq \f(\r(6),2) D．eq \r(6)








LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知双曲线C：eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为( )


A．eq \f(x2,20)-eq \f(y2,5)=1 B．eq \f(x2,5)-eq \f(y2,20)=1 C．eq \f(x2,80)-eq \f(y2,20)=1 D．eq \f(x2,20)-eq \f(y2,80)=1








LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知F1，F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，若|PF1|＋|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为eq \f(π,6)，则双曲线的渐近线方程为( )


A．y=±2x B．y=±eq \f(1,2)x C．y=±eq \f(\r(2),2)x D．y=±eq \r(2)x





LISTNUM OutlineDefault \l 3 双曲线eq \f(x2,25)－eq \f(y2,24)=1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,a2)=1与双曲线eq \f(x2,a)－eq \f(y2,2)=1有相同的焦点，则实数a=________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知双曲线C：eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0)的离心率e=2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C的方程为________．





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,2)=1(a＞0)和抛物线y2=8x有相同的焦点，则双曲线的离心率为________．


























LISTNUM OutlineDefault \l 3 求适合下列条件的双曲线的标准方程：


(1)以椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)=1的长轴端点为焦点，且经过点P(5，eq \f(9,4))；


(2)过点P1(3，－4 eq \r(2))，P2(eq \f(9,4)，5).












































LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，在△ABC中，已知|AB|=4 eq \r(2)，且三内角A，B，C满足2sin A＋sin C=2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程.





























答案解析


LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 答案为：C；


解析：焦点F(eq \r(m＋1)，0)到渐近线x±eq \r(m)y=0的距离d=eq \f(|\r(m＋1)±0|,\r(1＋\r(m)2))=1，故选C．








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B


解析：由题意可得eq \f(a,b)=eq \f(1,2)，则离心率e=eq \f(c,a)=eq \r(1＋\f(b,a)2)=eq \r(5)，故选B．








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A；


解析：∵eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1的焦距为10，∴c=5=eq \r(a2＋b2)．①


又双曲线渐近线方程为y=±eq \f(b,a)x，且P(2，1)在渐近线上，∴eq \f(2b,a)=1，即a=2b．②


由①②解得a=2eq \r(5)，b=eq \r(5)，则C的方程为eq \f(x2,20)-eq \f(y2,5)=1．故选A．








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；


解析：


不妨设P为双曲线右支上一点，则|PF1|>|PF2|，由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a，


又|PF1|＋|PF2|=6a，所以|PF1|=4a，|PF2|=2a．又因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2c>2a，,4a>2a，))所以∠PF1F2为最小内角，


故∠PF1F2=eq \f(π,6)．由余弦定理，可得eq \f(4a2＋2c2－2a2,2·4a·2c)=eq \f(\r(3),2)，c2=3a2，b2=c2-a2=2a2⇒eq \f(b,a)=eq \r(2)，


所以双曲线的渐近线方程为y=±eq \r(2)x，故选D．





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：21


解析：设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，不妨设PF1=11，


根据双曲线的定义知|PF1－PF2|=2a=10，∴PF2=1或PF2=21，


而F1F2=14，∴当PF2=1时，1＋11<14(舍去)，


∴PF2=21.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：1


解析：由双曲线eq \f(x2,a)－eq \f(y2,2)=1可知a>0，且焦点在x轴上，


根据题意知4－a2=a＋2，即a2＋a－2=0，解得a=1或a=－2(舍去).


故实数a=1.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：x2-eq \f(y2,3)=1；


解析：由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c－a＝1，,\f(c,a)＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,c＝2，))则b=eq \r(3)，故所求方程为x2-eq \f(y2,3)=1．











LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：eq \r(2)；


解析：易知抛物线y2=8x的焦点为(2,0)，所以双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,2)=1的焦点为(2,0)，


则a2＋2=22，即a=eq \r(2)，所以双曲线的离心率e=eq \f(c,a)=eq \f(2,\r(2))=eq \r(2).





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


(1)因为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)=1的长轴端点为A1(－5,0)，A2(5,0)，


所以所求双曲线的焦点为F1(－5,0)，F2(5,0).


由双曲线的定义知，|PF1－PF2|


=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\r(5＋52＋\f(9,4)－02)－ \r(5－52＋\f(9,4)－02)))=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1( \r(\f(41,4)2)－ \r(\f(9,4)2)))=8，


即2a=8，则a=4.


又c=5，所以b2=c2－a2=9.


故所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)=1.


(2)设双曲线的方程为Ax2＋By2=1(AB<0)，分别将点P1(3，－4 eq \r(2))，P2(eq \f(9,4)，5)代入，


得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9A＋32B＝1，,\f(81,16)A＋25B＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝－\f(1,9)，,B＝\f(1,16)，))


故所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)=1.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：以AB边所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图所示).





则A(－2 eq \r(2)，0)，B(2 eq \r(2)，0).设边BC、AC、AB的长分别为a、b、c，


由正弦定理得sin A=eq \f(a,2R)，sin B=eq \f(b,2R)，sin C=eq \f(c,2R)(R为△ABC外接圆的半径).


∵2sin A＋sin C=2sin B，∴2a＋c=2b，即b－a=eq \f(c,2).


从而有|CA|－|CB|=eq \f(1,2)|AB|=2 eq \r(2)<|AB|.


由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点).


∵a=eq \r(2)，c=2 eq \r(2)，∴b2=6.


∴顶点C的轨迹方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,6)=1(x>eq \r(2)).