高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线学案，共4页。

双曲线的几何性质


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，过P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则共有l( )


A.4条 B.3条 C.2条 D.1条





LISTNUM OutlineDefault \l 3 双曲线两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( )


A.2 B.eq \r(3) C.eq \r(2) D.eq \f(3,2)


LISTNUM OutlineDefault \l 3 圆O的半径为定长，A是平面上一定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为( )


A.一个点 B.椭圆 C.双曲线 D.以上选项都有可能


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知F是双曲线C：x2－eq \f(y2,3)=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为( )


A.eq \f(1,3) B．eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D．eq \f(3,2)





LISTNUM OutlineDefault \l 3 双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,m)=1的离心率为eq \f(5,4).则m=________.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0)，两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为________.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 焦点为(0,6)，且与双曲线eq \f(x2,2)－y2=1有相同的渐近线的双曲线方程是___________.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0)的离心率为eq \f(\r(5),2)，则C的渐近线方程为_____________.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 根据下列条件求双曲线的标准方程：


(1)经过点(eq \f(15,4)，3)，且一条渐近线方程为4x＋3y=0.


(2)P(0,6)与两个焦点的连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为eq \f(π,3).









































LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为eq \r(2)且过点(4，－eq \r(10)).


(1)求双曲线方程；


(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；


(3)求△F1MF2的面积.



































答案解析


LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 答案为：B；





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：双曲线为等轴双曲线，两条渐近线方程为y=±x，即eq \f(b,a)=1，e=eq \f(c,a)=eq \r(2).


LISTNUM OutlineDefault \l 3 C.解析：∵A为⊙O外一定点，P为⊙O上一动点线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，


则QA=QP，则QA﹣QO=QP﹣QO=OP=R，即动点Q到两定点O、A的距离差为定值，


根据双曲线的定义，可知点Q的轨迹是：以O，A为焦点，OP为实轴长的双曲线,故选：C.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D.


解析：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x=2时，代入双曲线C的方程，


得4－eq \f(y2,3)=1，解得y=±3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以AP∥x轴，


又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF=eq \f(1,2)|PF|·|AP|=eq \f(1,2)×3×1=eq \f(3,2).故选D.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：9


解析：∵a=4，b=eq \r(m)，∴c2=16＋m，e=eq \f(c,a)=eq \f(\r(16＋m),4)=eq \f(5,4)，∴m=9.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：2或eq \f(2\r(3),3)


解析：根据题意，由于双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0)，两条渐近线的夹角为60°，


则可知eq \f(b,a)=eq \r(3)或eq \f(b,a)=eq \f(\r(3),3)，那么可知双曲线的离心率为e=eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)，所以结果为2或eq \f(2\r(3),3).


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：eq \f(y2,12)－eq \f(x2,24)=1


解析：由eq \f(x2,2)－y2=1，得双曲线的渐近线为y=±eq \f(\r(2),2)x.设双曲线方程为：eq \f(x2,2)－y2=λ(λ<0)，


∴eq \f(x2,2λ)－eq \f(y2,λ)=1.∴－λ－2λ=36，∴λ=－12.故双曲线方程为eq \f(y2,12)－eq \f(x2,24)=1.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：y=±eq \f(1,2)x


解析：∵e2=eq \f(c2,a2)=eq \f(a2＋b2,a2)=1＋eq \f(b2,a2)=eq \f(5,4)，∴eq \f(b2,a2)=eq \f(1,4)，∴eq \f(b,a)=eq \f(1,2)，∴y=±eq \f(1,2)x.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


(1)∵双曲线的一条渐近线方程为4x＋3y=0，


∴可设双曲线方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)=λ(λ≠0).


∵双曲线经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,4)，3))，∴eq \f(1,9)×eq \f(152,16)－eq \f(32,16)=λ.即λ=1.


∴所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)=1.


(2)设F1、F2为双曲线的两个焦点，依题意，它的焦点在x轴上，


∵PF1⊥PF2，且OP=6，∴2c=F1F2=2OP=12，∴c=6.


又P与两顶点连线夹角为eq \f(π,3)，∴a=|OP|·taneq \f(π,6)=2 eq \r(3)，


∴b2=c2－a2=24.


故所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,12)－eq \f(y2,24)=1.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


(1)∵离心率e=eq \r(2)，∴设所求双曲线方程为x2－y2=λ(λ≠0)，


则由点(4，－eq \r(10))在双曲线上，知λ=42－(－eq \r(10))2=6，


∴双曲线方程为x2－y2=6，即eq \f(x2,6)－eq \f(y2,6)=1.


(2)若点M(3，m)在双曲线上，则32－m2=6，∴m2=3.


由双曲线x2－y2=6知，F1(2 eq \r(3)，0)，F2(－2 eq \r(3)，0)，


∴MF1·MF2=(2 eq \r(3)－3，－m)·(－2 eq \r(3)－3，－m)=9－(2 eq \r(3))2＋m2=0.


∴MF1―→⊥MF2―→，∴点M在以F1F2为直径的圆上.


(3)S△F1MF2=eq \f(1,2)×2c×|m|=c|m|=2 eq \r(3)×eq \r(3)=6.