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    2020年高中数学 课时作业本 抛物线的几何性质(含答案) 练习
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    选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线学案

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    这是一份选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线学案,共4页。

    抛物线的几何性质


    LISTNUM OutlineDefault \l 3 若直线y=2x+eq \f(p,2)与抛物线x2=2py(p>0)相交于A,B两点,则|AB|等于( )


    A.5p B.10p C.11p D.12p








    LISTNUM OutlineDefault \l 3 过点(1,0)作斜率为-2的直线,与抛物线y2=8x交于A,B两点,则弦AB的长为( )


    A.2eq \r(13) B.2eq \r(15) C.2eq \r(17) D.2eq \r(19)








    LISTNUM OutlineDefault \l 3 过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=2x仅有一个公共点,这样的直线有( )


    A.1条 B.2条 C.3条 D.4条








    LISTNUM OutlineDefault \l 3 设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是( )


    A.(0,2) B.[0,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞)





    LISTNUM OutlineDefault \l 3 抛物线y2=2x上的两点A,B到焦点的距离之和是5,则线段AB的中点到y轴的距离是________.





    LISTNUM OutlineDefault \l 3 过点(0,1)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有________条.





    LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为________.





    LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则FM∶MN=________.





    LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知抛物线y2=-x与直线l:y=k(x+1)相交于A,B两点.


    (1)求证:OA⊥OB;


    (2)当△OAB的面积等于eq \r(10)时,求k的值.















































    LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知抛物线y2=2x.


    (1)设点A的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3),0)),求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|;


    (2)在抛物线上求一点P,使P到直线x-y+3=0的距离最短,并求出距离的最小值.


















































    答案解析


    LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 答案为:B;


    解析:将直线方程代入抛物线方程,可得x2-4px-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),


    则x1+x2=4p,∴y1+y2=9p.∵直线过抛物线的焦点,∴|AB|=y1+y2+p=10p.








    LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:B;


    解析:不妨设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),


    由直线AB斜率为-2,且过点(1,0)得直线AB方程为y=-2(x-1),


    代入抛物线方程y2=8x得4(x-1)2=8x,整理得x2-4x+1=0,


    ∴x1+x2=4,x1x2=1,∴|AB|=eq \r(1+k2|x1-x2|)=eq \r(5[x1+x22-4x1x2])=2eq \r(15).








    LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:C;


    解析:斜率不存在时,直线x=0符合题意,


    斜率存在时,由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y=kx+1,,y2=2x,))得k2x2+(2k-2)x+1=0,


    k=0时,符合题意,k≠0时,由Δ=0得k=eq \f(1,2).








    LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:C;


    解析:圆心到抛物线准线的距离为p,即4,根据已知只要|FM|>4即可.


    根据抛物线定义,|FM|=y0+2,由y0+2>4,解得y0>2,故y0的取值范围是(2,+∞).





    LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:2


    解析:抛物线y2=2x的焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),0)),准线方程为x=-eq \f(1,2),


    设A(x1,y1),B(x2,y2),则AF+BF=x1+eq \f(1,2)+x2+eq \f(1,2)=5,解得x1+x2=4,


    故线段AB的中点横坐标为2.故线段AB的中点到y轴的距离是2.


    LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:3


    解析:过点(0,1),斜率不存在的直线为x=0,满足与抛物线y2=4x只有一个公共点.


    当斜率存在时,设直线方程为y=kx+1,再与y2=4x联立整理得k2x2+(2k-4)x+1=0,


    当k=0时,方程是一次方程,有一个解,满足一个交点;


    当k≠0时,由Δ=0可得k值有一个,即有一个公共点,


    所以满足题意的直线有3条.


    LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:36


    解析:设抛物线方程为y2=2px,则焦点坐标为(eq \f(p,2),0),


    将x=eq \f(p,2)代入y2=2px可得y2=p2,|AB|=12,即2p=12,故p=6.


    点P在准线上,到AB的距离为p=6,所以△PAB的面积为eq \f(1,2)×6×12=36.


    LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:1∶eq \r(5);


    解析:如图所示,,过点M作MM′垂直于准线y=-1于点M′,





    则由抛物线的定义知MM′=FM,所以eq \f(FM,MN)=eq \f(MM′,MN),


    由于△MM′N∽△FOA,则eq \f(MM′,M′N)=eq \f(OF,OA)=eq \f(1,2),则MM′∶MN=1∶eq \r(5),即FM∶MN=1∶eq \r(5).


    LISTNUM OutlineDefault \l 3 解:


    (1)证明:易知k≠0,


    联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2=-x,,y=kx+1,))消去x,得ky2+y-k=0.


    设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-eq \f(1,k),y1·y2=-1.


    因为yeq \\al(2,1)=-x1,yeq \\al(2,2)=-x2,所以(y1·y2)2=x1·x2,所以x1·x2=1,所以x1x2+y1y2=0,


    即eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))=0,所以OA⊥OB.


    (2)设直线l与x轴的交点为N,则N的坐标为(-1,0),


    所以S△AOB=eq \f(1,2)|ON|·|y1-y2|=eq \f(1,2)×|ON|×eq \r(y1+y22-4y1·y2)=eq \f(1,2)×1× eq \r(\f(1,k2)+4)=eq \r(10),


    解得k2=eq \f(1,36),所以k=±eq \f(1,6).








    LISTNUM OutlineDefault \l 3 解:


    (1)设抛物线上任一点P的坐标为(x,y),


    则|PA|2=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(2,3)))2+y2=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(2,3)))2+2x=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(1,3)))2+eq \f(1,3).


    ∵x≥0,且在此区间上函数单调递增,故当x=0时,


    |PA|min=eq \f(2,3),故距点A最近的点的坐标为(0,0).


    (2)设点P(x0,y0)是y2=2x上任一点,


    则P到直线x-y+3=0的距离为d=eq \f(|x0-y0+3|,\r(2))=eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),2)-y0+3)),\r(2))=eq \f(|y0-12+5|,2\r(2)).


    当y0=1时,dmin=eq \f(5,2\r(2))=eq \f(5\r(2),4).


    ∴点P的坐标为(0.5,1).








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