人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质第1课时学案

这是一份人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质第1课时学案，共5页。

第1课时 角的平分线的性质


01 基础题


知识点1 角的平分线的作法


1.如果要作已知∠AOB的平分线OC，合理的顺序是( )


①作射线OC；


②在OA、OB上分别截取OD、OE，使OD=OE；


③分别以D、E为圆心，大于eq \f(1,2)DE长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C.


A.①②③ B.②①③ C.②③① D.③②①


2.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( )





A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边距离相等


3.已知△ABC，用尺规作图作出∠ABC的角平分线，保留作图痕迹，不写作法.





知识点2 角的平分线的性质


4.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为( )





A.6 B.5 C.4 D.3


5.如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是( )





A.PC=PD B.∠CPD=∠DOP C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD


6.已知：如图所示，点O在∠BAC的平分线上，BO⊥AC，CO⊥AB，垂足分别为D，E，求证：OB=OC.











知识点3 文字命题的证明


7.命题“全等三角形对应边上的高相等”的已知是 ，结论是这 .


8.证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证.


已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上， .


求证： .


请你补全已知和求证，并写出证明过程.


























02 中档题


9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于eq \f(1,2)MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积为(B)





A.15 B.30 C.45 D.60


10.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是( )





A.M点 B.N点 C.P点 D.Q点


11.如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直.若AD=8，则点P到BC的距离是( )





A.8 B.6 C.4 D.2





12.已知，如图，△ABC的角平分线AD交BC于D，BD∶DC=2∶1，若AC=3 cm，则AB= _cm.





13.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=10 cm，求△DEB的周长.























14.求证：有两个角及其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等.


已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′，AD，A′D′分别是∠BAC，∠B′A′C′的平分线，且AD=A′D′.


求证：△ABC≌△A′B′C′.


























03 综合题


15.感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B＋∠C=180°，∠B=90°.易知：DB=DC.


探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD=180°，∠ABD＜90°.求证：DB=DC.

















参考答案


1.(C)


2.(A)


3.解：作图略.


4.(A)


5.(B)


6.证明：∵点O在∠BAC的平分线上，BO⊥AC，CO⊥AB，


∴OE=OD，∠BEO=∠CDO=90°.


在△BEO和△CDO中，


eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠BEO＝∠CDO，,OE＝OD，,∠EOB＝∠DOC，))


∴△BEO≌△CDO(ASA).


∴OB=OC.


7.两个三角形全等，这两个三角形对应边上的高相等.


8.PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.


求证：PD=PE.


证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，


∴∠PDO=∠PEO=90°.


在△PDO和△PEO中，


eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠PDO＝∠PEO，,∠AOC＝∠BOC，,OP＝OP，))


∴△PDO≌△PEO(AAS).


∴PD=PE.


9.(B)


10.(A)


11.(C)


12.6_cm.


13.解：∵AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C=90°，


∴CD=DE.


又∵AD=AD，


∴Rt△ACD≌Rt△AED.


∴AE=AC.


∴△DEB的周长为DE＋DB＋EB=CD＋DB＋BE=BC＋BE=AC＋BE=AE＋BE=AB=10 cm.


14.证明：∵∠BAC=∠B′A′C′，AD，A′D′分别是∠BAC，∠B′A′C′的角平分线，


∴∠BAD=∠B′A′D′.


∵∠B=∠B′，AD=A′D′，


∴△ABD≌△A′B′D′(AAS).


∴AB=A′B′.


在△ABC和△A′B′C′中，


eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠B＝∠B′，,AB＝A′B′，,∠BAC＝∠B′A′C′，))


∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).


15.证明：过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.





∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，


∴DE=DF.


∵∠B＋∠ACD=180°，


∠ACD＋∠FCD=180°，


∴∠B=∠FCD.


在△DFC和△DEB中，


eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠F＝∠DEB，,∠FCD＝∠B，,DF＝DE，))


∴△DFC≌△DEB.


∴DC=DB.