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    (新)北师大版数学必修第一册教学讲义:第7章 §1 1.1 随机现象 1.2 样本空间
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    高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.1 随机现象精品教学设计

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    这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.1 随机现象精品教学设计,共6页。




    §1 随机现象与随机事件


    1.1 随机现象


    1.2 样本空间








    1.确定性现象和随机现象


    (1)确定性现象:在一定条件下必然出现的现象,称为确定性现象.


    (2)随机现象:在一定条件下,进行试验或观察会出现不同的结果,而且每次试验之前都无法预言会出现哪一个结果的现象,称为随机现象.


    (3)随机现象的两个特点:


    ①结果至少有2种;②事先并不知道会出现哪一种结果.


    2.样本空间


    (1)试验与试验结果:在概率与统计中,把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验,一般用E来表示,把观察结果或实验结果称为试验结果.


    (2)样本空间:将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间,记作Ω.


    (3)样本点:样本空间Ω的元素,即试验E的每种可能结果,称为试验E的样本点,记作ω.


    (4)有限样本空间:如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的,那么称样本空间Ω为有限样本空间.


    思考:(1)“向上抛掷一枚骰子,观察向上的点数”是随机现象吗?如果是随机现象,那么它可能的结果有哪些?


    提示:是随机现象.它可能的结果有:出现1点,出现2点,出现3点,出现4点,出现5点,出现6点,共6个.


    (2)观察随机现象或进行试验时,其可能出现的结果的数量一定是有限的吗?


    提示:不一定,也可能是无限的.如在实数集中,任取一个实数.





    1.下列现象中,是随机现象的有( )


    ①在一条公路上,交警记录某一小时通过的汽车超过300辆;


    ②若a为整数,则a+1为整数;


    ③发射一颗炮弹,命中目标;


    ④检查流水线上一件产品是合格品还是次品.


    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个


    C [当a为整数时,a+1一定为整数,是确定性现象,其余3个均为随机现象.]


    2.下列事件中,确定性现象的个数为( )


    ①三角形内角和为180°;


    ②三角形中大边对大角,大角对大边;


    ③三角形中两个内角和小于90°;


    ④三角形中任意两边的和大于第三边.


    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个


    C [若两内角的和小于90°,则第三个内角必大于90°,故③不一定成立,∴③为随机现象,而①②④均为确定性现象.]


    3.从数字1,2,3中任取两个数字,则该试验的样本空间Ω=________.


    {(1,2),(1,3),(2,3)} [从数字1,2,3中任取两个数字,共有3个结果:(1,2),(1,3),(2,3),所以Ω={(1,2),(1,3),(2,3)}.]








    随机现象和确定性现象的判断


    【例1】 指出下列现象是确定性现象还是随机现象.


    (1)小明在校学生会主席竞选中成功;


    (2)掷一枚质地均匀的硬币出现的结果;


    (3)某人购买的彩票号码恰好是中奖号码;


    (4)标准大气压下,把水加热至100 ℃沸腾;


    (5)骑车经过十字路口时,红绿灯的颜色.


    [解] (1)随机现象.因为竞选能否成功是不可预知,无法确定的;


    (2)随机现象.因为出现的结果可能是正面,也可能是反面,结果并不确定.


    (3)随机现象.因为彩票号码是否为中奖号码,本身无法预测,是不可知的.


    (4)确定性现象.因为标准大气压下,水加热至100 ℃时“沸腾”这个结果一定会发生,是确定的.


    (5)随机现象.因为红绿灯的颜色对每位过路口的人来说事先都是不可知的,是无法确定的.





    判断某一现象是随机现象还是必然现象的关键是看在一定条件下,现象的结果是否可以预知、确定.若在一定条件下,出现的结果是可以预知的,这类现象为必然现象;若在一定条件下,出现哪种结果是无法预知、无法事先确定的,这类现象称为随机现象.





    eq \a\vs4\al([跟进训练])


    下列现象中,随机现象有______,确定性现象有_______.


    ①长度为3、4、5的三条线段可以构成一个直角三角形;


    ②打开电视机,正好在播新闻;


    ③从装有3个黄球、5个红球的袋子中任意摸4个,全部都是黄球;


    ④下周六是晴天.


    ②④ ① [①是确定性现象,③是不可能现象,②④是随机现象.]





    确定试验的样本空间


    [探究问题]


    1.如何确定试验的样本空间?


    提示:确定试验的样本空间就是写出试验所有可能的结果,并写出Ω={ω1,ω2,…,ωn}的形式.


    2.写试验的样本空间要注意些什么?


    提示:要考虑周全,应想到试验的所有可能的结果,避免发生遗漏、重复和出现多余的结果.


    【例2】 指出下列试验的样本空间:


    (1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球;


    (2)从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)作差.


    [思路点拨] 根据题意,按照一定的顺序列举试验的样本空间.


    [解] (1)样本空间Ω={(红球,白球),(红球,黑球),(白球,黑球)}.


    (2)由题意可知:


    1-3=-2,3-1=2,


    1-6=-5,6-1=5,


    1-10=-9,10-1=9,


    3-6=-3,6-3=3,


    3-10=-7,10-3=7,


    6-10=-4,10-6=4.


    即试验的样本空间Ω={-2, 2,-5, 5,-9, 9,-3, 3,-7, 7,-4, 4}.





    1.求本例(2)中试验的样本点的总数.


    [解] 样本点的总数为12.


    2.满足“两个数的差大于0”的样本点有哪些?


    [解] 满足“两个数的差大于0”的样本点有:2, 5, 9, 3, 7, 4,共6个.


    3.在本例(1)中,从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取1个小球,记下颜色后放回,连续取两次,写出试验的样本空间.


    [解] 样本空间Ω={(红球,红球),(红球,白球),(红球,黑球),(白球,白球),(白球,红球),(白球,黑球),(黑球,黑球),(黑球,白球),(黑球,红球)}.


    4.在本例(2)中,从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)分别作为平面内点的横、纵坐标,指出试验的样本空间.


    [解] 由题意可知:样本空间Ω={(1,3),(1,6),(1,10),(3,1),(3,6),(3,10),(6,1),(6,3),(6,10),(10,1),(10,3),(10,6)}.





    当基本事件的总数比较大时,首先要列举基本事件,然后查个数,得出总数.在列举时要按照一定的顺序,才能确保基本事件不重、不漏.











    1.理解随机现象和确定性现象的概念.


    2.掌握样本空间和样本点的概念.


    3.在写样本空间时,要明确试验的条件,按一定次序列举,做到不重、不漏.





    1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)


    (1)试验的样本点的个数是有限的.( )


    (2)某同学竞选本班班长成功是随机现象.( )


    (3)连续抛掷一枚硬币2次,“(正面,反面),(反面,正面)”是同一个样本点.( )


    [提示] (1)错误.试验的样本点的个数也可能是无限的.


    (2)正确.


    (3)错误.“(正面,反面)”表示第一次得到正面,第二次得到反面,而“(反面,正面)”表示第一次得到反面,第二次得到正面,所以二者是不同的样本点.


    [答案] (1)× (2)√ (3)×


    2.下列现象:


    ①当x是实数时,x-|x|=2;


    ②某班一次数学测试,及格率低于75%;


    ③从分别标有0,1,2,3,…,9这十个数字的纸团中任取一个,取出的纸团是偶数;


    ④体育彩票某期的特等奖号码.


    其中是随机现象的是( )


    A.①②③ B.①③④


    C.②③④ D.①②④


    C [由随机现象的定义知②③④正确.]


    3.从a,b,c,d中任取两个字母,则该试验的样本点数为________.


    6 [该试验的结果中,含a的有ab,ac,ad;不含a,含b的有bc,bd;不含a、b,含c的有cd,∴Ω={ab,ac,ad,bc,bd,cd},即该试验的样本点数为6.]


    4.已知集合M={-2,3},N={-4,5,6},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标.


    (1)写出这个试验的样本空间;


    (2)求这个试验样本点的总数;


    (3)写出“第一象限内的点”所包含的样本点.


    [解] (1)Ω={(-2,-4),(-2,5),(-2,6),(3,-4),(3,5),(3,6),(-4,-2),(5,-2),(6,-2),(-4,3),(5,3),(6,3)}.


    (2)样本点的总数是12.


    (3)“第一象限内的点”包含以下4个样本点:(3,5),(3,6),(5,3),(6,3).


    学 习 目 标
    核 心 素 养
    1.理解确定性现象、随机现象的概念.(重点)


    2.结合具体实例,理解样本点和有限样本空间的含义.(重点)


    3.掌握试验的样本空间的写法.(重点)
    1.通过对确定性现象、随机现象、样本空间等概念的学习,培养数学抽象素养.


    2.通过利用穷举法写出试验的样本空间,培养数学建模素养.
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