高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.4 随机事件的运算优质教案设计

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.4 随机事件的运算优质教案设计，共9页。

1.3 随机事件


1.4 随机事件的运算














1．三种事件的定义


2.随机事件的运算


3.互斥事件与对立事件


思考：1.一颗骰子投掷一次，记事件A＝{出现的点数为2}，事件C＝{出现的点数为偶数}，事件D＝{出现的点数小于3}，则事件A，C，D有什么关系？


提示：A＝C∩D.


2．命题“事件A与B为互斥事件”与命题“事件A与B为对立事件”之间是什么关系？(指充分性与必要性)


提示：根据互斥事件和对立事件的概念可知，“事件A与B为互斥事件”是“事件A与B为对立事件”的必要不充分条件．





1．从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球，则下列选项中两个事件是互斥事件的为( )


A．“都是红球”与“至少一个红球”


B．“恰有两个红球”与“至少一个白球”


C．“至少一个白球”与“至多一个红球”


D．“两个红球，一个白球”与“两个白球，一个红球”


D [A，B，C中两个事件都可以同时发生，只有D项，两个事件不可能同时发生，是互斥事件．]


2．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则( )


A．A⊆B


B．A＝B


C．A＋B表示向上的点数是1或2或3


D．AB表示向上的点数是1或2或3


C [设A＝{1，2}，B＝{2，3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，∴A＋B表示向上的点数为1或2或3.]


3．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：


①在这200件产品中任意选9件，全部是一级品；


②在这200件产品中任意选9件，全部都是二级品；


③在这200件产品中任意选9件，不全是一级品．


其中_______是随机事件；_______是不可能事件．(填序号)


①③ ② [因为二级品只有8件，故9件产品不可能全是二级品，所以②是不可能事件．]








事件类型的判断


【例1】 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．


(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；


(2)三角形的内角和为180°；


(3)没有空气和水，人类可以生存下去；


(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；


(5)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；


(6)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．


[解] (1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．


(2)所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件．


(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．


(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件．


(5)任意抽取，可能得到1，2，3，4号标签中的任一张，所以是随机事件．


(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．





判断一个事件是哪类事件的方法


判断一个事件是哪类事件要看两点：


一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；


二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


1．下列事件不是随机事件的是( )


A．东边日出西边雨


B．下雪不冷化雪冷


C．清明时节雨纷纷


D．梅子黄时日日晴


B [B是必然事件，其余都是随机事件．]





事件关系的判断


【例2】 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．


(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；


(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；


(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；


(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．


[解] 从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女．


(1)“恰有一名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，两个事件都不发生，所以它们不是对立事件．


(2)“至少一名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．


(3)“至少一名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．


(4)“至少有一名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有一名男生”与“至少有一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．





判断事件间关系的方法


(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的．


(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


2．从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每个事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．


(1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；


(2)“至少有1件次品”和“全是次品”；


(3)“至少有1件正品”和“至少有1件次品”．


[解] 依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一次试验中不会同时发生可知：(1)中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的和事件不是必然事件，所以它们不是对立事件；同理可以判断(2)中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件；(3)中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件．





事件的运算


[探究问题]


1．事件的运算与集合的运算有什么对应关系？


[提示] 由事件A与事件B都发生所构成的事件，称为事件A与事件B的交事件，对应集合A与集合B的公共元素构成的集合为A∩B；


由事件A与事件B至少有一个发生所构成的事件，称为事件A与事件B的并事件，对应由集合A或集合B中的元素组成的集合为A∪B.


2．进行事件的运算，有哪些方法？


[提示] (1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．


(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．


【例3】 在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现1点}，B＝{出现3点或4点}，C＝{出现的点数是奇数}，D＝{出现的点数是偶数}．


(1)说明以上4个事件的关系；


(2)求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C.


[思路点拨] (1) eq \x(分析事件所包含的样本点)→ eq \x(判断事件的关系)


(2) eq \x(样本点表示各事件)→ eq \x(进行事件的运算)


[解] 在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种基本事件，记作Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1，2，…，6).则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；


事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件．


(2)A∩B＝∅， A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现点数1，3或4}，


A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现点数1，2，4或6}．


B∩D＝A4＝{出现点数4}．


B∪C＝ A1∪A3∪A4∪A5＝{出现点数1，3，4或5}．





1．在例3的条件下，求A∩C，A∪C，B∩C.


[解] A∩C＝A＝{出现1点}，A∪C＝C＝{出现点数1，3或5}，B∩C＝A3＝{出现点数3}．


2．用事件Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1，2，…，6)表示下列事件：


(1)B∪D；(2)C∪D.


[解] (1)B∪D＝{出现点数2，3，4或6}＝A2∪A3∪A4∪A6.


(2)C∪D＝{出现点数1，2，3，4，5，6}＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.





进行事件运算应注意的问题


(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．


(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．











1．辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判断是一定发生(必然事件)，还是不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件).


2．互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1) 若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件．( )


(2) 若事件A和B是互斥事件，则A∩B是不可能事件．( )


(3) 事件A∪B是必然事件，则事件A和B是对立事件．( )


[提示] (1)错误．对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．


(2)正确．因为事件A和B是互斥事件，所以A∩B为空集，所以A∩B是不可能事件．


(3)错误．反例：抛掷一枚骰子，事件A为：向上的点数小于5，事件B为：向上的点数大于2，则事件A∪B是必然事件，但事件A和B不是对立事件．


[答案] (1)× (2)√ (3)×


2．从1，2，…，9中任取两数，其中： ①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．


在上述事件中，为对立事件的是( )


A．① B．②④ C．③ D．①③


C [从1，2，…，9中任取两数，包括一奇一偶、两奇、两偶，共三种互斥事件，所以只有③中的两个事件才是对立事件．]


3．从100个同类产品中(其中有2个次品)任取3个．


①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品；⑤至少一个次品；⑥至少一个正品．其中必然事件是________，不可能事件是________，随机事件是________．


⑥ ④ ①②③⑤ [从100个产品(其中2个次品)中取3个可能结果是．“三个全是正品”“二个正品一个次品”“一个正品二个次品”．]


4．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有一个红球，两个白球}，事件B＝{3个球中有两个红球，一个白球}，事件C＝{3个球中至少有一个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．


(1)事件D与A，B是什么样的运算关系；


(2)事件C与A的交事件是什么事件．


[解] (1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球，或2个红球1个白球，故D＝A∪B.


(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球，或3个红球，


故C∩A＝A.


学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解随机事件与样本点的关系．(重点)


2．了解随机事件的交、并与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的交、并运算．(难点、易混点)
1．通过对随机、必然、不可能事件等概念的学习，培养数学抽象素养．


2．通过学习事件的运算法则，培养数学建模素养．
事件
随机事件
一般地，把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件，简称事件，常用A，B，C等表示．在每次试验中，当这一事件发生时，这一子集中的样本点必出现其中一个；反之，当这一子集中的一个样本点出现时，这一事件必然发生
必然事件
样本空间Ω是其自身的子集，因此Ω也是一个事件；又因为它包含所有的样本点，每次试验无论哪个样本点ω出现，Ω都必然发生，因此称Ω为必然事件
不可能事件
空集∅也是Ω的一个子集，可以看作一个事件；由于它不包含任何样本点，它在每次试验中都不会发生，故称∅为不可能事件
事件的运算
定义
图形表示
符号表示
交事件
一般地，由事件A与事件B都发生所构成的事件，称为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
并事件
一般地，由事件A与事件B至少有一个发生所构成的事件，称为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
事件的运算
定义
图形表示
符号表示
互斥事件
一般地，不能同时发生的两个事件A与B(A∩B＝∅)称为互斥事件．它可以理解为A，B同时发生这一事件是不可能事件
A∩B＝∅
对立事件
若A与B互斥(A∩B＝∅)，且A∪B＝Ω，则称事件A与事件B互为对立事件，事件A的对立事件记作 eq \x\t(A)
A∩B＝∅且A∪B＝Ω