北师大版 (2019)必修 第一册3.2 指数函数的图像和性质优质课第2课时2课时教案

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第2课时 指数函数的综合应用











1．牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间y与储藏温度x的关系为指数型函数y＝kax，若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约为100 h，在5 ℃的冰箱中，保鲜时间约是80 h，那么在10 ℃下的保鲜时间是 ( )


A．49 h B．56 h C．64 h D．76 h


C [由题意知，指数型函数为y＝kax，


于是 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(100＝ka0,80＝ka5))，所以k＝100，a5＝ eq \f(4,5)，


则当x＝10时，y＝100×a10＝100× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5))) eq \s\up8(2)＝64.故选C.]


2．若定义运算：a⊕b＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a

A．(0，1] B．[1，＋∞)


C．(0，＋∞) D．(－∞，＋∞)


A [当x≥0时，3x≥3－x，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝3－x，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))∈ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，1))；


当x<0时，3x<3－x，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝3x，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1)).


故f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的值域为(0，1].故选A.]


3．已知函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ eq \f(2,2x＋1)＋ax，则f(2019)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2019))＝________.


2 [f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))＝ eq \f(2,2x＋1)＋ax＋ eq \f(2,2－x＋1)＋a eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))＝ eq \f(2,2x＋1)＋ eq \f(2×2x,1＋2x)＝2，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2019))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2019))＝2.]


4．求下列函数的单调区间：(1)y＝a eq \s\up6(x2＋2x－3)；


(2)y＝ eq \f(1,0.2x－1).


[解] (1)设y＝au，u＝x2＋2x－3.


由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4知，u在(－∞，－1]上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数.


根据y＝au的单调性，当a>1时，y关于u为增函数；


当0

∴ 当a>1时，原函数的增区间为[－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1]；


当0

(2)函数的定义域为{x|x≠0}. 设y＝ eq \f(1,u－1)，u＝0.2x. 易知u＝0.2x为减函数．


而根据y＝ eq \f(1,u－1)的图象可以得到，在区间(－∞，1)与(1，＋∞)上，y关于u均为减函数．


∴在(－∞，0)上，原函数为增函数；在(0，＋∞)上，原函数也为增函数．








指数函数图象的应用


【例1】 若函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax，x＞1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(a,2)))x＋2，x≤1))是R上的增函数，则实数a的取值范围为( )


A．(1，＋∞) B．(1，8)


C．(4，8) D．[4，8)


D [因为f(x)在R上是增函数，故结合图象(图略)知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>1，,4－\f(a,2)>0，,4－\f(a,2)＋2≤a，))解得4≤a<8.]





判断一个函数是指数函数，需判断其解析式是否可化为y＝ax(a>0，且a≠1)的形式．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


1．方程 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3x－1))＝k有两解，则k的范围为________．


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1)) [函数y＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3x－1))的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．





∴当0




指数函数性质的应用


【例2】 判断f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(x2－2x)的单调性，并求其值域．


[解] 令u＝x2－2x，则原函数变为y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(u).


∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，


又∵y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(u)在(－∞，＋∞)上递减，


∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(x2－2x)在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．


∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，


∴y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(u)，u∈[－1，＋∞)，


∴0< eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(u)≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(－1)＝2，


∴原函数的值域为(0，2].





1．本例中“x∈R”变为“x∈[－1，2]”．判断f(x)的单调性，并求其值域．


[解] 由本例解析知x∈[－1，2]，


∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(x2－2x)(x∈[－1，2])在[－1，1]上是增函数，在(1，2]上是减函数．


∵u＝x2－2x(x∈[－1，2])的最小值、最大值分别为umin＝－1，umax＝3，


∴f(x)的最大值、最小值分别为f(1)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(－1)＝2，f(－1)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(3)＝ eq \f(1,8).


∴函数f(x)的值域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，2)).


2．在本例条件下，解不等式f(x)＜f(1).


[解] ∵f(x)＜f(1)，即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(x2－2x)＜ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(－1)，


∴x2－2x＞－1，∴(x－1)2＞0，∴x≠1，


∴不等式的解集为{x|x≠1}．





函数y＝af(x) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>0，且a≠1))的单调性的处理技巧


(1)关于指数型函数y＝af(x) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>0，a≠1))的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0

(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，根据“同增异减”求出y＝f(φ(x))的单调区间．








指数函数的实际应用


【例3】 某林区2019年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并写出此函数的定义域．


[解] 现有木材的蓄积量为200万立方米，经过1年后木材的蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)；


经过2年后木材的蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2万立方米；


…


经过x年后木材的蓄积量为200×(1＋5%)x万立方米．


故y＝f(x)＝200×(1＋5%)x，x∈N*.





解决指数函数应用题的流程


(1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息．


(2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式．


(3)解模：运用数学知识解决问题．


(4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


3．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．


19 [假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．]








1．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的性质分底数a＞1，0＜a＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的．


2．由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域为R，即x∈R，所以函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)与函数f(x)的定义域相同．


3．求函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的值域的方法如下：


(1)换元，令u＝f(x)，并求出函数u＝f(x)的定义域；


(2)求u＝f(x)的值域t∈M；


(3)利用y＝at的单调性求y＝at在u∈M上的值域．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)y＝21－x是R上的增函数．( )


(2)若a>b>0，且ax＝bx，则x＝0.( )


(3)函数y＝2|x|的值域是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞)).( )


[答案] (1)× (2)√ (3)×


2．若方程ax－x－a＝0有两个实数解，则a的取值范围是( )


A．(1，＋∞) B．(0，1)


C．(0，2) D．(0，＋∞)


A [由ax－x－a＝0，得ax＝x＋a，


当a>1时．y＝ax，y＝x＋a图象有两个交点；


当0

3．当x>0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是( )


A．1<|a|<2 B．|a|<1


C．|a|> eq \r(2) D．|a|< eq \r(2)


C [∵x>0时，f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，


∴a2－1>1，∴a2>2，∴|a|> eq \r(2).]


4．已知2x2－x≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4))) eq \s\up8(x－1)，求函数y＝2x－2－x的值域；


[解] 由2x2－x≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4))) eq \s\up8(x－1)＝2－2x＋2，得x2－x≤－2x＋2，即x2＋x－2≤0，解得－2≤x≤1.


令t＝2x，t∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，2))，则y＝t－ eq \f(1,t)，易知y＝t－ eq \f(1,t)在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，2))上是增函数，


所以，函数y＝t－ eq \f(1,t)的值域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(15,4)，\f(3,2)))，即函数y＝2x－2－x的值域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(15,4)，\f(3,2))).


学 习 目 标
核 心 素 养
在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型. 掌握指数函数的性质及应用．(重点)
借助指数函数图象及性质的应用，培养逻辑推理及数学运算素养．